www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Primtall og faktorisering

Merk: Vi sier at et tall er delelig med et annet tall dersom kvotienten – det første tallet delt på det andre – er et helt tall. For eksempel er 12 delelig med 3, siden kvotienten er 4. 12 er derimot ikke delelig med 8, siden kvotienten er 1,5.

 

Definisjon
Et primtall er et tall som er større enn 1 og som kun er delelig med seg selv og 1.



Tallet 1 er ikke definert som primtall. 2 er det minste primtallet. 2 er også det eneste partallet som er primtall, siden alle andre partall er delelige med 2.

Primtallene mellom 1 og 20 er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Et av de viktigste og mest grunnleggende resultatene i matematikk kalles

 

Tallteoriens fundamentalsetning
Alle naturlige tall utenom tallet 1 som ikke selv er primtall kan faktoriseres på en slik måte at alle faktorene er primtall, og denne faktoriseringen er entydig.



Å skrive et tall som et produkt av primtall kalles å primtallsfaktorisere – eller kortere å primfaktorisere – tallet. Et tall kan altså primfaktoriseres på bare én eneste måte, bortsett fra at rekkefølgen på faktorene kan variere. Når vi har faktorisert et tall slik at alle faktorene er primtall, vet vi derfor med sikkerhet at dette ikke kan gjøres på noen annen måte.

Eksempel 1


12 er et partall, dvs. 12 er delelig med 2, og 2 er et primtall: 12=26.

6 også er et partall. Så vi faktoriserer igjen: 12=26=223=223
Her er alle faktorene primtall. Da er vi er ferdige og har funnet den eneste mulige primfaktoriseringen.

 

Eksempel 2


Tallet 17 er ikke delelig med noe mindre tall, utenom med 1. Sjekk det! Altså er 17 et primtall.

Eksempel 3


Vi undersøker tallet 84. 84 er et partall, det er delelig med 2:  84:2=42
Dermed er 84=242.
42 er også et partall. Vi deler med 2 igjen og får 42=221, som gir

84=2221=2221.  

21 er heller ikke et primtall, men produktet av 3 og 7. Nå er både 2, 3 og 7 primtall, og dermed blir den endelige primfaktoriseringen av 84 slik:

84=2237.
En praktisk oppstilling ved primfaktorisering er denne:

 

To kolonner med en strek mellom. I venstre kolonne står tallene 84, 42, 21, 7 og 1. I høyre kolonne står tallene 2, 2, 3, og 7. Under alt står det at 84 er produktet av 2, 2, 3 og 7.


Primtallene er av stor teoretisk interesse. Vi kan si at primtallene er byggesteinene for alle naturlige tall. I skolematematikk og praktisk regning er primfaktoriseringer nyttige når vi skal finne fellesnevneren til store brøkuttrykk, og når vi skal forkorte brøker. Vi skal se eksempler på begge deler.

Eksempel 4

 

Forkort brøken 399.

Vi begynner med å primfaktorisere telleren og nevneren:

39=313 
9=33 
         
Så brøken blir 399=31333.
 
Vi kan nå forkorte ett 3-tall. Vi får da 399=31333=133.
  
Telleren og nevneren har ikke lenger noen felles faktorer, og brøken kan ikke forkortes ytterligere.

Eksempel 5


Forkort brøken 19863.

Igjen begynner vi med å primfaktorisere telleren og nevneren:

198=23311 
63=337 
Deretter forkorter vi ved å stryke felles faktorer over og under brøkstreken:

19863=23311337=2117=227.

Publisert: 06.03.2008 Endret: 21.06.2013

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Brøk

    En brøk består av tre elementer: teller, brøkstrek og nevner. Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

    25 uttrykker 2 deler av i alt 5 deler. 25 av 20 kr blir altså 8 kr.

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Forkorte brøk

    Forkorting av en brøk betyr å fjerne den samme faktoren fra telleren og nevneren. Eksempel: 48 forkortes til 12 fordi 48=4142=12.

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Nevner

    Tallet eller utrykket som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Primtall

    Et positivt helt tall p som ikke inneholder andre faktorer enn 1 og p. (For eksempel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19...). Det eneste like primtall er 2. Euklid leverte det første kjente bevis for at det er uendelig mange primtal.

  • Teller

    Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
    Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

    I brøken 59, er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.