Fortegnslinje i en funksjonsulikhet med rasjonale ledd

Hei, kjære orakel. Jeg skal løse følgende ulikhet:

$\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}\ge \frac{17}{x^2-4}$

Jeg har isolert den ukjente ved å benytte addisjonsregelen, slik at jeg har isolert den ukjente på den ene siden, slik:

$\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}-\frac{17}{x^2-4}\ge 0$

Mitt spørsmål er: Hvordan kommer jeg videre?

Vi fortsetter der du slapp. Siden $x^2-4=(x-2)(x+2)$ er $x^2-4$ fellesnevner:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{17}{(x-2)(x+2)}\ge 0$

Vi samler tellerne over den felles brøkstreken og trekker sammen:

$\frac{x^2+4x-21}{x^2-4}\ge 0$. 

Vi må faktorisere uttrykket over brøkstreken for å se hvor nullpunktene er.

$x^2+4x-21=x^2+4x+4-25={(x+2)}^2-5^2=(x+2+5)(x+2-5)=(x+7)(x-3)$

det vil si at $x^2+4x-21=0$ om $x=-7$ eller $x=3$ (du kan bruke abc-formelen om du liker den bedre.

Vi er nå istand til å tegne en fortegnslinje for

$\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}\ge \frac{17}{x^2-4}$, det vil si$f\left(x\right)=\frac{(x+7)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\ge 0$. Vi tegner fortegnslinje:

Vi ser nå av denne at $f\left(x\right)\ge 0$ for $x$ i $\langle -\infty ,7\rangle$,$\langle -2,2\rangle$ og$[3,\infty )$, mens $f\left(x\right)\le 0$ for $x$ i$\langle -7,-2\rangle$ og $\langle 2,3]$. Vi kan da gå tilbake til det opprinnelige spørsmålet, og konstatere at

$\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}\ge \frac{17}{x^2-4}$

så lenge $x$ er i $\langle -\infty ,7\rangle$,$\langle -2,2\rangle$ eller$[3,\infty \rangle$.