www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2013 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

  • Alle grafer og figurer (Utdanningsdirektoratet)

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DBN

Deriver funksjonene

a)

fx=3cosx

Løs oppgaven her

b)

gx=6sinπx+7

Løs oppgaven her

c)

hx=3e2xsin3x

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4DBR

Bestem integralet  2xx2-4dx  ved å bruke

a)

variabelskifte

Løs oppgaven her

b)

delbrøkoppspalting

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DBU

Punktene A1,-1, 0B3, 1, 1 og C0, 0, 0 er gitt.

a)

Bestem AB×AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ΔABC.

Løs oppgaven her

b)

Bestem ABAC. Bruk blant annet dette resultatet til å bestemme arealet av ΔABC.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DBX

Løs differensiallikningen

y'=6xy   når   y0=2

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4DBZ

En rekke er gitt ved

Sn=1+3+5+7+...+an

a)

Bestem  a16 og  S16

Løs oppgaven her

b)

Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for  an og  Sn .

Løs oppgaven her

c)

Bestem hvor mange ledd rekken minst må ha for at  Sn>400.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4DC3

Følgende informasjon er gitt om en kontinuerlig funksjon f :

-  fx>0  for alle  x

f'x<0  for alle  x,-22,

-  f'x=0  for  x=-2  og for  x=2

-  f''x=0  for  x=1  og for  x=3

Lag en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4DC5

Bruk induksjon til å bevise påstanden

Pn:   a+ak+ak2+ak3+...+akn-1=akn-1k-1  ,     n

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DC7

En pasient får 8 mL av en medisin hver time.  Den totale mengden medisin i kroppen t timer etter at medisineringen startet, er yt mL. I løpet av en time skiller kroppen ut 5% av den totale medisinmengden.

a)

Forklar at

y'=8-0,05y

Løs oppgaven her

b)

Vis at  yt=160-160e-0,05t  når  y0=0

Løs oppgaven her

c)

Bestem  limtyt. Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4DCB

Funksjonen f er gitt ved

fx=12e-0,5xsin0,5x   ,    x0, 4π

a)

Tegn grafen til f.

Løs oppgaven her

b)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.

Løs oppgaven her

c)

Bestem arealet som er begrenset av grafen til f og x-aksen.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4DDB

Skissen nedenfor viser en pyramide OABCD som er plassert i et romkoordinatsystem.

Hjørnene i pyramiden er  O0, 0, 0A3, 0, 0B3, 3, 0,  C0, 3, 0 og  D0, 0, 4.

Pyramide

a)

Bestem ved regning arealet av sideflaten ABD i pyramiden.

Løs oppgaven her

b)

Sideflaten ABD ligger i et plan α.

Vis ved regning at planet α har likningen

4x+3z-12=0

Løs oppgaven her

c)

Bestem avstanden fra punktet O til planet α.

Løs oppgaven her

d)

Bestem ved regning vinkelen mellom de to planene som sideflatene ABD og BCD ligger i.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DDH

Figuren nedenfor viser en sirkelsektor OBC  der C  ligger i første kvadrant. Buen BC  er en del av sirkelen med likning  x2+y2=9. Punktet A har koordinatene 2, 0 og OAC=90

Sirkelsektor OBC.

a)

Vis at koordinatene til C  er 2, 5.

Bestem likningen for den rette linjen gjennom O og C.

Løs oppgaven her

b)

Når flatestykket  F1 ΔOAC dreies 360 om  x-aksen, får vi en kjegle.

Bestem volumet av denne kjeglen ved hjelp av integralregning.

Løs oppgaven her

c)

Når flatestykket  F2 dreies 360 om x-aksen, får vi et kulesegment.

Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralregning.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DDM

På figuren er et rektangel med sider x og y innskrevet i en sirkel. Sirkelen har diameteren D.

v er vinkelen mellom x og D.

Rektangel

a)

Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrives som

Ov=2Dcosv+2Dsinv

Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet Av av rektangelet.

Løs oppgaven her

b)

Bruk O'v og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat.

Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Løs oppgaven her

c)

Bruk A'v og vis at det rektangelet som har størst areal, også er et kvadrat.

Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4DDU

Sierpiński-trekanten, som har sitt navn etter den polske matematikeren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lages slik:

1.  Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal A. Se figur 1.

2.  Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørnene i en ny hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2.

3.  Vi gjentar denne prosessen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3–5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, kalles Sierpiński-trekanten.

Figurene 1-5

Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken

A14+316+964+27256+...

a)

Bestem summen av rekken ovenfor.

Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekanten?

Løs oppgaven her

b)

Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.

Forklar at omkretsene av de svarte trekantene i figurene 2 − 5 ovenfor er henholdsvis

332a,   394a,   3278a   og   38116a

Løs oppgaven her

c)

Vi gjør prosessen som forklart i trinn 2 ovenfor n ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene da er lik  332na

Forklar at  332na  når  n

Hva forteller dette om omkretsen til Sierpiński-trekanten?

Løs oppgaven her