www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Rente på sparepenger, etter vilkårlig antall år

Vi tenker oss at vi setter 5000 kroner inn på en konto, og planen er å la beløpet stå der urørt i 20 år. Vi får vite av banken at vi kan få fast rente i hele perioden på 5 % p.a. (pro anno, dvs. per år). Hvor mye penger vil det stå på kontoen etter at de 20 årene har gått?

Det hadde vært en tidkrevende beregning å regne rente og renters rente for hvert av de 20 årene, og etter hvert lagt sammen. Oppgaven blir derfor å finne en bedre måte å regne ut svaret på. Kan vi løse problemet enkelt? Ja, vi kan løse problemet helt generelt og lage en formel for å finne direkte hva beløpet vokser til med rente og renters rente etter et visst antall år. Dette er bedre enn å summere år for år.

Vi vil istedenfor 5000 kroner kalle beløpet vi setter inn på kontoen for K. Dette skal bli stående urørt på kontoen i n år, og det skal legges til p prosent rente per år. Hvor mye står på kontoen etter n år?

Etter ett år har vi:

K+Kp100=K(1+p100)

Etter ett år til skal vi legge til ytterligere p prosent av dette, altså p prosent av K(1+p100) . Vi legger så sammen for å finne hva beløpet har vokst til etter to år:

K(1+p100)+K(1+p100)p100
 
Her er K og (1+p100)  felles faktorer i begge leddene i summen. Vi kan dermed skrive denne summen enklere:

K(1+p100)+K(1+p100)p100=K(1+p100)(1+p100)=K(1+p100)2

Etter to år har vi altså K(1+p100)2  kroner på kontoen. La oss se hva som skjer når det går enda et år. Vi har allerede K(1+p100)2 kroner på kontoen, og skal legge til ytterligere p prosent av dette. Vi får at beløpet etter tre år har vokst til

K(1+p100)2+K(1+p100)2p100

Denne gangen er K(1+p100)2 felles faktor, så vi ordner nok en gang på uttrykket:

K(1+p100)2+K(1+p100)p100=K(1+p100)2(1+p100)=K(1+p100)3

Vi får et mønster: Vi tar det opprinnelige beløpet K, og multipliserer med (1+p100) opphøyet i antall år vi skal la pengene stå. Hvis vi kaller det endelige beløpet for B, kan vi skrive opp formelen for beløpet etter n år:

B=K(1+p100)n

Formelen forteller oss hvor mye penger B som står på kontoen, når vi har latt K kroner stå på konto til p prosents rente i n år.

 

Eksempel


Vi vil nå regne ut hvor mye som står på konto etter 20 år, dersom vi har latt 5000 kroner stå med 5 % rente.

B=K(1+p100)n=5000(1+5100)20=50001,0520

Med en kalkulator finner vi ut at 1,05202,653.
På kontoen står det derfor

B=50001,052050002,653=13265

Det står etter 20 år altså 13 265 kroner på kontoen, dersom vi satte inn 5000 kroner, og renta hele tida har vært 5 %.


Det som kanskje er viktigst å merke seg her er at vi løste et generelt problem ved å bruke bokstaver for å symbolisere de forskjellige størrelsene i det opprinnelige problemet vårt. Deretter regnet vi vanlig prosent for å se om det fantes et system i utregningen. Det gjorde det, og resultatet var en helt generell formel. Denne kan vi sette inn hvilke tall som helst i, for å regne ut sparepenger etter et vilkårlig antall år.

Denne prosessen er et godt eksempel på styrken i å regne med symbolske størrelser.

Publisert: 28.03.2008

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Rente

    Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

  • Rentefot

    Når du låner penger i en bank betaler du lånet tilbake med renter.
    Det som bestemmer hvor mye du må betale i renter er rentefoten (rentesatsen), størrelsen på beløpet og tiden du låner.

    Rentefoten eller rentesatsen er en viss prosent av lånebeløpet. p brukes ofte som symbol for rentefot.

    På samme måte tjener du penger i form av renter dersom du har et innskudd i en bank. Da er det du som låner penger til banken.

  • Renteformelen

    Renteformelen kan skrives slik:
    r=Kpd100360

    der r står for rentebeløpet, K for kapitalen, p for rentefoten og d for det antall dager kapitalen forrentes.