www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Første kvadratsetning

I dette avsnittet skal vi se på ett av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Dette produktet har eget navn: første kvadratsetning.

Første kvadratsetning beskriver hva som skjer når vi tar en sum a + b av to tall og ganger denne med seg selv. Som i forrige avsnitt kan vi gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre:

(a+b)2=a2+ab+ba+b2

Nå er ba = ab, og ab + ab = 2ab, og da får vi som resultat denne identiteten:

(a+b)2=a2+2ab+b2 

Vi kan trene på å bruke formelen ved å se på noen talleksempler.

Talleksempler


Vi lar a være lik 2 og b være lik 3 og setter først inn i (a+b)2:

(2+3)2=52=25 

Setter vi inn i formelen a2+2ab+b2, får vi:

22+223+32=4+12+9=25

La oss også prøve oss med a = 5 og b = (-3).

(5+(3))2=(53)2=22=4 
Setter vi her inn i formelen a2+2ab+b2, får vi: 52+25(3)+(3)2=2530+9=4 
Samme resultat for begge utregningene!
 

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

En grunn til å kalle dette første kvadratsetning er at for positive tall (a+b)2 tolkes som arealet av et kvadrat. Vi tenker oss et kvadrat med sidelengder a + b. Arealet av dette kvadratet må være lik (a+b)2=(a+b)(a+b). La oss tegne opp kvadratet.

 

Et kvadrat der sidene er (a+b) lange. kvadratet er delt i fire firkanter. Firkanten øverst til venstre (oransje) har sider a og b. Firkanten øverst til høyre (gul) har begge sider lik b. Firkanten nederst til venstre (rød) har begge sider lik a. Firkanten nederst til høyre (oransje) har sider a og b.

Vi kan også finne arealet av hele kvadratet ved å legge sammen arealet av den røde, den gule og de to oransje firkantene:

  • Areal av rød firkant: aa=a2.
  • Areal av gul firkant: bb=b2
  • Areal av hver oransje firkant: ab.

Legger vi sammen de fire arealene får vi

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

Det betyr at

(a+b)2=a2+2ab+b2.

Publisert: 14.03.2008 Endret: 17.08.2012