Kvadratroten av 5
Spørsmål:
Torill, 31
Hei,
Kan du vise hvorfor kvadratroten av 5 er et irrasjonalt tall?
Takk :-)
Svar:
Hei, Torill!
Yes! Jeg elsker bevis, og dette er en klassiker! Vi kan bevise dette ved å utlede en selvmotsigelse (kontradiksjonsbevis).
Vi antar at √5 er rasjonal (det motsatte av det vi skal bevise). Da finnes det heltall a og b slik at
√5 = a/b
Vi antar at brøken a/b er forkortet så langt det er mulig, dvs. at a og b ikke har noen felles faktorer.
Kvadrerer vi begge sider i likningen, får vi
5 = a2/b2
som kan skrives
5b2 = a2 (*)
Denne likningen viser at a2 er delelig med 5, og ― siden 5 er et primtall ― at også a er delelig med 5. Vi kan altså skrive
a = 5n
for ett eller annet heltall n. Setter vi dette inn i (*), får vi
5b2 = 25n2
som, etter at vi har forkortet med 5, gir
b2 = 5n2
Denne likningen viser at b2 er delelig med 5, og derfor at også b er delelig med 5.
Men dermed har vi vist at både a og b er delelig med 5, og det strider mot forutsetningen om at a og b ikke har noen felles faktor. Vi har altså utledet et selvmotsigelse, så antagelsen om at √5 er rasjonal, må være feil.
Vennlig hilsen,
Oraklet
Ofte stilte spørsmål
- Regning (tall, prosent, brøk, gange)
- Algebra (likninger, faktorisering)
- Funksjonsdrøfting
- Bevis
- Geometri (passer og linjal, areal og omkrets)
- Måling
- Sannsynlighet
- Statistikk
- Tallteori
- Matematikkens historie
- Formelsamling
- Generelt om matematikk og orakelet
- Spørsmål om spill
Vi har samlet på noen av svarene som orakelet har gitt. Spørsmål og svar finner du under følgende temaer: