Sparing, årlig innsetting av fast beløp

Hei!

Trenger sykt hjelp med en oppgave om sparing... En mann har to døtre, en på 10 år, og en på 7 år. Han vil at begge døtrene skal få utbetalt 20 000 kr på 18-årsdagen sin. Han vil sette et fast beløp inn i banken hvert år, første gang i dag, siste gang om 11 år, når den yngste blir 18. Hvor stort beløp må han sette i banken årlig dersom rentefoten er 11,5%?

Har prøvd alle mulige varianter av formler for geometrisk rekke, men får ikke likt fasiten. Blir helt oppgitt... Kan du være så snill å prøve å hjelpe?

Hilde

Rentefoten er $p=11,5\%$, så la

$q=(1+p)=1+\frac{11,5}{100}=1,115$.

La x være det faste beløpet mannen vil sette inn. Det som er igjen etter de første åtte årene når den første datteren får sine 20 000 kaller vi $y$. Etter åtte år vil mannen ha satt inn $x$ kr en gang hvert år ni ganger totalt. Det første beløpet vil ha påbeløpt seg rente 8 ganger, og ha vokst til $x\cdot q^8$, det andre 7 ganger, og vil ha vokst til $x\cdot q^7$, og så videre. Totalt vil han ha$x+x\cdot q+x\cdot q^2+\mathrm{...}+x\cdot q^8$ kr på kontoen sin, så da er

$y=x(1+q+\mathrm{...}+q^8)-20000$.

Etter tre år til vil han ha satt inn $x$ kr tre ganger til (Vi antar han setter inn en gang når den yngste datteren blir 18 år også, oppgaven er ikke helt klar på dette punktet), og det skal være 20000 kr der igjen. Med samme logikk som før vil vi da ha at

$y\cdot q^3+x(1+q+q^2)=20000$.

Dette er nå et likningssystem i to variable som kan løses:

(i) $x(1+\mathrm{...}+q^8)-y=20000$,

(ii) $x(1+q+q^2)-y{q}^3=20000$.

En nyttig ting å kjenne til her er at

$1+\mathrm{...}+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ (Dette hører med i teorien for geometriske rekker). Dermed er systemet vårt

(i) $x\frac{q^9-1}{q-1}-y=20000$,

(ii) $x\frac{q^3-1}{q-1}+y{q}^3=20000$.

Vi regner nå ut $q^3$(i) + (ii) og får følgende likhet:

$x(q^3\frac{q^9-1}{q-1}+\frac{q^3-1}{q-1})=(q^3+1)\cdot 20000$.

Denne kan du prøve å løse selv, ved å sette inn $q=1.115$ får vi $x\approx 2038.5$. For denne $x$ er $y$ omtrent 9489,50 kr.