Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1011 2016 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Bensintank: (http://www.bestmarin.no, 6.07.2016)
Torus: (http://www.freeimages.com, 6.07.2016)
Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4B3K

Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti 4,5 % av stemmene. Ved forrige kommunevalg fikk partiet 3,6 % av stemmene.

a)

Hvor mange prosentpoeng har økningen vært på?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Prosentpoeng

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall.

Eksempel: Forskjellen mellom $80 %$ og $82 %$ er 2 prosentpoeng.

Prosentpoeng

er forskjellen mellom to prosenttall. Det er viktig å skille mellom økning i

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

og økningen i prosentpoeng. For eksempel, hvis noe øker fra

3 %

til

6 %

, så er økningen på

100 %

i prosent og 3 i prosentpoeng.

Andelen stemmer har økt fra $3, 6 %$ til $4, 5 %$ . Det er en økning på $4, 5 - 3, 6 = 0, 9$ prosentpoeng.

Svar: $0, 9$ prosentpoeng.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosentpoeng

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall.

Eksempel: Forskjellen mellom $80 %$ og $82 %$ er 2 prosentpoeng.

prosentpoeng

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosentpoeng, se artikkelen Prosentpoeng.

b)

Hvor mange prosent har økningen vært på?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

I denne oppgaven skal vi finne økningen i

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Vi skal finne ut hvor mange prosent økning det er fra $3, 6$ til $4, 5$ . Det gjør vi ved å se på vekstfaktoren, som er $\frac{4, 5}{3, 6}$ , eller $\frac{45}{36}$ . (I den siste brøken har i multiplisert telleren og nevneren med 10 for å unngå desimaltallene.) Vi kan regne ut brøken enklere ved å faktorisere telleren og nevneren. Vi vet at $45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3 \cdot 3$ og at $36 = 6 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ . Vi setter dette inn i brøken og forkorter. Da får vi $\frac{45}{36} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1, 25 .$

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

Vekstfaktoren

1, 25

, så

Prosentfaktor

En prosentfaktor er et prosenttall skrevet om til et desimaltall.

Eksempel: 32 % blir skrevet som 0,32 når det skal skrives som en prosentfaktor.

prosentfaktoren

0, 25

. Det gir en økning på

25 %

Vi kunne også ha brukt økningen i prosentpoeng som vi fant i forrige oppgave. Da hadde vi sett at økningen var på $\frac{0, 9}{3, 6} = \frac{9}{36} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 25 % .$

Svar: $25 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Prosent av hva da?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4B3O

En bensintank har form som et rett, firkantet prisme. Tanken er 40 cm bred, 90 cm lang og 30 cm høy (innvendige mål).

Hvor mange liter rommer tanken?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Her må vi huske på hvilke mål vi bruker. Én kubikkdesimeter rommer én liter ( $1 {dm}^{3} = 1 L$ ).

Et rett, firkantet

Prisme

Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

prisme

med bredde

b

, lengde

l

og høyde

h

, har

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

lik

V = b \cdot l \cdot h .

I vårt tilfelle er

b = 40 cm = 4 dm

l = 90 cm = 9 dm

h = 30 cm = 3 dm

. Vi har regnet om til desimeter fordi det gjør det enklere å konvertere svaret til liter. Vi setter tallene inn i formelen over, og får at

V = 4 dm \cdot 9 dm \cdot 3 dm = (4 \cdot 9 \cdot 3) {dm}^{3} .

Vi vet at

4 \cdot 9 = 36

, og videre er

36 \cdot 3 = 108

, så tanken rommer

108 {dm}^{3} = 108 L

Svar: Tanken rommer $108 L$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prisme

prisme

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Rommål

Rommål er det samme som volum.

Se Volum

rommål

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med volum av en rett prisme, se artikkelen En rett prisme.

For å øve mer, se oppgavesettet volum i Treningsleieren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4B3Q

I 2012 var indeksen for en vare 80. Varen kostet da 2 000 kroner. I 2016 var indeksen for varen 60.

Hvor mye ville varen kostet i 2016 dersom prisen hadde fulgt indeksen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi må huske på

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

mellom

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

indeks

og pris. Hvis prisen til varen følger indeksen, har vi nemlig at

$\frac{pris i 2012}{indeks i 2012} = \frac{pris i 2016}{indeks i 2016}$

Vi har at

$\frac{pris i 2012}{indeks i 2012} = \frac{pris i 2016}{indeks i 2016}$ .

Vi vet at indeksen og prisen for varen i $2012$ var henholdsvis $80$ og $2 000 kr$ . Videre var indeksen for varen $60$ i $2016$ . Setter vi dette inn i ligningen over, får vi at

$\frac{2 000 kr}{80} = \frac{pris i 2016}{60} .$

Dette er en ligning der den ukjente er prisen i $2016$ . Vi kan løse ligningen ved å multiplisere med $60$ på hver side av likhetstegnet, og forkorte. Vi får

$\begin{matrix} \frac{2 000 kr}{80} \cdot 60 = \frac{pris i 2016}{60} \cdot 60, \\ \frac{2 000 kr}{80} \cdot 60 = pris i 2016 . \end{matrix}$

Videre regner vi ut $\frac{2 000 kr}{80} \cdot 60$ , eller $2 000 kr \cdot \frac{60}{80}$ . Vi faktoriserer, og regner ut at prisen er

$2 000 kr \cdot \frac{3 \cdot 20}{4 \cdot 20} = 2 000 kr \frac{3}{4} = 1 500 kr .$

Svar: $1 500 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på regning med forhold se artikkelen Målingsforhold. For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med brøk, se artikkelen Hva er en brøk?. Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4B3S

På et kart er avstanden mellom to byer 12 cm. I virkeligheten er avstanden 240 km.

Bestem målestokken til kartet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Hvis et kart har

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

målestokk

1 : 50 000

, så betyr det at én centimeter på kartet er

50 000 cm

i virkeligheten.

Vi vet at $12 cm$ på kartet er $240 km$ i virkeligheten. Det betyr at én centimeter på kartet tilsvarer $\frac{240 km}{12} = \frac{24 \cdot 10 km}{12} = 2 \cdot 10 km = 20 km$ i virkeligheten. Én kilometer er $1 000$ meter, så $20$ kilometer er $20 000$ meter. Videre må vi multiplisere med $100$ for å få antall centimeter, så én centimeter på kartet tilsvarer $20 000 \cdot 100 = 2 000 000$ centimeter i virkeligheten. Det gir en målestokk på $1 : 2 000 000 .$

Svar: $1 : 2 000 000$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

målestokk

Måltall

Det tallet vi leser av på en linjal, en akse, en vekt eller liknende, kaller vi et måltall.

måletall

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med målestokk, se artikkelen Målestokk. For flere eksempler og forklaringer om lengdeenheter, se artikkelen Lengdeenheter i lynkurset Enheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om målestokk i Treningsleieren.

Oppgave 5 (1 poeng) Nettkode: E-4B3V

$x$	$2, 5$	$7, 5$
$y$	$50$		$200$

Gitt tabellen ovenfor. $x$ og $y$ er proporsjonale størrelser.

Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din. Gjør beregninger, og fyll ut tabellen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

At $x$ og $y$ er

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proposjonale

størrelser, betyr at

\frac{x}{y}

er det samme tallet uansett hvilke tilsvarende verdier vi setter inn for

x

y

Det første vi gjør er å skrive av tabellen slik den står.

$x$	$2, 5$	$7, 5$
$y$	$50$		$200$

Vi vet at $x$ og $y$ er proposjonale størrelser, og det betyr at forholdet mellom dem er konstant. Vi vet at når $x = 2, 5$ , så er $y = 50$ ; det betyr at $\frac{y}{x} = \frac{50}{2, 5} = \frac{100}{5} = 20 .$ (Vi kunne også ha brukt det omvendte forholdet $\frac{x}{y} = \frac{1}{20}$ .) Hvis vi multipliserer med $x$ på begge sider av likhetstegnet, kan vi skrive dette på formen $y = 20 x$ . Med andre ord skal $y$ alltid være $20$ ganger større enn $x$ . Når $x = 7, 5$ , skal $y$ dermed være $20 \cdot 7, 5$ . Vi kunne ha regnet ut dette for hånd, men det kan gå fortere hvis vi ser at $7, 5 = \frac{15}{2}$ . Da får vi nemlig at

$y = 20 \cdot \frac{15}{2} = \frac{20}{2} \cdot 15 = 10 \cdot 15 = 150 .$

Dette fyller vi inn i tabellen. Tallet skal være i $y$ -raden, rett under der det står $x = 7, 5$ .

$x$	$2, 5$	$7, 5$
$y$	$50$	$150$	$200$

Til sist skal vi finne ut hva $x$ skal være når $y = 200$ . Vi vet at $y$ alltid skal være 20 ganger større enn $x$ , så $x$ skal være lik $x = \frac{200}{20} = \frac{20 \cdot 10}{20} = 10 .$ Vi fyller dette inn i den siste ruten i tabellen.

$x$	$2, 5$	$7, 5$	$10$
$y$	$50$	$150$	$200$

Svar:

$x$	$2, 5$	$7, 5$	$10$
$y$	$50$	$150$	$200$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proporsjon

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med proporsjonalitet, se artikkelen Proporsjonalitet.

For å øve mer, se oppgavesettet om proporsjonale funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4B44

En funksjon $f$ er gitt ved

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$

a)

Skriv av og fyll ut verditabellen nedenfor.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f (x)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi skal sette inn hver $x$ -verdi fra den første raden inn i uttrykket $f (x)$ , og regne ut.

Først skriver vi av tabellen vi skal fylle ut.

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	6
$f (x)$

Vi starter med ruten lengst til venstre, under $- 2$ . Der skal vi regne ut og skrive tallet $f (- 2)$ . Det gjør vi ved å sette inn $- 2$ der det står $x$ i funksjonsuttrykket til $f$ . Vi regner ut at $f (- 2) = - (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5 .$ Her må vi huske på at når vi multipliserer to negative tall, så får vi noe positivt. Derfor blir $(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4$ , så $- (- 2)^{2} = - 4$ . Videre blir $4 \cdot (- 2) = - 8$ , så vi får at $f (- 2) = - 4 - 8 + 5 = - 7 .$ Vi fyller dette inn i tabellen.

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	6
$f (x)$	$- 7$

Vi regner ut $f (- 1)$ på samme måte. Vi får $f (- 1) = - (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) + 5 .$ Vi husker igjen at vi får noe positivt når vi multipliserer to negative tall. Derfor blir $f (- 1) = - 1 - 4 + 5 = 0,$ og dette fyller vi inn i tabellen.

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	6
$f (x)$	$- 7$	0

Vi regner ut de neste verdiene på helt samme måte. Vi får $\begin{matrix} f (0) & = - 0^{2} + 4 \cdot 0 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5, \\ f (1) & = - 1^{2} + 4 \cdot 1 + 5 = - 1 + 4 + 5 = 8, \\ f (2) & = - 2^{2} + 4 \cdot 2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9, \\ f (3) & = - 3^{2} + 4 \cdot 3 + 5 = - 9 + 12 + 5 = 8, \\ f (4) & = - 4^{2} + 4 \cdot 4 + 5 = - 16 + 16 + 5 = 5, \\ f (5) & = - 5^{2} + 4 \cdot 5 + 5 = - 25 + 20 + 5 = 0, og \\ f (6) & = - 6^{2} + 4 \cdot 6 + 5 = - 36 + 24 + 5 = - 7 . \end{matrix}$

Vi fyller ut tabellen.

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	6
$f (x)$	$- 7$	0	5	8	9	8	5	0	$- 7$

Svar:

$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	6
$f (x)$	$- 7$	0	5	8	9	8	5	0	$- 7$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med andregradsfunksjoner, se artikkelen Andregradsfunksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratiske funksjoner i Treningsleieren.

b)

Tegn grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her skal vi tegne inn punktene vi fant i forrige oppgave i et

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

. Da ser vi cirka hvordan

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

går.

I tabellen fra forrige oppgave står det at $f (x) = - 7$ når $x = - 2$ . Det betyr at grafen til $f$ går gjennom punktet $(- 2, - 7)$ . Det samme gjelder alle de andre kolonnene i tabellen. Vi skal tegne disse punktene inn i et koordinatsystem, og da er det viktig at vi tegner koordinatsystemet i passende størrelse. Vi tegner $x$ -aksen omtrentlig fra $- 2$ til $6$ og $y$ -aksen mellom $- 7$ og $9$ .

Videre skal vi tegne inn punktet $(- 2, - 7)$ som grafen går gjennom. Punktet er plassert der $x = - 2$ og $y = - 7$ .

Vi gjør det samme med alle de andre punktene også. For eksempel står det i tabellen at $f (x) = 0$ når $x = - 1$ , at $f (x) = 5$ når $x = 0$ , og så videre.

Nå har vi et ganske godt inntrykk av hvordan grafen til $f$ ser ut, og da gjenstår det bare å tegne den. Grafen skal gå gjennom alle punktene, og ikke ha noen skarpe hjørner. (Ikke tegn rette streker mellom punktene.) Resultatet er under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på funksjonsgrafer, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.

For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratiske funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4B48

Snorre har seks blå og fire rosa ballonger. Han tar tilfeldig tre ballonger.

a)

Bestem sannsynligheten for at han tar tre blå ballonger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her kan vi bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Det er $6$ blå ballonger og $4$ rosa; det blir totalt $10$ ballonger. Snorre skal trekke tre tilfeldige ut i fra disse. Sannsynligheten for at han trekker en av de 6 blå ballongene første gang, er $P (blå ballong på første) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} .$ Vi antar videre at Snorre trakk en blå ballong første gang. Når Snorre skal trekke den andre ballongen, er det bare $9$ ballonger igjen, og $5$ av disse er blå. Derfor er sannsynligheten for at han trekker en blå ballong andre gangen, lik $P (blå ballong på andre) = \frac{5}{9} .$ Hvis han trakk blå de to første gangene, er det $8$ ballonger igjen, hvorav $4$ er blå. Sannsynligheten for at han trekker blå den siste gangen er dermed $P (blå ballong på tredje) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$ Sannsynligheten for at Snorre trekker blått alle de tre gangene, er sannsynligheten for at alle de tre hendelsene over har skjedd. Produktregelen sier dermed at $P (blå ballong på alle tre) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} .$ Her har vi brukt at $9 = 3 \cdot 3$ i nevneren. Vi kan forkorte to treere og to femmere mot hverandre, og da blir brøken over det samme som $\frac{1}{3 \cdot 2}$ , eller $\frac{1}{6}$ . Derfor er det én sjettedels sannsynlighet for at Snorre trekker tre blå ballonger.

Svar: $P (blå ballong på alle tre) = \frac{1}{6}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med sannsynlighet, se artiklene Hvordan finner vi uniform sannsynligheten? og Betinget sannsynlighet og produktsetningen.

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at han tar minst én rosa ballong.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan løse oppgaven på flere måter, men den enkleste er å se at sannsynligheten for at Snorre trekker minst én rosa ballong er den samme som

Sannsynlighet

sannsynligheten

for at han ikke trekker tre blå.

Vi har at

$P (minst én rosa) = P (ikke blå ballong på alle tre)$

og videre er

$P (ikke blå ballong på alle tre) = 1 - P (blå ballong på alle tre)$

I forrige oppgave regnet vi ut at sannsynligheten var $\frac{1}{6}$ for at Snorre kun trakk blå ballonger, og derfor blir sannsynligheten for at han trekker minst én rosa ballong lik $P (minst én rosa) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} .$

Vi kunne også ha løst oppgaven ved å sette opp et sannsynlighetstre, men dette ville tatt unødvendig lang tid.

Svar: $P (minst én rosa) = \frac{5}{6}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser. .

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

c)

Bestem sannsynligheten for at han tar én rosa og to blå ballonger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Det er flere måter Snorre kan trekke én rosa og to blå ballonger på.

For at Snorre skal trekke én rosa ballong og to blå, kan han enten

$RBB$ - trekke en rosa først, og deretter to blå,

$BRB$ - trekke først en blå, deretter en rosa, og til sist en blå, eller

$BBR$ - trekke to blå først og deretter en rosa.

Vi har forkortet de tre hendelsene med henholdsvis $RBB$ , $BRB$ og $BBR$ . Vi må regne ut sannsynligheten for hver av disse tre hendelsene, og vi får den korrekte sannsynligheten ved å legge sammen disse.

Vi tar $RBB$ først. Vi starter med $10$ ballonger hvorav $4$ er rosa. Sannsynligheten for at den første trukne ballongen er rosa, er derfor $\frac{4}{10} = \frac{2}{5} .$ Når vi har trukket den rosa ballongen, er det $9$ igjen hvorav $6$ er blå. Derfor blir sannsynligheten for at den neste ballongen er blå, lik $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} .$ Til sist er det $8$ ballonger igjen, hvorav $5$ er blå. Sannsynligheten for at den siste ballongen er blå, blir derfor $\frac{5}{8} .$ Totalt har vi dermed $P (RBB) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 8} = \frac{1}{6} .$

Sannsynlighetene for de andre hendelsene regner vi ut på tilsvarende måte. Vi får at $\begin{matrix} P (BRB) & = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{6}, og \\ P (BBR) & = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{6} . \end{matrix}$ Totalt har vi dermed at $P (to blå og én rosa ballong) = P (RBB) + P (BRB) + P (BBR) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} .$

Vi merker oss at $P (RBB)$ , $P (BRB)$ og $P (BBR)$ alle var like. Det er fordi vi bare har byttet om rekkefølgen på faktorene i brøken $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8}$ når vi har regnet dem ut.

Svar: $P (to blå og én rosa ballong) = \frac{1}{2}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

, og

Ordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i er viktig, kalles dette for et ordnet utvalg.

ordnede utvalg

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet med ordnet utvalg, se artikkelen Ordnede utvalg.

For å øve mer, se oppgavesetet om Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging i Treningsleieren.

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4B4D

Eirik har vært hos fotografen. Etter fotograferingen får han tilbud om å kjøpe en fotobok. Han kan selv bestemme hvor mange bilder han vil ha med i boken. Tabellen nedenfor viser prisen for fotobøker med 8, 14 og 24 bilder.

Antall bilder i fotoboken (x)	8	14	24
Pris for fotoboken med bilder (y)	1 000 kroner	1 300 kroner	1 800 kroner

Sammenhengen mellom antall bilder og pris kan beskrives ved hjelp av likningen

$y = a x + b$ der $x$ er antall bilder i boken og $y$ er prisen.

a)

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Det at $y = a x + b$ betyr at det er en lineær sammenheng mellom prisen og antall bilder. Med andre ord er

Graf

grafen

til

y

en rett linje. Tallet

a

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til linjen, og

b

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

Først finner vi stigningstallet til linjen. Stigningstallet er hvor mye $y$ øker hvis $x$ øker med $1$ ; med andre ord, hvor mye det koster å legge til ett bilde. Det koster $1 000$ kroner for 8 bilder og $1 300$ for $14$ bilder. Det betyr at en økning på $14 - 8 = 6$ bilder gir en økning i pris på $1 300 - 1 000 = 300$ kroner. Prisen per bilde er derfor $\frac{300}{6} kr = 50 kr .$ Derfor må stigningstallet $a$ bli $50$ .

Vi fortsetter med å finne konstandleddet, altså hvor mye det koster å få tilsendt fotoboken overhodet. Vi har fra avsnittet over at $y = 50 x + b$ , der $b$ er konstantleddet. Vi vet at det koster $1 000$ kroner å få $8$ bilder; med andre ord er $y = 1 000$ når $x = 8$ . Dette kan vi sette inn i likningen $y = 50 x + b$ , og da får vi at $1 000 = 50 \cdot 8 + b .$ Vi ser at $50 \cdot 8 = 400$ . Vi vil finne tallet $b$ som passer inn i likningen over, og den eneste muligheten er at $b = 1 000 - 400 = 600$ .

Svar: $a = 50, b = 600$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstant

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler på regresjon og lineære funksjoner, se artikkelen Regresjon og Lineære funksjoner.

For å øve mer, se oppgavesette om lineære funksjoner i Treningsleieren.

b)

Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Tallet $a$ er hvor mye prisen øker per bilde, mens $b$ er hva prisen starter på.

Prisen $y$ for å kjøpe $x$ bilder er $y = 50 x + 600$ . Hvis vi kjøper en fotobok med $0$ bilder, altså bare fotoboken, blir prisen $y = 600$ , så vi kan tenke oss at fotoboken i seg selv koster $600 kr$ . Hvis vi vil ha med $x$ bilder, så øker prisen med $50 x$ , så hvert bilde koster $50 kr$ .

Svar: Fotoboken koster $600 kr$ , og hvert bilde koster $50 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler på grafer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4B4N

Julie har tatt opp et lån med en fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.

a)

Er dette et serielån eller et annuitetslån? Begrunn svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

I et

Annuitetslån

Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.

annuitetslån

betaler man en fast sum hver termin. I et

Serielån

Serielån er et lån som betales tilbake med like store avdrag hver termin. I tillegg til avdrag må du betale renter. Serielånet har høyere terminbeløp i begynnelsen av tilbakebetalingsperioden og lavere mot slutten, fordi rentebeløpet blir lavere og lavere.

serielån

betaler man et fast avdrag hver termin, og rentene kommer i tillegg.

De blå stolpene i diagrammet representerer avdragene. Alle de blå stolpene er like høye, og det betyr at avdraget i hver termin er like stort. Rentene kommer i tillegg, så det totale terminbeløpet er større i begynnelsen. Derfor er dette et serielån. Hadde det vært et annuitetslån, hadde den sammenlagte høyden på de blå og røde stolpene vært lik.

Svar: Dette er et serielån.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Låne

Låning er en metode vi bruker i subtraksjon.

lån

Annuitetslån

Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.

annuitetslån

Serielån

serielån

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renter

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med renter, se artikkelen Renter. Lynkurset om lånberegning er under utarbeidelse og kommer snart.

b)

Hvor mange prosent årlig rente betaler Julie på lånet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke figuren til å se hvor mye lånebeløpet var på, og hvor mye som ble betalt av

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renter

Lånebeløpet er summen av avdragene. Julie betaler $10 000 kr$ i avdrag i $10$ terminer, og det betyr at hun lånte $10 \cdot 10 000 kr = 100 000 kr$ . I første termin betalte hun $4 000 kr$ i renter; det ser vi ved at den første røde stolpen i diagrammet går fra $10 000$ til $14 000$ . Renten er altså $4 000 kr$ av $100 000 kr$ , som blir $\frac{4 000}{100 000} = \frac{4}{100} = 4 %,$ altså $4 %$ rente. Det er én termin i året, så Julie betaler $4 %$ rente per år.

Svar: $4 %$ rente per år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Låne

Låning er en metode vi bruker i subtraksjon.

lån

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renter

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Hva er prosent?.

Fo rå øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4B4R

Gitt $Δ A B C$ slik at $A B = 8$ og $B C = 10$ . Se figuren ovenfor.

Vis at arealet av den grønne og den blå halvsirkelen til sammen er like stort som arealet av den grå halvsirkelen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Denne oppgaven dreier seg om sidelengdene til en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

, og da er det sannsynlig at vi skal bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras setning

Vi viser to måter oppgaven kan løses på. Den første er mindre teoretisk, men den tar lengre tid.

Det stilles spørsmål om arealet av halvsirklene. Den første strategien vår er å skrive ut arealene som vi klarer å finne, og deretter prøve å bruke Pytagoras’ setning. Vi husker at arealet til en halvsirkel med radius $r$ er

$areal = \frac{1}{2} π r^{2} .$

Vi starter med den blå halvsirkelen. Den har diameter $A B = 8$ , og derfor har den radius $\frac{8}{2} = 4$ . Derfor har vi

$areal av blå halvsirkel = \frac{1}{2} π 4^{2} = 8 π$

Vi kan også finne arealet til den grå halvsirkelen, som har radius $\frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ . Arealet blir

$areal av grå halvsirkel = \frac{1}{2} 5^{2} π = \frac{25}{2} π$

Til slutt har vi lyst til å finne arealet til den grønne halvsirkelen. Radien til halvsirkelen er $\frac{A C}{2}$ . Vi vet ikke hva $A C$ er, men heldigvis er $Δ A B C$ en rettvinklet trekant, så vi kan bruke Pytagoras’ setning. Den sier at

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .$

Hvis vi setter inn $B C^{2} = 10^{2} = 100$ og $A B^{2} = 8^{2} = 64$ , så får vi

$100 = 64 + A C^{2} .$

Det må bety at $A C^{2} = 100 - 64 = 36$ , så $A C = 6$ . Radien i den grønne halvsirkelen er derfor $\frac{6}{2} = 3$ , så arealet blir

$areal av grønn halvsirkel = \frac{1}{2} π 3^{2} = \frac{9}{2} π$

Vi kan legge sammen arealet av den grønne og den blå halvsirkelen. Da får vi

$\frac{9}{2} π + 8 π = \frac{9 + 16}{2} π = \frac{25}{2} π .$

Dette er akkurat det samme som arealet til den grå halvsirkelen, og det var det vi ville vise.

Vi viser en annen måte å løse oppgaven på. Denne måten er raskere, og grei å bruke hvis man føler seg trygg på Pytagoras’ setning og likninger. Siden $Δ A B C$ er rettvinklet, har vi

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .$

Vi vet at hvis en halvsirkel har diameter $d$ , så vil halvsirkelen ha areal lik $\frac{1}{2} π {(\frac{1}{2} d)}^{2} = \frac{1}{8} π d^{2}$ . Hvert av tallene $B C$ , $A B$ og $A C$ representerer diametre i forskjellige halvsirkler. Det er motivasjonen til å multiplisere likningen over med $\frac{1}{8} π$ på begge sider av likhetstegnet. Da får vi

$\frac{1}{8} π B C^{2} = \frac{1}{8} π A B^{2} + \frac{1}{8} π A C^{2} .$

Nå kan vi merke oss at venstre side av likningen over, $\frac{1}{8} π B C^{2}$ , er lik arealet til den grå halvsirkelen. På samme måte er $\frac{1}{8} π A B^{2}$ og $\frac{1}{8} π A C^{2}$ arealet til henholdsvis den blå og den grønne halvsirkelen. Men da sier likningen over at

$areal av grå halvsirkel = areal av blå halvsirkel + areal av grønn halvsirkel$

og det var akkurat det vi ville vise. Vi merker oss at vi ikke trenger å bruke målene $A B = 8$ og $B C = 10$ .

Svar: Arealet av den grå halvsirkelen er $\frac{25}{2} π$ , mens arealet av den grønne og den blå halvsirkelen er henholdsvis $\frac{9}{2} π$ og $\frac{16}{2} π$ . Alternativt gir Pytagoras’ setning direkte at

$\frac{1}{8} π B C^{2} = \frac{1}{8} π A B^{2} + \frac{1}{8} π A C^{2} .$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Pytagoras læresetning

Pytagoras setning

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med Pytagoras setning, se artikkelen Pytagoras' setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleieren.

Visste du at:

Pytagoras setning sier at hvis man har en trekant med hypotenus $a$ og kateter $b$ og $c$ , så er $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$ Tallet $a^{2}$ er lik arealet til et kvadrat med sidelengde $a$ , og tilsvarende med $b$ og $c$ . Derfor sier Pytagoras setning at arealet av det grå kvadratet under er lik summen av arealene av det grønne og det blå.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4B4U

Anta at antall registrerte elbiler i Norge $x$ år etter 2010 tilnærmet er gitt ved funksjonen $g$ der

$g (x) = 560 x^{3} - 1767 x^{2} + 2501 x + 2577, 0 \leq x \leq 8$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi kan bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi bruker GeoGebra. Alt vi trenger å gjøre er å skrive

 $g = Funksjon[560x^3 - 1767x^2 + 2501x + 2577, 0, 8]$

i “Skriv inn”-vinduet. Vi tilpasser aksene slik at vi ser hele grafen, og setter på passende navn. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med grafer, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleieren.

b)

Når vil antall registrerte elbiler passere 75 000 ifølge denne funksjonen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi skal finne ut når

Graf

grafen

til

g

vokser over

75 000

Vi vil finne ut når grafen til $g$ krysser linjen $y = 75 000$ . Med andre ord vil vi finne ut hva $x$ skal være for at $g (x) = 75 000$ . Dette kan vi gjøre grafisk. Vi tegner den nevnte linjen ved å skrive

 $y = 75000$

i den samme GeoGebra-filen som i forrige oppgave. Vi finner skjæringspunktet mellom grafene ved å bruke skjæringsverktøyet.

Vi ser at grafen til $g$ når $75 000$ når $x = 6$ . Det betyr at antallet registrerte elbiler passerer $75 000$ i $2016$ .

Svar: I 2016 (der $x = 6$ ).

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

For flere forklaringer og eksempler se artikklene Grafisk løsning av likninger og Koordinatsystem.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

c)

Bestem $g (4)$ . Hva forteller denne verdien om antall elbiler?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Tallet $g (x)$ er antall registrerte elbiler $x$ år etter $2010$ .

Vi regner ut $g (4)$ . Det kan vi gjøre ved å sette inn $x = 4$ i formelen $g (x) = 560 x^{3} - 1767 x^{2} + 2501 x + 2577,$ eller så kan vi ganske enkelt skrive

$g (4)$

i den samme GeoGebra-filen som før. Da får vi at $g (4) = 20 149$ . Det betyr at 4 år etter $2010$ – med andre ord, i $2014$ – så var det $20 149$ registrerte elbiler i Norge.

Svar: I følge modellen var det $g (4) = 20 149$ registrerte elbiler i Norge i $2014$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med funksjoner, se artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleieren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4B4Y

I 2010 hadde Eirik en nominell lønn på 450 000 kroner. Konsumprisindeksen var da 128,8.

I 2015 var konsumprisindeksen 139,8. Hvor stor måtte den nominelle lønnen til Eirik ha vært i 2015 dersom han skulle hatt like stor kjøpekraft som i 2010?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Denne oppgaven handler om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

, og da må vi huske på at

reallønn = nominell lønn \cdot \frac{100}{indeks} .

Hvis man har lik reallønn to år, har man også samme kjøpekraft.

I hele denne oppgaven bruker vi likningen som viser forholdet mellom reallønn og nominell lønn, nemlig $reallønn = nominell lønn \cdot \frac{100}{indeks} .$ Vi regner om den nominelle lønnen til Eirik til reallønn. Vi får at $reallønn = 450 000 kr \cdot \frac{100}{128, 8} \approx 349 379 kr .$ I $2015$ var konsumprisindeksen $139, 8$ . Spørsmålet er nå hvor mye lønn Eirik skulle hatt i $2015$ hvis han skulle hatt like høy reallønn som i $2010$ . Med andre ord vil vi finne ut hva den nominelle lønnen skal være i ligningen $349 379 kr = nominell lønn \cdot \frac{100}{139, 8} .$ Det finner vi ut ved å multiplisere med den omvendte brøken $\frac{139, 8}{100}$ på begge sider av likhetstegnet, og forkorte. Da får vi $\begin{matrix} 349 379 kr \cdot \frac{139, 8}{100} & = nominell lønn \cdot \frac{100}{139, 8} \cdot \frac{139, 8}{100}, \\ 349 379 kr \cdot \frac{139, 8}{100} & = nominell lønn . \end{matrix}$ Dermed er den nominelle lønnen Eirik må ha, lik $nominell lønn = 349 379 kr \cdot \frac{139, 8}{100} \approx 488 432 kr .$

Svar: Cirka $488 432 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Prosent av hva da?. Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4B50

Marita driver eget firma. I 2015 hadde hun en omsetning på 1 200 000 kroner. Hun har som mål å øke omsetningen med 3,5 % per år.

a)

Hva vil omsetningen hennes bli i 2025 dersom hun klarer dette?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Hvis noe øker med $3, 5 %$ , så er

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

1, 035

Hvis Marita vil øke omsetningen med $3, 5 %$ per år fra $2015$ , så vil omsetningen i $2016$ være $1 200 000 \cdot 1, 035 kr$ . Etter to år vil den være $1 200 000 \cdot 1, 035 \cdot 1, 035 kr = 1 200 000 \cdot 1, 035^{2} kr$ , etter tre år vil den være $1 200 000 \cdot 1, 035^{3} kr$ , og så videre. I $2025$ , altså etter $10$ år, vil omsetningen derfor være $1 200 000 \cdot 1, 035^{10} kr \approx 1 692 719 kr .$

Svar: Cirka $1 692 719 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potensiell teori

Teorien om potensialfunksjoner, som er en generalisering av integralfunksjoner i flere variable.

potenser

med

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

, og

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent og potenser, se artiklene Hva er prosent?, Banksparing over flere år og Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Marita endrer prisen på et produkt tre ganger. Først setter hun prisen opp med 40 %. Senere setter hun den ned igjen, først med 20 % og så med 20 % en gang til. Etter disse tre endringene koster produktet 560 kroner.

Hvor mye kostet produktet før prisendringene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Produktet koster opprinnelig ikke $560$ kroner, fordi hvis man setter ned prisen $20 %$ to ganger, så er det ikke det samme som å sette ned prisen med $40 %$ én gang.

La oss si at produktet kostet $x$ kroner før prisendringene. Prisen ble satt opp med $40 %$ , som gir en vekstfaktor på $1, 4$ ; derfor kostet produktet $x \cdot 1, 4$ etter prisøkningen. Deretter ble prisen satt ned $20 %$ , som gir en vekstfaktor på $0, 8$ . Dette skjer to ganger, så til slutt koster produktet $x \cdot 1, 4 \cdot 0, 8 \cdot 0, 8$ . Vi regner ut at dette er det samme som $0, 896 x$ . Men vi vet allerede at produktet kostet $560 kr$ etter prisendringene. Det må bety at $560$ og $0, 896 x$ er det samme tallet. Derfor er $560 = 0, 896 x .$ Vi dividerer begge sider med $0, 896$ for å finne ut hva $x$ er. Vi får

$\begin{matrix} \frac{560}{0, 896} = \frac{0, 896 x}{0, 896}, \Rightarrow x = \frac{560}{0, 896} . \end{matrix}$

Vi regner ut at $\frac{560}{0, 896} = 625$ , så produktet kostet opprinnelig $625$ kroner.

Svar: $625 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Prosent av hva da? og Løs en førstegradslikning!.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4B5A

I en 1P-gruppe er det 26 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår.

- 20 elever har valgt Sosialkunnskap.
- 16 elever har valgt Internasjonal engelsk.
- 6 elever har verken valgt Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk.

a)

Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

Krysstabellen

eller Venn-diagrammet skal vise hvor mange som har valgt de forskjellige kombinasjonene av Sosialkunnskap og Internasjonal engelsk.

Vi viser hvordan vi lager en krysstabell, og viser et venndiagram til slutt. Det første vi gjør er å sette opp en tom krysstabell vi skal fylle ut. Tabellen skal vise hvor mange som tok og ikke tok Sosialkunnskap, og hvor mange som tok og ikke tok Internasjonal engelsk.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk
Ikke-internasjonal engelsk
Totalt

Neste steg er å fylle inn informasjonen vi får fra teksten. Den aller første informasjonen vi får, er at det er totalt $26$ elever i gruppen. Dette tallet skal stå der “Totalt”-raden krysser “Totalt”-kolonnen, altså nederst til høyre i tabellen.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk
Ikke-internasjonal engelsk
Totalt			26

Videre får vi vite at totalt $20$ elever valgte Sosialkunnskap. Dette skriver vi der “Totalt”-raden krysser “Sosialkunnskap”-kolonnen. Tilsvarende var det totalt $16$ elever som valgte Internasjonal engelsk, så vi plasserer dette tallet på tilsvarende måte.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk			16
Ikke-internasjonal engelsk
Totalt	20		26

Til sist ser vi at $6$ elever valgte verken Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk. Disse hører til der “Ikke Internasjonal engelsk”-raden krysser “Ikke Sosialkunnskap”-kolonnen.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk			16
Ikke internasjonal-engelsk		6
Totalt	20		26

Dette var det siste av informasjonen vi fikk fra teksten, og vi må regne oss fram til hva som skal stå i de resterende rutene. Vi kan fylle ut alle rader og kolonner hvor vi har to av tre ruter fylt ut. Vi starter med den nederste raden. Der står det at av $26$ elever, så valgte $20$ elever Sosialkunnskap. Det betyr at $6$ elever ikke valgte Sosialkunnskap.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk			16
Ikke-internasjonal engelsk		6
Totalt	20	6	26

Vi kan regne oss fram til resten av rutene på samme måte. Det kan gå litt raskere hvis vi bruker at de to første rutene i hver rad og kolonne skal summeres opp til den tredje ruten. (I den nederste raden har vi ( $20 + 6 = 26$ .) Vi bruker denne tankegangen på kolonnen helt til høyre. I første rute står det $16$ , og i siste rute står det $26$ . Da må det stå $10$ i den andre ruten, fordi $16 + 10 = 26$ . På samme måte skal det stå $0$ i den første ruten i “Ikke Sosialkunnskap”-kolonnen.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk		0	16
Ikke-internasjonal engelsk		6	10
Totalt	20	6	26

Nå mangler bare første kolonne. I første rute må det stå $16$ , fordi $16 + 0 = 16$ . I andre rute må det stå $4$ , fordi $4 + 6 = 10$ .

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk	16	0	16
Ikke-internasjonal engelsk	4	6	10
Totalt	20	6	26

Vi kan også lage et venndiagram. Da starter vi med to avgrensede områder – et som representerer Internasjonal engelsk, og et som representerer Sosialkunnskap. Vi vet at det var $6$ elever som valgte verken Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk. Derfor hører dette tallet hjemme på utsiden av begge områdene.

Siden det er totalt $26$ elever og $6$ av disse ikke tok noen av de nevnte fagene, så skal de resterende $20$ elevene fordeles på de to sirklene. Vi vet allerede at $20$ elever tok Sosialkunnskap, og det må bety at alle de $16$ som tok Internasjonal engelsk også tok Sosialkunnskap. Til sist kan vi konkludere med at $20 - 16 = 4$ elever tok Sosialkunnskap uten å ta Internasjonal engelsk, fordi vi skulle fordele totalt $20$ elever.

Siden alle som tok Internasjonal engelsk også tok Sosialkunnskap, kunne vi også ha laget venndiagrammet som vist under.

Svar: Krysstabell:

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Totalt
Internasjonal engelsk	16	0	16
Ikke-internasjonal engelsk	4	6	10
Totalt	20	6	26

Venn-diagram – ett av følgende:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

og Venn-diagram.

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Gruppering av data i lynkurset Statistikk (del I) og artikkelen Venn-diagram og mengdelære i lynkurset Sannsynlighet (del II).

b)

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra gruppen har valgt Sosialkunnskap, men ikke Internasjonal engelsk.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabellen

vår.

Vi trekker ut en tilfeldig elev, og vil finne sannsynligheten for at denne eleven har valgt Sosialkunnskap men ikke Internasjonal engelsk. Fra krysstabellen vår vet vi at det er $4$ slike elever av totalt $26$ . Det gir en sannsynlighet på

$P (S) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{4}{26} = \frac{2}{13}$

Svar: Sannsynligheten er $\frac{2}{13}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstig utfall

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynligheten?.

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

c)

Det viser seg at eleven som er trukket ut, har valgt Internasjonal engelsk.

Bestem sannsynligheten for at denne eleven også har valgt Sosialkunnskap.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi skal regne ut

Sannsynlighet

sannsynligheten

for at en tilfeldig valgt elev som har valgt Internasjonal engelsk, også har valgt Sosialkunnskap.

Svaret kan gis med én gang, fordi vi vet at alle som valgte Internasjonal engelsk også valgte Sosialkunnskap. Derfor er sannsynligheten $100 %$ . Det kan også regnes ut som i forrige oppgave. Fra krysstabellen vet vi at $16$ elever valgte Internasjonal engelsk, og $16$ av disse valgte Sosialkunnskap. Derfor er sannsynligheten

$P (S, Ie) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{16}{16} = 1$

Svar: Sannsynligheten er 1, eller $100 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstig utfall

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Venn-diagram og mengdelære og Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

Oppgave 5 (7 poeng) Nettkode: E-4B5G

Fra og med måneden etter at et barn blir født, og til og med måneden før barnet fyller 18, får foreldrene utbetalt barnetrygd. Satsen for barnetrygd har vært 970 kroner per barn per måned siden 1996.

Stian ble født i september 1996.

a)

Hvor mye fikk foreldrene hans totalt utbetalt i barnetrygd?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi skal regne ut hvor mye penger foreldrene til Stian fikk i barnetrygd gjennom hele Stians oppvekst. Vi antar at året i år er $2016$ .

Stian fylte $18$ år i september i $2014$ . For årene fra og med $1997$ til og med $2013$ fikk derfor foreldrene til Stian $12$ måneder støtte per år. Det er totalt $12 \cdot 17 = 204$ måneder støtte. I tillegg fikk de støtte i oktober, november og desember i $1996$ , og i månedene før september i $2014$ . Det er $3 + 8 = 11$ måneder ekstra, så totalt har foreldrene fått støtte i $215$ måneder. Støtten er på $970$ kroner per måned, så totalt er dette $215 \cdot 970 kr = 208 550 kr .$

Svar: $208 550 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multiplikasjon

Addisjon

Er det samme som å legge til, legge sammen eller plusse sammen.

Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet, 12, kalles en sum.
Mellom leddene skrives plusstegn +.

addisjon

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

For flere forklaringer og eksempler om på statistikk, se artikkelen Gruppering av data.

For å øve mer, se oppgavesettet om datainnsamling i Treningsleieren.

b)

Tabellen til høyre viser konsumprisindeksen hvert år fra 1996 til 2015.

Stian mener at satsen for barnetrygd burde vært regulert i samsvar med konsumprisindeksen.

Vis at satsen for barnetrygd da skulle vært 1423 kroner per barn per måned i 2015.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi skal bruke sammenhengen mellom verdi og

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

. Den er

$\frac{verdi i 1996}{indeks i 1996} = \frac{verdi i 2015}{indeks i 2015}$

Svar:

Vi vil vite hva de $970$ kronene fra $1996$ er verdt i $2015$ . Vi har sammenhengen $\frac{verdi i 1996}{indeks i 1996} = \frac{verdi i 2015}{indeks i 2015}$ . Vi vet at barnetrygden i $1996$ var $970$ , og fra tabellen vet vi at konsumprisindeksen i $1996$ og $2015$ var henholdsvis $95, 3$ og $139, 8$ . Vi setter dette inn i ligningen over, og får $\frac{970 kr}{95, 3} = \frac{verdi i 2015}{139, 8} .$ Vi multipliserer begge sider av ligningen med $139, 8$ , og forkorter. Da får vi $\begin{matrix} \frac{970 kr}{95, 3} \cdot 139, 8 = \frac{verdi i 2015}{139, 8}, \cdot 139, 8 \\ verdi i 2015 = \frac{970 kr}{95, 3} \cdot 139, 8 . \end{matrix}$ Vi regner ut at $\frac{970 kr}{95, 3} \cdot 139, 8 \approx 1 423 kr$ . Det betyr at barnetrygden skulle ha vært på $1 423 kr$ hvis den skulle ha fulgt konsumprisindeksen, akkurat som vi skulle vise.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på brøk, se artikkelen Hva er en brøk?.

Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

c)

Lag et regneark som viser hvor mye Stians foreldre totalt ville fått utbetalt dersom satsen for barnetrygd hvert år hadde blitt regulert i samsvar med konsumprisindeksen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi kan bruke Excel til å finne ut hvor mye barnetrygden skulle ha vært på vært år, og legge sammen.

Det første vi gjør er å kopiere tabellen med konsumprisindeksene. Vi vil også ha en kolonne for hvor mye satsen for barnetrygden skal være vært år, antall måneder støtte foreldrene fikk hvert år, og en kolonne for den mottatte støtten. Vi husker at satsen var på $970$ kroner i $1996$ .

I $1996$ skal foreldrene motta $970 \cdot 3$ kroner i støtte. Vi regner ut dette i Excel ved å skrive

 $= D 2 * C 2$

i ruten $E2$ . Videre vil vi regne ut støtten i $1997$ . Da må vi først regne ut hva satsen skal være. Det gjør vi på samme måte som i forrige oppgave, og vi får at $$\text{sats i 1997} = \text{sats i 1996}\cdot\frac{\text{indeks i }1997}{\text{indeks i }1996}.$$ Derfor skriver vi

 $= C 2 * B 3 / B 2$

i rute $C 3$ . I rute $E 3$ skriver vi tilsvarende som i $E 2$ :

 $= D 3 * C 3$

Slik fortsetter vi nedover. Til slutt summerer vi hele $E$ -kolonnen for å få det totale barnebidraget.

Dermed skulle foreldrene ha mottatt $255 346, 14 kr$ i barnebidrag, hvis satsen hadde fulgt konsumprisindeksen.

Under viser vi en oversikt over alle kommandoene som er brukt.

Svar: $255 346, 14 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

brutto månedslønn

Netto månedslønn

Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.

netto månedslønn

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

og regneark.

For flere forklaringer og eksempler på data, se artikkelen Data. Lynkurset om regneark er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4B5L

I regnearket nedenfor har vi lagt inn timelønn, skatteprosent og antall timer Sara, Vilde og Peder arbeidet i juli.

a)

Lag et regneark som vist ovenfor. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne bruttolønn, skattetrekk og nettolønn.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her kan vi bruke Excel.

Vi bruker Excel. Vi trenger bare å gjøre utregninger for Sara, og så “dra” rutene fra hennes kolonne over til Vildes og Peders. Dette viser noe av styrken til regneark. Vi viser en oversikt over alle kommandoer som er brukt nederst.

Det aller første vi gjør, er å skrive av regnearket.

Vi starter med utregning av bruttolønnen. Sara jobbet i $B2$ timer med ordinær timelønn, der timelønnen er $B4$ . Lønnen for ordinært arbeid må derfor være disse produktet av disse to. Derfor skriver vi

 $= B2 * B4$

i rute $B5$ . Vi drar ruten over til Vilde og Peder for å gjøre samme utregning der. Videre jobbet Sara i $B3$ timer med $40 %$ overtidstillegg. Et lønnstillegg på $40 %$ gir en vekstfaktor på $1, 4$ , så lønnen for overtidsarbeidet er

 $= B3*B4* 1, 4$

Dette skriver vi i rute $B6$ . Bruttolønnen er summen av $B5$ og $B6$ .

Videre skal vi regne ut skattetrekket. Sara skatter $B 8$ (i prosent) av den ordinære lønnen $B5$ , som gir en skatt på $B5 \cdot B8$ . Videre skatter hun $B9$ av overtidslønnen $B6$ , som gir skatt på $B6 \cdot B9$ . Derfor skriver vi

 $= B5*B8+B6*B9$

som det totale skattetrekket i rute $B10$ . Nettolønnen får vi ved å trekke skatten fra bruttolønnen. Som vanlig trekker vi utregningene fra Saras kolonne over til Vildes og Peders.

Her er oversikten over alle utregningene som er brukt.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om regneark,

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønn

Netto månedslønn

Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.

nettolønn

Lynkurset om regneark, skatt- og lønnberegning er under utarbeidelse og kommer snart.

b)

Sara har regnet ut at hun i gjennomsnitt betalte 20,3 % i skatt av bruttolønnen hun hadde i juli. Hun har derfor satt opp at hun har en gjennomsnittlig skatteprosent på 20,3.

Vis hvilke beregninger Sara har gjort. Legg inn formler i de røde cellene i siste rad i regnearket fra oppgave a), slik at du også får med gjennomsnittlig skatteprosent for Vilde og Peder.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her trenger vi bare å forholde oss til

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skattetrekket

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønnen

Sara har sett på hvor mye hun har skattet totalt i forhold til bruttolønnen. Hun har skattet $B10$ kroner av en bruttolønn på $B7$ , og da blir skatteprosenten lik $\frac{B10}{B7}$

På helt tilsvarende måte kan vi finne Vildes gjennomsnittlige skatteprosent ved å skrive

 $= C10/C7$

i rute $C12$ , og for Peder skriver vi

 $= D10/D7$

Resultatet er vist under. For å få svaret opp som prosent, markerer man cellene, velger “Formater celler” og klikker på prosent.

Svar: Sara har skattet i gjennomsnitt $\frac{B10}{B7}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønn

, regneark og

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4B5R

Gitt $Δ A B C$ og $Δ C E D$ . Se figuren ovenfor.

$B C = 36$ , $A C = 39$ og $C D = 26$ .

a)

Forklar hvorfor $Δ A B C$ og $Δ C E D$ er formlike.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

To trekanter er

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike

hvis de har parvis like store vinkler.

Trekantene $Δ A B C$ og $Δ C E D$ er formlike hvis de har parvis like store vinkler. Faktisk behøver de bare å ha to parvis like store vinkler, for da vil den siste vinkelen være bestemt av vinkelsummen på $180^{\circ}$ . Vi ser at både $Δ A B C$ og $Δ C E D$ har en rett vinkel. Videre deler begge trekantene $∠ C$ . Siden vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ}$ , vil den siste vinkelen i begge trekantene være $180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠ C$ , og derfor er trekantene formlike.

Svar: Begge trekantene har en rett vinkel, og $∠ C$ . Dermed er også den siste vinkelen lik.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

For flere forklaringer og eksempler på formlikhet, se artikkelen Formlikhet og kongruens.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.

b)

Bestem lengden av $C E$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

I to

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike trekanter

har tilsvarende sider det samme

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

Vi vet fra forrige oppgave at $Δ A B C$ og $Δ C E D$ er formlike. Derfor har vi at tilsvarende sider i de to trekantene har det samme forholdet. Med andre ord er

$\frac{D E}{A B} = \frac{C E}{B C} = \frac{C D}{A C} .$

Vi vet at $A C = 39$ og $C D = 26$ , så alle brøkene over har verdi $\frac{26}{39}$ . Vi vet også at $B C = 36$ , så vi får at

$\frac{C E}{36} = \frac{26}{39} .$

Vi vil finne verdien for $C E$ som passer inn i likningen over. Det gjør vi ved å multiplisere ligningen med 36 på begge sider, og forkorte. Vi får

$\begin{matrix} \frac{C E}{36} \cdot 36 = \frac{26}{39} \cdot 36, C E = \frac{26}{39} \cdot 36 . \end{matrix}$

Vi regner ut at høyre side i likningen over er 24, så $C E = 24$ .

Svar: $C E = 24$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

For flere eksempler og forklaringer se artikklene Formlikhet og kongruens.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.

c)

Vis at forholdet mellom arealet av $Δ A B C$ og arealet av $Δ C E D$ er $\frac{9}{4}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Her kan vi sette opp

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formlene

til

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealene

til de to

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekantene

, og bruke

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikheten

til å finne ut hva

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

blir.

Arealet til en trekant med lengde $l$ og høyde $h$ er $\frac{1}{2} \cdot l \cdot h$ . I $Δ A B C$ velger vi lengden til å være $A B$ og høyden til å være $B C$ , så arealet av $Δ A B C$ er

$areal av Δ A B C = \frac{1}{2} A B \cdot B C$

I $Δ C E D$ lar vi lengden være $D E$ og høyden være $C E$ , så er arealet av

$areal av Δ C E D = \frac{1}{2} D E \cdot C E$

Nå har vi funnet uttrykk for arealene av trekantene, men det er variabler inne i dem som vi ikke vet hva er ( $A B$ og $D E$ ). Vi kunne brukt Pytagoras’ setning til å finne disse sidene. Vi viser hvordan vi gjør dette til slutt, men foreløpig prøver vi å se på forholdet mellom arealene uten å sette inn tall for lengdene og høydene. Da får vi

$\frac{areal av Δ A B C}{areal av Δ C E D} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot B C}{\frac{1}{2} D E \cdot C E}$

Vi kan forkorte $\frac{1}{2}$ over og under brøkstreken, og da står vi igjen med

$(1) \frac{\frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C}{\frac{1}{2} \cdot D E \cdot C E} = \frac{A B}{D E} \cdot \frac{B C}{C E}$

I forrige oppgave brukte vi formlikhet til å vise at $\frac{D E}{A B} = \frac{C E}{B C} = \frac{26}{39}$ . Vi kan snu på brøkene, og da får vi

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{C E} = \frac{39}{26}$

Setter vi dette inn i uttrykket $(1)$ , får vi at forholdet mellom arealet av trekantene er

$\frac{A B}{D E} \cdot \frac{B C}{C E} = \frac{39}{26} \cdot \frac{39}{26} = \frac{9}{4},$

og det var akkurat det vi ville vise.

Vi kunne også ha funnet lengdene til $A B$ og $D E$ ved å bruke Pytagoras’ setning, deretter funnet begge arealene og sett på forholdet. Vi vet nemlig at

$A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = \sqrt{39^{2} - 36^{2}} = 15$

$D E = \sqrt{C D^{2} - C E^{2}} = \sqrt{26^{2} - 24^{2}} = 10 .$

Da får vi

$areal av Δ A B C = \frac{1}{2} 15 \cdot 36 = 270$

$areal av Δ C E D = \frac{1}{2} 10 \cdot 24 = 120$

Da blir forholdet

$\frac{270}{120} = \frac{9}{4}$ .

Svar: $\frac{areal av Δ A B C}{areal av Δ C E D} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot B C}{\frac{1}{2} D E \cdot C E} = \frac{39}{26} \cdot \frac{39}{26} = \frac{9}{4}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Måltall

Det tallet vi leser av på en linjal, en akse, en vekt eller liknende, kaller vi et måltall.

mål

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med areal og volum, se artikkelen Tom forteller om areal og se artikkelen Tom forteller om volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal og formlikhet og kongruens i Treningsleieren.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4B60

Bildet ovenfor viser en torus. Torusen er laget av et aluminiumsrør. Figurene viser tverrsnitt av torusen.

Volumet $V$ av en torus er gitt ved

$V = π r^{2} \cdot 2 π R$

der $B C = r$ er radius i aluminiumsrøret og $A C = R$ er avstanden fra sentrum i det sirkelformede hullet i midten av torusen til sentrum i aluminiumsrøret.

I en torus er $r = 5, 1$ cm og $R = 20, 4$ cm.

a)

Bestem volumet av denne torusen. Gi svaret i liter.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her skal vi sette inn målene av

Torus

En torus er det ringformede omdreiningslegeme som framkommer ved at en dreier en sirkel 360° i rommet omkring en linje i dens plan med linjen utenfor sirkelen.

Overflaten er $4 π R r$ , og volumet er $2 π^{2} R r^{2}$ der $r$ er sirkelens radius og $R$ er avstanden fra sirkelens sentrum til omdreiningsaksen.

torusen

inn i

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

til

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

. Vi husker at

1 {dm}^{3} = 1 L

Det første vi gjør er å regne om målene til desimeter, fordi det gjør det enklere å konvertere til liter. Vi har at $r = 5, 1 cm = 0, 51 dm$ , og $R = 20, 4 cm = 2, 04 dm$ . Dette skal vi sette inn i formelen

$V = π r^{2} \cdot 2 π R .$

Vi får

$V = π (0, 51 dm)^{2} \cdot 2 π \cdot 2, 04 dm \approx 10, 47 {dm}^{3},$

så volumet av torusen er cirka $10, 47 L$ .

Svar: Cirka $10, 47 L$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formel

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

Rommål

Rommål er det samme som volum.

Se Volum

rommål

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

For flere eksempler og forklaringer om volum se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

b)

I en annen torus er $R = 10, 2$ cm. Torusen har volum $V = 8, 6$ L.

Bestem omkretsen av sirkelen med radius $A B$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi skal sette målene inn i

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

for

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

, men denne gangen skal vi løse

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likningen

vi får.

Det første vi må gjøre er å finne ut hva lengden $A B$ er. Vi ser fra figuren i oppgaven at $A B = A C - B C = R - r$ . Vi vet hva $R$ er, men vi må finne $r$ .

Først gjør vi om $R = 10, 2 cm$ til $1, 02 dm$ , og $R = 8, 6 L$ til $8, 6 {dm}^{3}$ . Vi setter målene inn i ligningen

$V = π r^{2} \cdot 2 π R,$

og får

$8, 6 {dm}^{3} = π r^{2} \cdot 2 π \cdot 1, 02 dm .$

Vi vil finne ut hvilken verdi for $r$ som passer inn i ligningen over. Vi kan endre rekkefølgen på faktorene, og skrive dette som

$8, 6 {dm}^{3} = r^{2} \cdot 2 π^{2} \cdot 1, 02 dm .$

Vi regner ut at $2 π^{2} \cdot 1, 02 \approx 20, 13$ , så vi har at

$8, 6 {dm}^{3} \approx r^{2} \cdot 20, 13 dm .$

Vi vil ha $r^{2}$ alene på én side av likhetstegnet, og derfor dividerer vi med $20, 13 dm$ på hver side og forkorter. Vi får

$\begin{matrix} \frac{8, 6 {dm}^{3}}{20, 13 dm} \approx \frac{r^{2} \cdot 20, 13 dm}{20, 13 dm}, \\ r^{2} \approx \frac{8, 6 {dm}^{3}}{20, 13 dm} . \end{matrix}$

Vi regner ut at $\frac{8, 6 {dm}^{3}}{20, 13 dm} \approx 0, 43 {dm}^{2}$ , så $r^{2} \approx 0, 43 {dm}^{2}$ . Da må

$r \approx \sqrt{0, 43 {dm}^{2}} \approx 0, 65 dm = 6, 5 cm .$

Nå kan vi fortsette med å regne ut omkretsen av sirkelen. Vi fant ut at $A B = R - r \approx 10, 2 cm - 6, 5 cm = 3, 7 cm$ . Omkretsen av sirkelen er dermed

$omkrets = 2 π \cdot A B \approx 2 π \cdot 3, 7 cm \approx 23, 2 cm .$

Svar: Cirka $23 cm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Geometri

geometri

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Rommål

Rommål er det samme som volum.

Se Volum

rommål

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

For flere forklaringer og eksempler på volum, se artikkelen Tom forteller om volum. For flere eksempler og forklaringer om å løse andregradslikninger, se lykurset Andregradslikninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om andregradslikninger i Treningsleieren.

MAT1011 2016 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4B3K

a)

Løsningsforslag a)

Prosentpoeng

Prosent

Prosentpoeng

b)

Løsningsforslag b)

Prosent

Vekstfaktor

Prosentfaktor

Prosent

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4B3O

Løsningsforslag

Prisme

Volum

Prisme

Volum

Rommål

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4B3Q

Løsningsforslag

Proporsjon

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks

Proporsjon

Brøk

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4B3S

Løsningsforslag

Målestokk

Brøk

Målestokk

Måltall

Oppgave 5 (1 poeng) Nettkode: E-4B3V

Løsningsforslag

Proporsjon

Proporsjon

Verditabell

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4B44

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Verditabell

Andregradsuttrykk

b)

Løsningsforslag b)

Koordinatsystem

Graf

Verditabell

Funksjon

Graf

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4B48

a)

Løsningsforslag a)

Produktsetningen

Sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Produktsetningen

b)

Løsningsforslag b)

Sannsynlighet

Sannsynlighet

Uten tilbakelegging

c)

Løsningsforslag c)

Sannsynlighet

Ordnede utvalg

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4B4D

a)

Løsningsforslag a)

Graf

Stigningstall

Konstant

Regresjon

Lineære funksjoner

Konstant