www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Sammensatte uttrykk - parenteser

Hvordan fungerer parenteser i forbindelse med bokstavregning? Dersom vi ganger ut en parentes, vil vi som i vanlig tallregning gange tallet med hvert av leddene inni parentesen. La oss multiplisere a med (c + a):

a(c+a)=ac+aa
Vi ganger altså ut en parentes på helt vanlig måte. Men i motsetning til hvis vi kjenner størrelsen på a og c, kan vi ikke her velge å regne ut innholdet i parentesen først. Vi kan, som nevnt tidligere, sløyfe gangetegn og skrive svaret kortere slik:

a(c+a)=ac+a2  

Eksempler

b(ab+c)=ab2+bcz(xy)=zxzya(b+6)=ab+6aa(b+2a+2b)=ab+a2a+a2b=ab+2a2+2ab=2a2+3ab

Det siste eksempelet:  a(b+2a+2b) kan gjøres litt enklere. To av leddene inneholder bare bokstaven b, så vi kan regne sammen de to leddene før vi ganger inn i parentesen.

a(b+2a+2b)=a(2a+3b)=2a2+3ab     
Vi kan også få bruk for å gå den andre veien, omforme et oppgitt uttrykk som ac+a2 til a(c+a). Fordi likhetstegnet sier at uttrykkene på begge sider er like, er det selvsagt ingen ting i veien for å skrive likheten opp i motsatt retning:

ac+a2=a(c+a)
Dette kalles å faktorisere, å trekke felles faktor ut av en parentes. Vi har skrevet uttrykket om til et produkt med faktorene a og (c + a).

 

Eksempler - faktorisering:

 ab+ac=a(b+c)
 cd2+ca=c(d2+a)
 xyxyz2=xy(1z2)
 aba2b2+ba2=ab(1ab+a)
 2a+4b=2(a+2b) 

Vi kommer til å møte dette igjen i avsnittene ”Forkorting av brøker” og ”Generelle formler regnet ut ved hjelp av algebra”.

Hva skjer om vi multipliserer to parenteser med hverandre? Vi husker fra tallregningen at vi enten kan legge sammen innholdet i parentesene og deretter multiplisere ut, eller vi kan gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre og deretter legge sammen. Når vi regner med bokstaver, faller vanligvis det første alternativet ut: Vi må gange hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre.

 

Eksempler - å gange parenteser med hverandre:

(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc

(ab)(b+c)=ab+acb2bc

(a+2)(a+3)=a2+3a+2a+6=a2+5a+6

Dersom vi ønsker å trekke felles faktorer ut av uttrykkene, har vi flere måter å skrive resultatene på, for eksempel i det første eksempelet over:

(a+b)(b+c)=a(b+c)+b(b+c)  

Publisert: 12.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Felles faktor

    En felles faktor for to tall er et tall som går opp i begge. Største felles faktor er det største tallet som er felles faktor for de to tallene. Eksempel: Felles faktor for tallene 12 og 8 er 1, 2 og 4, og største felles faktor for 12 og 8 er 4.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Ledd

    I en addisjon, slik som
    8 + 3 + 5
    kalles tallene for addisjonens ledd

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12