Fraktaler - matematikk i det små

Mandelbrotmengden, generert av datamaskin.

Fraktaler forbindes ofte med kompliserte bilder som Mandelbrotmengden (bildet til høyre), men fraktaler kan også lages for hånd.   

Fraktaler kan kort fortalt lages for hånd fra et utgangspunkt (generasjon 0) og en algoritme som forklarer hvordan fraktalen bygges opp.

Det finnes ikke noen god definisjon av hva et fraktal er, matematikeren Benoit Mandelbrot, som var en av de første som utforsket fraktalene nærmere med datamaskiner, sa etter at han hadde laget en definisjon at det var bedre uten noen definisjon.

Fraktaler kan best beskrives ut fra egenskaper de har (etter Hjelle 2001):

• De har en fin struktur med irregulære detaljer på vilkårlige små skalaer. Eller: uansett hvor mye du zoomer inn vil det stadig være nye små detaljer du har vanskelig for å se.
• De er for irregulære til å beskrives med kalkulus eller tradisjonell geometri, enten lokalt eller globalt.
• De er har ofte selvsimilaritet. En liten del av fraktalen likner på en større (eller enda mindre) del av fraktalen uten at de nødvendigvis er helt like.
• Den fraktale dimensjonen er vanligvis større enn den topologiske dimensjonen.
• De opptrer ofte på en "naturlig" måte.

Jeg kommer ikke til å gå nærmere inn på disse punktene, men stadig mindre detaljer og selvsimilaritet vil oppstå i de fraktalene som beskrives i denne teksten.

En utfordring til deg som leser: Se om du finner ut hvordan man kommer fram til de formlene som er tatt med i teksten.