Derivert av x i x'te

Bestem den deriverte av følgende uttrykk: $x^x$.

For å løse denne trenger vi å vite at $e^x$ og $\ln \left(x\right)$ er inverse funksjoner: $x=e^{\ln \left(x\right)}$. Så per definisjon er $x^x=e^{x\ln \left(x\right)}$. Det er greit å se at det stemmer:

$e^{x\ln \left(x\right)}={\left(e^{\ln \left(x\right)}\right)}^x={\left(x\right)}^x$.

Vi vet at $\frac{d}{dt}{e}^t=e^t$. Hvis $t$ er en funksjon av $x$ er $\frac{d}{dx}{e}^t=e^t\frac{dt}{dx}$ ved kjerneregelen.

Vi lar nå $t=x\ln \left(x\right)$, så $e^t=x^x$. Vi regner ut ved produktregelen:

$\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dx}(x\ln (x\left)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\cdot \ln \left(x\right)+x\cdot \frac{d}{dx}\ln \left(x\right)=1\cdot \ln \left(x\right)+x\frac{1}{x}=\ln \left(x\right)+1$

Nå setter vi inn for $t$ og $\frac{dt}{dx}$ i formelen fra tidligere, og får at

$\frac{d}{dx}{x}^x=\frac{d}{dx}{e}^t=e^t\frac{dt}{dx}=e^{x\ln \left(x\right)}(\ln (x)+1)=x^x(\ln (x)+1)$, som besvarer spørsmålet.