www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Konjugatsetningen

Her skal vi se på det siste av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Denne siste setningen har navnet konjugatsetningen, men noen kaller den også tredje kvadratsetning.

Konjugatsetningen kan likne på en kombinasjon av første og andre kvadratsetning. Den tar for seg produktet (a+b)(ab). Vi regner igjen ut direkte:

(a+b)(ab)=a2+a(b)+ab+b(b)=a2ab+abb2=a2b2
 
Og vi har dette resultatet:

(a+b)(ab)=a2b2    

Også denne formelen stemmer dermed uansett hvilke tall vi velger for a og b.

Talleksempler


Vi velger først a = 5, b = 2. Så regner vi ut (a+b)(ab). Vi får:

(a+b)(ab)=(5+2)(52)=73=21    

Så ser vi på :

a2b2      
Som ventet får vi samme resultat.

Vi tar ett eksempel til: a = 2, b = -4. Nå blir

(a+b)(ab)=(2+(4))(2(4))=(2)(2+4)=(2)6=12
og

 a2b2=22(4)2=416=12 

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Igjen skal vi se på og sammenlikne arealer. Vi tenker oss a > b > 0, og ser på et rektangel med lengde a og bredde a + b.

 

Et rektangel med sidene a+b og a. Rektanelet er delt i fire firkanter. Den grønne firkanten nederst til høyre har sidene a og b. Den gule firkanten øverst til høyre har sidene b.

Vi ser at de to blå firkantene sammen utgjør arealet  .
Vi ser også at arealet av hele figuren er a(a+b). Fra dette må vi trekke arealet av det grønne rektanglet og det gule kvadratet, altså henholdsvis ab og b2. Vi regner ut og får

a(a+b)abb2=a2+ababb2=a2b2.

Da står vi igjen med at

(a+b)(ab)=a2b2.   

Publisert: 28.03.2008