www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Forkorting av brøker

I matematikken, og spesielt i arbeid med algebra og funksjoner, må vi av og til håndtere brøker som inneholder en eller flere ubestemte størrelser. Det kan hende at disse brøkene er store og uoversiktlige. I dette avsnittet skal vi se på hvordan vi noen ganger kan forenkle slike brøker. Kvadratsetningene og konjugatsetningen er typiske verktøy for denne jobben. En annet teknikk vi skal ta i bruk, er å faktorisere uttrykk med parenteser.

Her er det viktig å være trygg på behandling av brøker, så repeter eventuelt kurset i brøkregning!

Vi vil starte med en litt enkel brøk.

Eksempel 1

Vi vil forenkle brøken ab+acab så mye som mulig.
I telleren ab+ac kan vi faktorisere ved å sette a utenfor en parentes:

ab+ac=a(b+c) 

Brøken kan dermed omformuleres til

ab+acab=a(b+c)ab    

a er altså faktor både i teller og nevner. Det betyr at vi, når vi regner ut brøken, skal multiplisere med a og siden dividere med a igjen. Da kan a forkortes bort (strykes). Det som skjer, er følgende:

ab+acab=a(b+c)ab=aab+cb=1b+cb=b+cb

 

Regel
Dersom teller og nevner har felles faktor, kan den faktoren strykes.

    

Men hva om nevneren var a + b i stedet for ab, altså ab+aca+b?
     
Kan denne brøken forkortes? Svaret er nei. Denne brøken står på enklest mulig form allerede. Men hvorfor kan vi ikke forkorte? Eneste felles faktor for summen i telleren er a. I nevneren har vi ikke lenger noen felles faktor for de to leddene. Teller og nevner har ingen felles faktor felles. Brøken kan ikke forkortes.

 

Eksempel 2

Forkort brøken x2+2xy+xx2y så mye som mulig.
Vi kan faktorisere telleren:

x2+2xy+x=x(x+2y+1)

Vi kan dermed sette opp brøken på nytt:

x2+2xy+xx2y=x(x+2y+1)x2y=xx(x+2y+1)xy=1x+2y+1xy=x+2y+1xy      

Vanligvis skriver vi det bare slik:

x2+2xy+xx2y=x(x+2y+1)xxy=x+2y+1xy
    
Vi fikk felles faktor x både i teller og nevner, og derfor kunne vi forkorte.


 

Forkorting ved hjelp av kvadratsetningene

 

Eksempel 1

Forkort brøken c2+2cd+d2c2d2.

Telleren kan vi faktorisere ved hjelp av første kvadratsetning:

c2+2cd+d2=(c+d)2=(c+d)(c+d)

I nevneren bruker vi konjugatsetningen:

c2d2=(c+d)(cd)

Vi setter opp brøken på nytt:

c2+2cd+d2c2d2=(c+d)(c+d)(c+d)(cd)      

Her er c+d felles faktor både i teller og nevner. Vi kan derfor forkorte bort (c + d).

c2+2cd+d2c2d2=(c+d)(c+d)(c+d)(cd)=c+dcd      

Vi ser at vi har forenklet den opprinnelige brøken betydelig:

c2+2cd+d2c2d2=c+dcd

Som øvelse kan det være lurt å sette inn noen tall for c og d i begge uttrykkene og se at dette stemmer. Vi må velge cd. Hvorfor?

 

Et litt mer sammensatt eksempel


Vi skal forkorte brøken 4abx24aby22ax24axy+2ay2 så mye som mulig.

I dette eksemplet faktoriserer vi både ved hjelp av kvadratsetningene og ved å trekke felles faktor ut av et uttrykk i en parentes.

a, b og 4 er felles faktor i telleren, og a og 2 er felles faktor i nevneren.

4abx24aby2=4ab(x2y2)2ax24axy+2ay2=2a(x22xy+y2)

Videre ser vi at i telleren kan vi faktorisere uttrykket i parentesen ved hjelp av konjugatsetningen, i nevneren med andre kvadratsetning.

x2y2=(x+y)(xy)x22xy+y2=(xy)(xy)

I telleren kan vi også faktorisere 4=22. Da ser vi at 2, a og (x - y)  er felles faktorer i teller og nevner. Vi forkorter:

4abx24aby22ax24axy+2ay2=22ab(xy)(x+y)2a(xy)(xy)=2b(x+y)xy
   
Nok en gang ender vi med et mye enklere uttrykk, hovedsakelig fordi vi har kjennskap til kvadrat- og konjugatsetningene:

4abx24aby22ax24axy+2ay2=2b(x+y)xy

Publisert: 28.03.2008

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Felles faktor

    En felles faktor for to tall er et tall som går opp i begge. Største felles faktor er det største tallet som er felles faktor for de to tallene. Eksempel: Felles faktor for tallene 12 og 8 er 1, 2 og 4, og største felles faktor for 12 og 8 er 4.

  • Forkorte brøk

    Forkorting av en brøk betyr å fjerne den samme faktoren fra telleren og nevneren. Eksempel: 48 forkortes til 12 fordi 48=4142=12.

  • Ledd

    I en addisjon, slik som
    8 + 3 + 5
    kalles tallene for addisjonens ledd