Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1011 2013 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

Melk: (http://www.tine.no, 4.07.2016)
Poteter: (http://www.freeimages.com/, 4.07.2016)
Ost: (www.tine.no, 4.07.2016)
Skinke: (http://www.matstart.no/, 4.07.2016)
Hjort: (http://www.freeimages.com/, 4.07.2016)
Tørr sand: (http://forskning.no/, 4.07.2016)

Tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4AB4

Hilde skal kjøpe

2 L melk

2,5 kg poteter

0,5 kg ost

200 g kokt skinke

Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal gjøre

Overslag

Brukes for å vite omtrent hvor mye noe vil koste eller hvor stort noe er. Overslag utføres ofte i hodet og tallene som inngår i regnestykket rundes av. Det finnes regler for avrunding, slik at forskjellen mellom nøyaktig svar og overslaget ikke blir for stort.

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

overslag

, og da skal vi gjøre passende avrundinger på tallene. Prisen på varene er gjort veldig lette å runde opp, men vi må passe på å ikke runde for mye opp totalt.

Vi tar alle varene i rekkefølgen oppgitt i oppgaven.

Først skal Hilde kjøpe 2 liter melk til $14, 95 kr$ per liter. Vi runder prisen opp til $15 kr$ per liter, og to liter melk koster da cirka $2 \cdot 15 kr = 30 kr$ .

Neste punkt på listen er poteter. Prisen per kilogram er $8, 95 kr$ , som vi runder opp til $10 kr$ . Hilde skal ha $2, 5 kg$ poteter, som blir cirka $2, 5 \cdot 10 kr = 25 kr$ . Med melken blir det totalt $30 kr + 25 kr = 55 kr$ .

Ost koster $89, 5$ kroner per kilogram, som vi runder opp til $90 kr$ . Vi kunne ha rundet opp til $100 kr$ , men vi har ikke så mange muligheter til å runde ned, og da kan summen bli for høy. Hilde skal ha en halvkilo ost, som koster ca. $0, 5 \cdot 90 kr = 45 kr$ . Med de andre varene blir summen $55 kr + 45 kr = 100 kr$ .

Til sist skal Hilde kjøpe $200 g$ skinke til $199 kr$ per kilogram. Vi runder prisen opp til $200 kr$ . Vi skal ha $200 g$ , altså én femtedels kilogram, så dette koster $\frac{1}{5} \cdot 200 kr = 40 kr$ . Den totale summen blir $100 kr + 40 kr = 140 kr$ .

Den egentlige summen Hilde må betale i kroner er $2 \cdot 14, 95 + 2, 5 \cdot 8, 95 + 0, 5 \cdot 89, 95 + 0, 2 \cdot 199 = 137, 05$ ,

så vi var ganske nærme.

Svar: Cirka $140 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Overslag

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

overslag

For å øve mer, se oppgavesettet om overslag i Treningsleieren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4AB1

En vare koster nå 210 kroner. Prisen er da satt ned med 30 %.

Hva kostet varen før prisen ble satt ned?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Hvis prisen ble satt ned $30 %$ til 210 kroner, så er 210 kroner $70 %$ av det opprinnelige beløpet.

Vi vet ikke hvor mye varen kostet før prisen ble satt ned, så vi gir dette tallet et navn – la oss si $x$ kroner. Prisen $x$ ble satt ned $30 %$ , og da var den 210. Det betyr at $210$ er $70 %$ av $x$ , altså at $210 = x \cdot 70 % .$ En annen måte å si dette på er at $210 = x \cdot 0, 7$ . Dette er en ligning, og vi vil finne et tall $x$ som passer inn i ligningen. Derfor dividerer vi med $0, 7$ på hver side av likhetstegnet, og forkorter: $\begin{matrix} \frac{x \cdot 0, 7}{0, 7} = \frac{210}{0, 7}, \\ x = \frac{210}{0, 7} . \end{matrix}$ Nå må vi regne ut brøken $\frac{210}{0, 7}$ . Vi kunne gjort det for hånd, men det trenger vi ikke hvis vi ser at $\frac{210}{0, 7} = \frac{210 \cdot 10}{0, 7 \cdot 10} = \frac{21 \cdot 100}{7} = \frac{21}{7} \cdot 100 .$ Vi vet at $3 \cdot 7 = 21$ , så $\frac{21}{7} = 3$ ; derfor er $\frac{210}{0, 7} = 3 \cdot 100 = 300$ . Dermed var den opprinnelige prisen på varen $300 kr$ .

Svar: $300 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Prosent av hva da? i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4AB6

En vare kostet 150 kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen 110.

Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Denne oppgaven handler om

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

, og da skal vi nok bruke likningen som viser sammenhengen mellom indeks og pris.

Vi har følgende sammenheng mellom indeks og pris:

$\frac{pris i basisåret}{indeks i basisåret} = \frac{pris i dag}{indeks i dag}$

Vi har allerede prisen i basisåret (150 kroner) og indeksen i dag (110), så vi setter dette inn i likningen over. Indeksen i basisåret er per definisjon 100. $\frac{150 kr}{100} = \frac{pris i dag}{110} .$ La oss si at $x$ er prisen på varen i dag i kroner. Da får vi likningen $\frac{150}{100} = \frac{x}{110} .$ Vi vil finne tallet $x$ som passer inn i likningen over. Det første vi kan gjøre er å se at $\frac{150}{100} = 1, 5$ , og videre kan vi multiplisere med 110 på begge sider av likhetstegnet og forkorte. $\begin{matrix} 1, 5 \cdot 110 & = \frac{x}{110} \cdot 110 \\ 1, 5 \cdot 110 & = x . \end{matrix}$ Det eneste vi trenger å gjøre for å finne den nye prisen $x$ på varen, er å regne ut $1, 5 \cdot 110$ . Vi kan regne det ut for hånd på vanlig måte, men det kan være lettere å se at $1, 5 \cdot 110$ skal være $110$ pluss halvparten av $110$ , altså $55$ . (Dette kan vi se mer matematisk ved at $1, 5 \cdot 110 = (1 + 0, 5) \cdot 110 = 110 + 55$ .) Dermed er $1, 5 \cdot 110 = 110 + 55 = 165$ , så varen koster $165 kr$ i dag.

Svar: $165 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer om hvordan løse en likning se artikkelen Løs en førstegradslikning! i lynkurset Likninger. Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øver mer, se oppgavesettet om førstegradslikninger i Treningsleieren.

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4AB9

a)

Vis at de to trekantene ovenfor er formlike.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Det holder å vise at to av vinklene i den ene trekanten er lik to av vinklene i den andre. Dette kan vi vise ved å bruke at

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

180^{\circ}

Vi ser at $∠ B C A = ∠ F D E$ i de to trekantene, så de har i hvert fall én vinkel hver som er like store. Det eneste vi trenger å vise videre, er enten at $∠ A B C = 44, 4^{\circ}$ eller at $∠ D E F = 34, 1^{\circ}$ .

Svar:

Vi kan vise begge deler ved å bruke at vinkelsummen i trekanter er lik

180^{\circ}

. I

Δ A B C

har vi at

∠ A B C + ∠ B C A + ∠ C A B = 180^{\circ},

altså at

∠ A B C + 101, 5^{\circ} + 34, 1^{\circ} = 180^{\circ},

som betyr at

∠ A B C = 180^{\circ} - 101, 5^{\circ} - 34, 1^{\circ} = 44, 4^{\circ},

akkurat som vi trengte. På helt samme måte har vi at

∠ D E F = 180^{\circ} - 101, 5^{\circ} - 44, 4^{\circ} = 34, 1^{\circ} .

Dermed vet vi at alle vinklene i de to trekantene er like store, så trekantene er formlike.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike trekanter

For flere eksempler og forklaringer om formlikhet se artikkelen Formlikhet og kongruens i lynkurset Geometri - vinkler og figurer.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet i Treningsleieren.

Visste du at:

Hvorfor trenger vi bare å vite at trekantene har to parvis like vinkler, og ikke alle tre? La oss si at både trekanten $Δ A B C$ og trekanten $Δ D E F$ har vinklene $u$ og $v$ , altså at to av deres vinkler er like. Da er den siste vinkelen $w$ gitt ved $w = 180^{\circ} - u - v .$ Det hadde ikke noe å si hvilken trekant vi snakket om; begge trekantene har den samme vinkelen $w$ i tillegg til $u$ og $v$ . Dermed kan vi konkludere med at hvis to trekanter har to parvis like store vinkler, så er alle vinklene i trekantene like store, så trekantene er formlike.

b)

Bestem lengden av sidene AC og DF .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her må vi bruke

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikheten

som vi beviste i forrige oppgave. Formlikhet sier blant annet at forholdet mellom tilsvarende sider er like.

Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider like. For å se hvilke sider i $Δ A B C$ som tilsvarer hvilke sider i $Δ D E F$ , må vi se på vinklene. Siden $B C$ er mellom vinklene $101, 5^{\circ}$ og $44, 4^{\circ}$ , og det samme er siden $D F$ , så $B C$ tilsvarer $D F$ . På samme måte ser vi at $A B$ tilsvarer $E F$ , og at $A C$ tilsvarer $D E$ . Forholdene mellom disse er altså like, så vi har at $\frac{D F}{B C} = \frac{E F}{A B} = \frac{D E}{A C} .$

Først vil vi finne $D F$ . Til dette bruker vi likheten $\frac{D F}{B C} = \frac{E F}{A B},$ siden lengden til $D F$ er den eneste ukjente her. Vi setter inn at $E F = 9, 8$ , $A B = 7$ og $B C = 4$ . Da blir ligningen $\frac{D F}{4} = \frac{9, 8}{7} .$ Vi vil ha $D F$ alene på den ene siden av likhetstegnet, så vi multipliserer med 4 på begge sider og forkorter. $\begin{matrix} \frac{D F}{4} \cdot 4 = \frac{9, 8}{7} \cdot 4, \\ D F = \frac{9, 8}{7} \cdot 4 . \end{matrix}$ Nå må vi regne ut $\frac{9, 8}{7} \cdot 4$ . Vi starter med å regne ut brøken $\frac{9, 8}{7}$ for hånd.

$9,$	8	:	7	=	$1,$	4
7
$2,$	8
$2,$	8
	0

Dermed får vi at $\frac{9, 8}{7} \cdot 4 = 1, 4 \cdot 4 = 5, 6$ , så $D F = 5, 6$ .

Nå vil vi finne $A C$ . Vi har likningen $\frac{E F}{A B} = \frac{D E}{A C},$ men her er $A C$ i nevneren, som det tar mer tid å regne med. Derfor snur vi begge brøkene på hodet, og får $\frac{A B}{E F} = \frac{A C}{D E} .$ (Dette kan vi gjøre fordi brøkene $\frac{E F}{A B}$ og $\frac{D E}{A C}$ er det samme tallet, og da kan vi si at 1 dividert med hver av brøkene også er det samme. Hvis vi dividerer 1 med en brøk, for vi bare brøken andre veien, og det er akkurat det vi har gjort her.) Vi setter inn $A B = 7$ , $E F = 9, 8$ og $D E = 7$ , og da blir likningen $\frac{7}{9, 8} = \frac{A C}{7} .$ Denne likningen løser vi på samme måte som før, ved å multiplisere med 7 på begge sider og forkorte. Da får vi at $A C = \frac{7}{9, 8} \cdot 7 .$ Denne brøken kan vi også regne ut for hånd, som forrige gang, men vi kan spare oss utregningen hvis vi ser at $7 \cdot 7 = 49$ , og at $49 \cdot 2 = 98$ . Da får vi nemlig at $\frac{7}{9, 8} \cdot 7 = \frac{7 \cdot 7}{98} \cdot 10 = \frac{49}{98} \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5,$ så vi har at $A C = 5 .$

Svar: $D F = 5, 6$ og $A C = 5$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike trekanter

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer om fomlikhet se artikkelen Formlikhet og kongruens i lynkurset Geometri - vinkler og figurer. For flere eksempler og forklaringer om likninger se artikkelen Løs en førstegradslikning! i lynkurset Likninger.

For å øve mer, se oppgavesettene om førstegradslikninger og formlikhet i Treningsleieren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4AE4

På en pakke grøtris står følgende opplysninger:

a)

Hvor mye ris, vann og melk trenger du for å lage 10 porsjoner med grøt?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her må vi multiplisere opp hele oppskriften med $\frac{10}{3}$ . Dette er det samme som at vi først dividerer på $3$ og så multipliserer med $10$ . Da vil oppskriften være for $3 \cdot \frac{10}{3} = 10$ porsjoner.

Vi må multiplisere oppskriften med $\frac{10}{3}$ . Til 3 porsjoner skal vi ha $1, 5 dL$ ris, og til 10 porsjoner må vi da ha $1, 5 dL \cdot \frac{10}{3} = \frac{15 dL}{3} = 5 dL$ ris. Mengden vann vi skal ha, er $3 dL \cdot \frac{10}{3} = 10 dL = 1 L,$ og mengden melk er $0, 75 L \cdot \frac{10}{3} = 0, 25 L \cdot 10 = 2, 5 L .$

Svar: Til 10 porsjoner trenger vi $5 dL$ ris, $1 L$ vann og $2, 5 L$ melk.

Mer om:

Denne oppgaven er om målingsforhold,

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multipikasjon

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Målingsforhold.

b)

Du har nok vann og ris, men du har bare 5 L melk.

Hvor mange porsjoner grøt kan du lage?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan sammenligne hvor mye melk vi har med hvor mye melk som trengs til 10 porsjoner.

Vi trengte $2, 5 L$ melk til 10 porsjoner, og da vil $5 L$ melk holde til dobbelt så mange, altså 20, porsjoner.

Svar: 20 porsjoner.

Mer om:

Denne oppgaven er om regning med

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Målingsforhold.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4AGD

Et område har form som en halvsirkel med radius $r = 1, 0$ m. Et annet område har form

som en likebeint $Δ A B C$ , der $A B = 3, 0$ m og høyden $h = 1, 0$ m. Se figurene ovenfor.

Gjør beregninger og svar på spørsmålene under.

a)

Hvilket av de to områdene har størst areal?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her må vi bruke formlene for

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealene

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Vi starter med halvsirkelen. Arealet $A$ til en sirkel med radius $r$ er gitt ved $A = π r^{2};$ arealet til en halvsirkel med radius $r$ må derfor være $\frac{1}{2} π r^{2}$ . I vårt tilfelle er $r = 1 m$ , så arealet til halvsirkelen er $\frac{1}{2} π m^{2}$ .

Videre vil vi finne arealet til trekanten. Arealet $A$ til en trekant med grunnlinje $g$ og høyde $h$ , er gitt ved $A = \frac{1}{2} g h .$ Vi velger $A B$ til å være grunnlinjen til trekanten, som er $3 m$ . Høyden vil da være $h = 1 m$ , og arealet er $\frac{1}{2} \cdot 3 m \cdot 1 m = \frac{1}{2} \cdot 3 m^{2}$ .

Arealet til halvsirkelen er $\frac{1}{2} π m^{2}$ , og arealet til trekanten er $\frac{1}{2} \cdot 3 m^{2}$ . Siden $π \approx 3, 14 > 3$ , og da må $\frac{1}{2} π m^{2} > \frac{1}{2} \cdot 3 m^{2}$ , så arealet til halvsirkelen er størst.

Svar: Halvsirkelen har størst areal.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Alt om sirkel og En trekant.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleieren.

b)

Hvilket av de to områdene har størst omkrets?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her må vi regne ut

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsene

av hver av figurene. Vi må huske på å ta med

Diameter

En rett linje som forbinder to punkter på sirkelbuen og som samtidig går gjennom sentrum.

Lengden av en diameter, d, er lik to radier, r. d=2r.

diameteren

i halvsirkelen.

Vi starter med halvsirkelen igjen. Omkretsen $O$ til en sirkel med radius $r$ er $O = 2 π r .$ Halvsirkelen vår har halvparten av denne omkretsen, altså $π r$ , addert med diameteren i bunnen, som er $2 r$ lang. Omkretsen blir dermed $π r + 2 r = π \cdot 1 m + 2 m = (π + 2) m .$

Videre skal vi sammenligne med omkretsen til trekanten. Vi gjør dette må to forskjellige måter; den første måten tar desidert raskest tid.

Vi vet ikke hvor lange sidene $A C$ og $C B$ er, men vi vet at hvis vi legger dem sammen, så er $A C + C B > A B = 3 m$ . Omkretsen til trekanten er $A B + A C + B C > 3 m + 3 m = 6 m$ (det vil si, omkretsen er større enn 6 meter). Omkretsen til halvsirkelen var derimot $(π + 2) m \approx (3, 14 + 2) m = 5, 14 m$ , og det er mindre enn $6 m$ , så trekanten har størst omkrets. (Det betyr at halvsirkelen har størst areal, men minst omkrets!)

Alternativ løsning

Nå viser vi en annen måte vi kan løse oppgaven på. Det er en lang omvei, men den illustrerer tankemåter vi kan bruke på lignende oppgaver. Vi vet bare én av sidelengdene i trekanten, men vi vet høyden dens, og at den er likebeint. Siden trekanten er likebeint, er $A C = B C$ , så vi trenger bare å regne ut én av disse to sidene. Midtnormalen fra $C$ ned på $A B$ deler trekanten inn i to formlike, rettvinklede trekanter, med høyde $h$ og grunnlinje $\frac{A B}{2} = \frac{3 m}{2} = 1, 5 m$ , som vist på tegningen.

Dette betyr at vi kan bruke Pytagoras setning. Den sier at i en rettvinklet trekant med hypotenus

a

og kateter

b

c

, så har vi

a^{2} = b^{2} + c^{2} .

I vårt tilfelle er hypotenusen

a = B C

ukjent, mens

b = 1 m

c = 1, 5 m

. Dermed har vi at

B C^{2} = (1 m)^{2} + (1, 5 m)^{2},

eller

B C = \sqrt{1 m^{2} + (1, 5 m)^{2}} .

Vi vet at

1, 5 \cdot 1, 5 = 2, 25

, så vi kan skrive dette om til

B C = \sqrt{1 + 2, 25} m = \sqrt{3, 25} m .

Nå har vi funnet $B C$ , som er lik $A C$ , og vi har allerede $A B$ . Omkretsen til trekanten er dermed $A B + B C + A C = 3 m + \sqrt{3, 25} m + \sqrt{3, 25} m,$ eller $(3 + 2 \sqrt{3, 25}) m$ .

Vi har altså funnet ut at omkretsen til halvsirkelen og trekanten er henholdsvis $(π + 2) m$ og $(3 + 2 \sqrt{3, 25}) m$ . Vi vil sammenligne disse. Vi vet at $π \approx 3, 14$ , så omkretsen til halvsirkelen er cirka $3, 14 + 2 = 5, 14$ . Vi må avgjøre hva som er størst av dette og $3 + 2 \sqrt{3, 25}$ . Vi vet ikke nøyaktig hva $\sqrt{3, 25}$ er, så vi må finne på noe lurt. Vi vet at $1, 5^{2} = 2, 25$ , altså at $\sqrt{2, 25} = 1, 5$ . Siden $3, 25$ er større enn $2, 25$ , må også $\sqrt{3, 25}$ være større enn $\sqrt{2, 25}$ , altså større enn $1, 5$ . Da ser vi at omkretsen til trekanten er større en $3 m + 2 \cdot 1, 5 m = 3 m + 3 m = 6 m$ . Omkretsen til halvsirkelen var bare cirka $5, 14 m$ , så omkretsen til trekanten er størst.

Svar: Omkretsen til trekanten er størst.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pytagoras læresetning i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettene om omkrets og Pytagoras læresetning i Treningsleieren.

Visste du at:

Vi har regnet ut at arealet til halvsirkelen er større enn arealet til trekanten, men at omkretsen til trekanten er størst. Dette er egentlig ikke så rart, fordi en sirkel avgrenser det største mulige arealet med en gitt omkrets, så en halvsirkel er da også ganske effektiv. Med andre ord – hvis man har et tau med lengde $1 m$ , og vi skal avgrense et område med dette tauet, så vil området vi avgrenser være størst om vi lager en sirkel med tauet; det vil være større enn om vi lager en trekant, firkant eller halvsirkel. Et tilsvarende resultat gjelder i tre dimensjoner: Et kuleskall med overflateareal $1 m^{2}$ rommer mest av alle andre figurer med det samme overflatearealet.

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4AHG

I en tank er det 60 L vann. Hver dag tapper vi 5,0 L vann fra tanken.

a)

Hvor mye vann er det igjen i tanken etter åtte dager?

Hvor mange dager går det før tanken er tom?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Hvis tapper $5 L$ vann hver dag, vil vi etter 8 dager ha tappet $8 \cdot 5 L$ .

Etter 8 dager har vi tappet $8 \cdot 5 L = 40 L$ vann. Da er det $60 L - 40 L = 20 L$ vann igjen i tanken. Dermed må vi tappe $20 L$ til for å tømme hele tanken, og med $5 L$ per dag vil dette ta 4 dager ekstra, fordi $4 \cdot 5 L = 20 L$ . Da tar det $8 + 4 = 12$ dager å tømme hele tanken.

Svar: Etter 8 dager er det $20 L$ vann igjen i tanken, og det tar 12 dager før tanken er tom.

Mer om:

Denne oppgaven er om tallregning.

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

b)

Bestem funksjonsuttrykket $f (x)$ til en funksjon $f$ som viser hvor mange liter vann det er igjen i tanken etter $x$ dager.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her er tallet $x$ antall dager det har gått, og vi må finne et uttrykk for hvor mange liter vann det er igjen i tanken etter så mange dager. For eksempel, hvis $x = 1$ , altså når det har gått 1 dag, så er det $60 L - 5 L = 55 L$ igjen i tanken.

I starten, altså når $x = 0$ , er det $60 L$ vann i tanken. Hver dag skal vi trekke tappe $5 L$ vann, så etter $x$ dager har vi tappet $x \cdot 5 L$ vann; det betyr at etter $x$ dager, så er det $60 L - x \cdot 5 L$ vann. Derfor er funksjonsuttrykket vårt $f (x) = 60 - x \cdot 5$ , eller $f (x) = 60 - 5 x .$

Svar: $f (x) = 60 - 5 x$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er en funksjon? i lynkurset Funksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

c)

Tegn grafen til $f$ .

Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne svar på spørsmålene i oppgave 7 a).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Funksjonen $f (x)$ er

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
lineær

(altså,

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

til

f

er en rett strek), så vi trenger bare å finne to punkter på grafen og tegne en rett linje mellom dem.

Vi starter med å lage et koordinatsystem. Vi tegner $x$ -aksen mellom 0 og 15, fordi vi ikke er interessert i dagene før vi begynner å tappe vann fra tanken (det vil si, der $x < 0$ ), og vi vil se tydelig der grafen krysser $x$ -aksen (som er der $x = 12$ , som vi skal se). Vi tegner $y$ -aksen mellom -10 og 60. Vi må huske å sette navn på aksene: $x$ betyr antall dager, og $y$ er hvor mye vann det er igjen i tanken.

Nå skal vi tegne grafen til $f$ . Vi vet at $f$ er lineær (altså at den er på formen $f (x) = a x + b$ ), så grafen til $f$ er en rett linje. Derfor trenger vi bare å finne to punkter på grafen, og tegne den rette linjen mellom disse punktene. Vi vet at når $x = 0$ , så er $f (x) = 60$ , fordi det er 60 liter vann i tanken i begynnelsen. Derfor er $(0, 60)$ et punkt på grafen. Vi vet dessuten at etter 12 dager, så er tanken tom. Det betyr at $f (12) = 0$ , så $(12, 0)$ er et annet punkt på grafen. Vi tegner inn disse.

Til slutt tegner vi den rette linjen mellom punktene, med linjal.

Vi kunne også ha latt være å tegne grafen for $x < 0$ , fordi vi egentlig ikke vet hvor mye vann det var i tanken før vi begynte. Vi kunne også ha latt grafen vært lik 0 etter $x = 12$ , for å vise at tanken er tom etter at vi har tappet alt vannet. Da hadde grafen sett ut slik som vist under.

Videre skal vi vise hvordan vi kan bruke grafen til å svare på a). Det første spørsmålet er hvor mange liter vann det er igjen i tanken etter 8 dager. Med koordinatsystemet vårt, betyr “etter åtte dager” det samme som $x = 8$ , og mengde vann etter 8 dager er $f (8)$ . For å finne $f (8)$ , går vi til $x = 8$ på $x$ -aksen, og loddrett oppover til vi treffer grafen til $f$ . Så ser vi på $y$ -aksen hvor høyt dette er. Da ser vi at $f (8) = 20$ , så det er $20 L$ igjen i tanken.

Videre skal vi finne hvor lang tid det tar før tanken er tom. Det er det samme som å finne ut hvor grafen til $f$ krysser $x$ -aksen, altså finne den $x$ -verdien som gjør at $f (x) = 0$ . På grafen ser vi at dette er der $x = 12$ .

Svar: Grafen kan brukes til å løse oppgavene ved å se at $f (8) = 20$ , og at $f (12) = 0$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Fra en funksjon til en graf og Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleieren.

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4AIT

I en eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene.

a)

Bestem sannsynligheten for at han trekker to røde kuler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her må vi se på forholdet mellom antall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

og antall mulige

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

og bruker

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Vi starter med 3 røde og 2 blå kuler. Sannsynligheten for å trekke en rød er i begynnelsen derfor

$\frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$

Hvis vi trekker en rød kule første gang, er det 2 røde kuler og 2 blå kuler igjen. Sannsynligheten for at vi trekker en rød kule andre gang også, blir

$\frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at vi trekker to kuler på rad, er lik sannsynligheten for at begge disse to hendelsene inntreffer. Produktsetningen gir oss at sannsynligheten for å trekke to røde kuler er lik $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10},$ eller $30 %$ .

Svar: Sannsynligheten er $\frac{3}{10} = 30 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstig utfall

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynligheten? i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighet i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her må vi regne ut

Sannsynlighet

sannsynligheten

for at Sondre trekker ut to blå. Vi har allerede sannsynligheten for at han trekker to røde, og summen av disse to er sannsynligheten for at han trekker to av samme farge.

Vi har to muligheter til å trekke to kuler av samme farge – enten trekker vi to røde, eller så trekker vi to blå. Vi har allerede regnet ut sannsynligheten for at vi trekker to røde, og på tilsvarende vis regner vi ut at sannsynligheten for å trekke to blå, er lik $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10},$ eller $10 %$ . Sannsynligheten for at vi enten trekker to blå eller to røde, er dermed $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5},$ eller $40 %$ .

Svar: Sannsynligheten er $\frac{2}{5} = 40 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Addisjonssetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet addisjonssetningen i Treningsleieren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng) Nettkode: E-4AIX

Ole arbeider på et mekanisk verksted. Han har en timelønn på 195 kroner innenfor vanlig arbeidstid. Nedenfor ser du hvor mange timer han arbeidet en måned.

a)

Bestem bruttolønna til Ole denne måneden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her må vi regne ut

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønnen

til Ole, og ta hensyn til de timene han har jobbet overtid med tillegg.

Ole jobbet i 150 timer med vanlig timelønn på 195 kroner. Det blir totalt

$150 timer \cdot 195 \frac{kr}{time} = 29250 kr$

Videre jobbet han 16 timer med $50 %$ tillegg (altså får han $150 %$ av den lønnen han ellers ville fått for disse timene). Totalen for dette blir

$150 % \cdot 16 timer \cdot 195 \frac{kr}{time} = 4680 kr$

Til slutt ser vi at Ole jobbet i 6 timer med $100 %$ tillegg. Det blir

$200 % \cdot 6 timer \cdot 195 \frac{kr}{time} = 2340 kr$

Brutto månedslønn er summen av disse tre, altså

$29 250 kr + 4 680 kr + 2 340 kr = 36 270 kr .$

Svar: $36 270 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønn

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Prosent av hva da? i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Ole betaler 2 % av bruttolønna til en pensjonskasse.

Hvor mye betalte Ole til pensjonskassen denne måneden?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her skal vi regne ut hva $2 %$ er av bruttolønnen vi regnet ut i forrige oppgave.

Prosentfaktoren til $2 %$ er $0, 02$ . Derfor blir $2 %$ av brutto månedslønn lik

$2 % \cdot 36 270 kr = 0, 02 \cdot 36 270 kr = 725, 40 kr .$

I det virkelige liv regnes ikke pensjonsinnskudd ut fra overtidsbetaling, men kun fra ordinær lønn.

Svar: $725, 40 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Prosentfaktor

En prosentfaktor er et prosenttall skrevet om til et desimaltall.

Eksempel: 32 % blir skrevet som 0,32 når det skal skrives som en prosentfaktor.

prosentfaktor

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

c)

Ole betaler 36 % skatt.

Hvor mye fikk Ole utbetalt etter at skatten var trukket fra, denne måneden?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Her må vi huske på at det Ole utbetaler til pensjonskassen, ikke er med i det man regner skatt fra (det vil si, det er ikke med i trekkgrunnlaget).

Trekkgrunnlaget er $36 270 kr - 725, 40 kr = 35 544, 60 kr .$ Ole betaler $36 %$ skatt av dette beløpet. Prosentfaktoren til $36 %$ er $0, 36$ , så Ole må betale en skatt på $36 % \cdot 35 544, 60 kr = 0, 36 \cdot 35 544, 60 kr \approx 12 796, 06 kr .$ Det betyr at etter skatten er trukket fra og Ole har betalt pengene til pensjonskassen, så sitter han igjen med $35 544, 60 kr - 12 796, 06 kr = 22 748, 54 kr$

Svar: $22 748, 54 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

, prosentfaktor, lønn og skatt. For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

d)

En periode arbeidet Ole med et prosjekt på kveldstid. For timene han brukte på dette prosjektet, fikk han overtid med 50 % tillegg. Han fikk utbetalt 5045 kroner for arbeidet.

Hvor mange timer arbeidet han med prosjektet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Her må vi sette opp en

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

der det ukjente tallet er antall timer Ole har brukt. Husk at Ole får utbetalt 5045 kroner, dette er ikke

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

bruttolønn

, men lønnen etter

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

Vi antar at Ole ikke får pensjonstrekk fra lønnen som ble utbetalt, selv om dette er tilfelle i de forrige deloppgavene. På den måten trenger vi bare ta hensyn til skattetrekket.

Først regner vi ut hva bruttolønnen blir. Ole fikk utbetalt $5045 kr$ , og han betaler $36 %$ skatt. Det betyr at $5 045 kr$ er $100 % - 36 % = 64 %$ av bruttolønnen; altså $64 % \cdot bruttolønn = 5 045 kr .$ Vi kan finne ut hva bruttolønnen er ved å dividere på $64 % = 0, 64$ på hver side av likhetstegnet, og forkorte. Da får vi $\begin{matrix} \frac{64 % \cdot bruttolønn}{64 %} = \frac{5 045 kr}{64 %}, \\ bruttolønn = \frac{5 045 kr}{64 %} . \end{matrix}$ Vi regner ut at $\frac{5 045 kr}{64 %} = \frac{5 045 kr}{0, 64} = 7 882, 81 kr$ . Nå kan vi gå videre med oppgaven.

Vanlig timelønn er på $195 kr$ , og med $50 %$ tillegg blir timelønnen på $292, 5 kr$ . Hvis Ole har jobbet i $x$ timer med $50 %$ tillegg, vil han ha tjent $292, 5 kr \cdot x .$ I denne oppgaven vet vi at Ole har tjent $7 882, 81 kr$ kroner ved å jobbe med $50 %$ tillegg. Da har vi fått to uttrykk som sier hva Ole har tjent – det ene uttrykket sier at han har tjent $292, 5 kr \cdot x$ , og det andre uttrykket sier at han har tjent $7 882, 81 kr$ . Disse to uttrykkene må være like. Det vil si, vi har at $292, 5 \cdot x = 7 882, 81 .$ Dette er en ligning, og vi vil finne et tall $x$ som passer inn i likningen. For å gjøre dette, skal vi manipulere likningen til vi får at $x$ står igjen alene på én side. Alt vi trenger å gjøre er å dividere med det som står foran $x$ , altså $292, 5$ , og forkorte. Vi får $\begin{matrix} \frac{292, 5 \cdot x}{292, 5} = \frac{7 882, 81}{292, 5}, \\ x = \frac{7 882, 81}{292, 5} . \end{matrix}$ Vi regner ut at $\frac{7 882, 81}{292, 5} = 26, 95$ . Det betyr at $x = 26, 95$ , altså at Ole brukte nesten 27 timer på prosjektet.

Hvis vi hadde antatt at Ole fikk utbetalt lønnen etter pensjonstrekket, så hadde bruttolønnen blitt $\frac{7 882, 81}{0, 98} \approx 8 043, 68 kr$ og antall timer hadde vært $\frac{8 043, 68}{292, 5} \approx 27, 5 .$

Svar: Cirka 27 timer. Hvis vi antar at $2 %$ av inntekten gikk til pensjonskassen før Ole fikk utbetalt lønn, er antall timer cirka $27, 5$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Brutto månedslønn

Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.

brutto månedslønn

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Prosent og artikkelen Løs en førstegradslikning!.

For å øve mer, se oppgavesettene om prosentregning og førstegradslikning i Treningsleieren.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4AJ3

I en klasse er det 30 elever. Klassen skal arrangere fest. Elevene må bestemme seg for om de vil ha taco eller pizza til middag, og om de vil ha sjokoladekake eller marsipankake til dessert.

Hver elev legger en lapp med hvilken middag de ønsker, i én krukke og en lapp med hvilken kake de ønsker, i en annen krukke.

Nedenfor ser du hvordan ønskene fordeler seg.

For å avgjøre hva menyen skal være, trekker læreren tilfeldig en lapp fra hver krukke.

a)

Bestem sannsynligheten for at det blir taco til middag.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Alle lappene har like stor sannsynlighet for å bli trukket. Her må vi bruke forholdet mellom antall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

og antall mulige

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

Det er står taco på 18 lapper og pizza på 12 lapper, så det er totalt $18 + 12 = 30$ lapper. Hvis vi trekker en lapp tilfeldig fra krukken, er sannsynligheten for at det står taco på den, lik

$\frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

eller $60 %$ .

Svar: $\frac{3}{5}$ eller $60 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet? i lynkurset Sannsynlighet (del I).

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at det blir taco til middag og marsipankake til dessert.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må regne ut

Sannsynlighet

sannsynligheten

for at det blir marsipankake til dessert, og bruke

Multiplikasjonsregelen

Sannsynligheten for at flere bestemte uavhengige hendelser inntreffer etter hverandre er lik produktet av sannsynlighetene for hver enkel hendelse.

Eksempel: sannsynligheten for å få to seksere ved å kaste en terning to ganger er: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

multiplikasjonsregelen

Vi trekker en tilfeldig lapp fra krukken med $6 + 24 = 30$ lapper i. På 24 av dem står det marsipankake, så sannsynligheten for å trekke en slik lapp er

$\frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

eller $80 %$ . Det betyr at det er $60 %$ sannsynlighet for at det blir taco til middag og $80 %$ sannsynlighet for at det blir marsipankake til dessert. Sannsynligheten for at begge disse to hendelsene inntreffer, altså at det blir taco til dessert og marsipankake til dessert, er $60 % \cdot 80 % = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25},$ eller $48 %$ .

Svar: $\frac{12}{25}$ eller $48 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Multiplikasjonsregel i lynkurset Sannsynlighet (del I).

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

c)

4 elever vil ha pizza og sjokoladekake.

Vi trekker tilfeldig ut en elev.

Bestem sannsynligheten for at eleven vil ha taco og marsipankake.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi må finne ut hvor mange elever som vil ha både taco og marsipankake. Her kan det være lurt å systematisere informasjonen vi har fått, for eksempel i en

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

Vi prøver først å løse oppgaven uten å bruke krysstabell. Vi lager krysstabellen under.

Det er 6 elever som vil ha sjokoladekake, og 4 av dem vil også ha pizza, i følge teksten. Det betyr at det er $6 - 4 = 2$ elever som vil ha sjokoladekake og taco. Men det var 18 elever som ville ha taco, og hvis to av disse ville ha sjokoladekake, vil de resterende $18 - 2 = 16$ ha marsipankake. Det betyr at det er 16 elever som vil ha taco og marsipankake. Siden det er totalt 30 elever, er sannsynligheten for at en tilfeldig elev vil ha taco og marsipankake, lik

$\frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

eller cirka $53, 33 %$ .

Nå lager vi en krysstabell. Det gjør at argumentasjonen blir mye lettere å komme fram til, og det tar ikke lang tid å lage hvis man er vant med det. Først fyller vi inn all informasjonen vi har fått i teksten.

	Sjokoladekake	Marsipankake	Sum
Taco		?	18
Pizza	4		12
Sum	6	24	30

Vi er interessert i å finne ut hva som står i ruten med spørsmålstegn, altså antall elever som vil ha taco og marsipankake. Vi vet at alle rader og alle kolonner skal summeres opp til det som står ytterst i raden eller kolonnen. (For eksempel er $6 + 24 = 30$ i den nederste raden.) I ruten øverst til venstre skal det derfor stå $6 - 4 = 2$ .

	Sjokoladekake	Marsipankake	Sum
Taco	2	?	18
Pizza	4		12
Sum	6	24	30

Dermed ser vi at det skal stå $18 - 2 = 16$ i ruten med spørsmålstegn i. Det betyr at det er 16 elever som ville ha marsipankake og taco, og det var akkurat dette vi ville vite.

Utregningene vi har gjort med krysstabellen er helt tilsvarende det vi gjorde med tekst over.

Svar: $\frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ eller ca. $53, 33 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighetsregning

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Sannsynlighet (del II) og se artikkelen Venn-diagram og mengdelære.

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4AK4

Familien Hansen har hytte på fjellet. I kjelleren har de en beholder der de samler opp regnvann. Beholderen har form som et rett firkantet prisme. Se skissen ovenfor.

a)

Hvor mange liter rommer beholderen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må finne

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

til beholderen. Volumet av et

Prisme

Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

prisme

Flate

I geometri kan en flate beskrives som overflaten til et objekt, for eksempel en terning. En terning har seks sider, det vil si at den har seks sideflater. En flate er en todimensjonal del av rommet. Arealet til en flate er et mål på flaten sin utstrekning.

grunnflate

multiplisert med høyde.

Vi lar grunnflaten til prismet være rektangelet med $2 m$ i lengde og $0, 7 m$ i bredde. Arealet til grunnflaten er dermed $2 m \cdot 0, 7 m = 1, 4 m^{2} .$ Høyden i prismet er $1 m$ , så volumet til beholderen er $1, 4 m^{2} \cdot 1 m = 1, 4 m^{3}$ . Én kubikkmeter er $1 000 L$ , så beholderen rommer $1 400 L$ .

Svar: $1 400 L$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Et rett prisme i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

b)

Når det regner, vil alt vannet som treffer hyttetaket, bli ledet ned i beholderen. Hyttetaket er tilnærmet horisontalt og har et areal på 70 m². En dag da familien reiser fra hytta, er beholderen tom. I løpet av den neste uken regner det 12 mm.

Hvor høyt i beholderen står vannet når familien kommer tilbake etter denne uken?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må regne ut hvor mye vann som havnet på taket, og deretter finne ut hvor høyt dette når opp i beholderen.

Først regner vi ut hvor mye regn som ble oppsamlet. Det regnet $12 mm$ i løpet av uken. Det betyr at hvis alt dette vannet hadde samlet seg på taket uten å falle ned, så hadde vannet nådd $12 mm = 0, 012 m$ over taket. (Det er ofte lurt å regne om lengdeenheter til meter, spesielt når vi skal regne ut volum.) Taket har et areal på $70 m^{2}$ . Å regne ut mengden vann, tilsvarer dermed å regne ut volumet til det rette prismet som vannet utgjør, altså med grunnflate $70 m^{2}$ og høyde $0, 012 m$ . Dette volumet blir $0, 012 m \cdot 70 m^{2} = 0, 84 m^{3},$ eller $840 L$ . Alt dette vannet ble samlet opp i tanken.

Nå kan vi regne ut vannstanden i tanken. Tanken rommer $1 400 L$ , og det betyr at regnvannet fyller opp $\frac{840 L}{1 400 L} = 0, 6 = 60 %$ av tanken. Dette betyr at vannstanden er $60 %$ av høyden til tanken. Høyden til tanken er $1 m$ , så vannstanden er $1 m \cdot 60 % = 0, 6 m$ , eller $60 cm$ .

Svar: $0, 6 m = 60 cm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Prisme

rett prisme

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Et rett prisme i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

c)

En annen dag familien reiser fra hytta, står vannet 10 cm høyt i beholderen. Når de kommer tilbake, står vannet 85 cm høyt.

Hvor mange millimeter har det regnet den tiden de var borte?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Her kan vi gjøre nesten som i forrige oppgave, bare “baklengs” – eller så kan vi bruke det vi fant i forrige oppgave direkte, ved å se at nedbør og vannstanden er

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proposjonale størrelser

Vannstanden i beholderen har økt med $85 cm - 10 cm = 75 cm$ i løpet av tiden familien var borte. Vi løser dette på to forskjellige måter. Den første måten er litt raskere, men den andre måten kan være lettere å forstå.

Vi starter med den første metoden. Vi vet at $12 mm$ nedbør gir $60 cm$ i vannstand. La tallet $x$ betegne antall millimeter nedbør som gir $75 cm$ i vannstand. Siden vannstanden og mengde nedbør er proposjonale størrelser, har vi at $\frac{12}{60} = \frac{x}{75} .$ Vi vil finne et tall $x$ som passer inn i denne likningen; det gjør vi ved å multiplisere med $75$ på begge sider av likhetstegnet, og forkorte. $\begin{matrix} \frac{12}{60} \cdot 75 = \frac{x}{75} \cdot 75, \\ \frac{12}{60} \cdot 75 = x . \end{matrix}$ Vi regner ut at $\frac{12}{60} \cdot 75 = 15$ , så det regnet $15 mm$ på tiden familien var borte.

Så tar vi den andre metoden. Først finner vi ut hvor mye vann som har kommet i tanken i løpet av tiden de var borte. Vannstanden økte med $75 cm = 0, 75 m$ , og grunnflaten i tanken er på $1, 4 m^{2}$ , så mengden vann må være $0, 75 m \cdot 1, 4 m^{2} = 1, 05 m^{3} .$ Vi skal altså finne ut hvor høy vannstanden på taket blir, hvis vi fordeler $1, 05 m^{3}$ vann ut over taket, som er $70 m^{2}$ . Det må være $\frac{1, 05 m^{3}}{70 m^{2}} = 0, 015 m,$ eller $15 mm$ . Det betyr at det regnet $15 mm$ på tiden familien var borte (akkurat som før).

Svar: $15 mm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Geometri - areal og volum og Likninger.

For å øve mer, se oppgavesettene om volum og likninger i Treningsleieren.

Oppgave 4 (8 poeng) Nettkode: E-4AK9

Funksjonen $h$ gitt ved

$h (t) = 3, 25 t^{3} - 50 t^{2} + 170 t + 700$

var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000.

Ifølge modellen var det $h (t)$ hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990.

a)

Tegn grafen til $h$ for $0 \leq t \leq 10$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi tegner

Graf

grafen

til

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi skal tegne grafen til $h$ der $0 \leq t \leq 10$ , altså i et gitt intervall. Det gjør vi ved å bruke funksjonen

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Vi skriver

h = Funksjon[3.25*t^3 - 50*t^2 + 170*t + 700, 0, 10]

i “Skriv inn”-feltet. Vi må huske å sette navn på aksene: $x$ -aksen (i dette tilfellet $t$ -aksen) symboliserer tiden i år etter 1. januar 1990, og $y$ -aksen symboliserer hjortebestanden, altså antall hjort. Deretter må vil tilpasse aksene slik at vi ser hele funksjonen. Det området vi er intessert i er der $t$ er mellom 0 og 10, og der $y$ er mellom 0 og (ca.) 1 000. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra en funksjon til en graf. Lynkurset i GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleieren.

b)

Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her skal vi finne

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

til

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

For å finne toppunktet til polynomer, slik som $h$ , bruker vi funksjonen

Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]

Alt vi trenger å gjøre er å skrive

Ekstremalpunkt[h]

i “Skriv inn”-feltet. Da får vi de to punktene $(2.15, 866.67)$ og $(8.11, 523.68)$ . Vi ser på grafen at funksjonen er voksende for $h > 8.11$ men grafen viser også at funksjonsverdiene ikke vil bli større enn $h (2.15)$ for noen verdier av $t$ mellom $8.11 og 10 .$ Det første punktet er toppunktet på grafen. Vi tolker det som at $2, 15$ år etter 1. januar 1990, så var hjortebestanden på ca. 867. Vi vet at 2 år etter 1990 er 1992, og at $0, 15$ år etter 1. januar er i senvinteren. Dermed konkluderer vi med at hjortebestanden var størst i senvinteren i 1992, og at bestanden da var på ca. 867.

Svar: Hjortebestanden var størst i senvinteren i 1992 ( $t = 2, 15$ ), og den var da på ca. 867.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkter. Lynkurset i GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkt i Treningsleieren.

c)

Løs likningen $h (t) = 850$ grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Å løse likningen $h (t) = 850$ , er det samme som å finne

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunktet

mellom grafen til

h (t)

og den rette linjen

y = 850

. Dette kan vi gjøre i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

I den samme GeoGebra-filen vi tegnet grafen i, tegner vi linjen $y = 850$ . Vi finner koordinatene til skjæringspunktene mellom linjen og grafen til $h$ ved å trykke på dem. Resultatet er vist under.

Her ser vi at skjæringspunktene er

(1.42, 850)

(2.95, 850)

. Da har vi at

h (1, 42) = 850, og h (2, 95) = 850,

så løsningene til ligningen

h (t) = 850

t = 1, 42

t = 2, 95

. Dette betyr at etter

1, 42

år og

2, 95

år er hjortebestanden lik 850. Det er i henholdsvis rundt mai 1991 og desember 1992.

Svar: Løsningene til ligningen er $t = 1, 42$ og $t = 2, 95$ . Dette betyr at etter $1, 42$ år og $2, 95$ år er hjortebestanden lik 850. Det er i henholdsvis rundt mai 1991 og desember 1992.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se Fra en graf til en funksjon og Grafen til en funksjon. For mer om skjæringspunkter se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

Lynkurset i GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

Visste du at:

Her løser vi ligningen $h (t) = 850$ , der $h$ er et tredjegradspolynom. Det kan være ganske vanskelig å løse ligninger som involverer tredjegradspolynomer for hånd, og for polynomer av grad 5 og over finnes det ingen generell måte å løse ligningen på for hånd. Derimot kan vi nesten alltid løse ligninger grafisk, slik som vi gjør her. Dette illustrerer styrken til det som heter numerisk matematikk.

d)

Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden

1. januar 1994–1. januar 1998?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Her kan vi finne

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til linjen som går mellom punktene

(4, h (4))

(8, h (8))

Den 1. januar 1994 er $t = 4$ , og den 1. januar 1998 er $t = 8$ . Derfor er $h (4)$ hjortebestanden den 1. januar 1994, og tilsvarende for $h (8)$ og 1998. Vi kan markere disse punktene i Geogebra ved å skrive

(4,h(4))

(8,h(8))

i “Skriv inn”-feltet. Deretter kan vi lage en rett linje mellom dem. I algebrafeltet høyreklikker vi på ligningen, og velger “ $y = a x + b$ ” for å få ligningen på den kjente formen. Da ser vi at linjen har ligning $y = - 66 x + 1052$ . Det betyr at den gjennomsnittlige endringen i hjortebestanden per år i perioden, var -66.

Vi kunne også regnet oss fram til dette ved å se at hjortebestanden den 1. januar i 1994 var $h (4) = 788$ , og at den var $h (8) = 524$ den 1. januar 1998. Dermed endret bestanden seg med $524 - 788 = - 264$ på 4 år, som blir en endring på $\frac{- 264}{4} = - 66$ per år.

Svar: -66.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer(lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet lineære funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4ALE

Ovenfor ser du nedbetalingsplanen for et lån som betales ned i løpet av 10 terminer.Hver termin er 1 år. Renten i prosent er den samme i hele nedbetalingsperioden.

a)

Forklar hvilken type lån dette er.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Hver termin betaler man totalt like mye, og derfor er lånet et

Annuitetslån

Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.

annuitetslån

Høyden på stolpene i diagrammet sier hvor mye man betaler på lånet totalt i hver termin. Dette er summen av rentene man betaler, og det man betaler ned på lånebeløpet. Stolpene er like høye i hver termin, og det betyr at nedbetalingsplanen passer med et annuitetslån. I et serielån hadde de blå delene av stolpene, altså avdragene, vært like høye, mens totalhøyden på stolpene hadde blitt mindre i hver termin.

Svar: Annuitetslån.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Stolpediagram

Et søylediagram uten bredde på søylene.

Søyle- og stolpediagram brukes ofte om hverandre, og forskjellen er bare en definisjonssak.

Se Søylediagram

stolpediagram

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

rente

Avdrag

Avdrag er delvis betaling av gjeld, det vil si en sum som betales som en del av en større totalsum.

avdrag

Annuitetslån

Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.

annuitetslån

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Søyle- og stolpediagram.

Lynkurs om lån er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om søylediagram i Treningsleieren.

b)

Hvor stort er det totale lånebeløpet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Det totale lånebeløpet er summen av alle avdragene.

Et avdrag er det beløpet man betaler ned av det opprinnelige lånebeløpet. Legger vi sammen alle avdragene, får vi derfor det totale lånebeløpet. Avdragene er markert i blått i diagrammet. For eksempel var avdraget på $6 396 kr$ første termin. Summen av alle avdragene er

$6 396 kr + 7 010 kr + 7 683 kr + 8 420 kr + 9 229 kr +$

$+ 10 115 kr + 11 086 kr + 12 150 kr + 13 316 kr + 14 595 kr$

$= 100 000 kr$

Svar: $100 000 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Stolpediagram

Et søylediagram uten bredde på søylene.

Søyle- og stolpediagram brukes ofte om hverandre, og forskjellen er bare en definisjonssak.

Se Søylediagram

stolpediagram

Avdrag

Avdrag er delvis betaling av gjeld, det vil si en sum som betales som en del av en større totalsum.

avdrag

Lynkurset om beregning av lån er under utarbeidelse og kommer snart.

c)

Hvor mange prosent er renten på?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Her må vi huske på at én termin er ett år. Vi kan regne ut

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

renten

ved å se på hvor mye man må betale i rente etter ett år.

Ett år etter lånet startet, altså i første termin, skal man betale $9 600 kr$ i rente. Lånebeløpet var på $100 000 kr$ , og det betyr at renten per år blir $\frac{9 600 kr}{100 000 kr} = 0, 096 = 9, 6 % .$

Svar: $9, 6 %$ rente per år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

rente

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler i lynkurset Prosent.

Lynkurset om beregning av lån er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4ALK

En haug med tørr sand har form tilnærmet lik en kjegle. Radius i kjeglen er 1,5 ganger så stor som høyden i kjeglen.

a)

Bestem volumet av haugen med tørr sand dersom radius i kjeglen er 1,35 m.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Her må vi bruke formelen for

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

av en

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

Volumet $V$ til en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ , er gitt ved $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$ Radien i kjeglen vår er $r = 1, 35 m$ . Radien er $1, 5$ ganger større enn høyden $h$ , så vi har at $1, 5 \cdot h = 1, 35 m;$ det må bety at $h = \frac{1, 35 m}{1, 5},$ altså at høyden er lik $h = 0, 9 m$ . Vi setter inn dette i formelen for volumet, og får at $V = \frac{1}{3} π \cdot (1, 35 m)^{2} \cdot 0, 9 m \approx 1, 72 m^{3},$ eller ca. $1 720 L$ .

Vi kunne også ha regnet ut dette uten å finne høyden eksplisitt. Vi vet at $r$ er $1, 5$ ganger så stor som $h$ , så $1, 5 \cdot h = r$ , eller $h = \frac{1}{1, 5} r = \frac{2}{3} r$ . Hvis vi setter dette inn i formelen for volum, får vi at $V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (\frac{2}{3} r) = \frac{2}{9} π r^{3} .$ Setter vi inn $r = 1, 35 m$ , får vi $V = \frac{2}{9} π (1, 35 m)^{3} \approx 1, 72 m^{3}$ , akkurat som før.

Svar: Cirka $1, 72 m^{3} = 1 720 L$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pyramider og kjegler i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

b)

Bestem hvor høy kjeglen er dersom haugen med sand har et volum på 8,0 m³.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke formelen for

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

av en

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

, med tilleggsinformasjonen at

r = \frac{3}{2} h

Vi ser at punktet der de to grafene skjærer hverandre er i $h = 1, 5$ .

Alternativ løsning

Vi vet allerede at $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ . Vi vil gjerne ha et uttrykk som bare har med volumet $V$ og høyden $h$ å gjøre, så vi setter $r = \frac{3}{2} h$ inn i likningen. (Dette vet vi fordi $1, 5 \cdot h = r$ .) Da får vi at $V = \frac{1}{3} π (\frac{3}{2} h)^{2} h = \frac{1}{3} π \frac{9}{4} h^{3},$ eller $V = \frac{3}{4} π h^{3}$ . I denne oppgaven er $V = 8 m^{3}$ . Det betyr at $\frac{3}{4} π h^{3} = 8 m^{3} .$ Vi vil finne tallet $h$ som passer inn i likningen over. Det første vi gjør er å dividere med tallet som står foran $h$ , og forkorte. $\begin{matrix} \frac{\frac{3}{4} π h^{3}}{\frac{3}{4} π} = \frac{8 m^{3}}{\frac{3}{4} π}, \\ h^{3} = \frac{4 \cdot 8 m^{3}}{3 π} . \end{matrix}$ For å finne $h$ må vi nå ta tredjeroten av begge sider, fordi $\sqrt[3]{h^{3}} = (h^{3})^{\frac{1}{3}} = h^{3 \cdot \frac{1}{3}} = h$ . Dermed får vi at $h = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 8 m^{3}}{3 π}} .$ Vi regner ut at $\sqrt[3]{\frac{4 \cdot 8}{3 π}} \approx 1, 5 m$ , så høyden i kjeglen er ca. $1, 5 m$ .

Svar: Cirka $1, 5 m$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafisk løsning av likninger, og artikkelen Pyramider og kjegler i lynkurset Geometri - areal og volum. For flere eksempler og forklaringer om hvordan man løser likninger, se lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

MAT1011 2013 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4AB4

Løsningsforslag

Overslag

Overslag

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4AB1

Løsningsforslag

Prosent

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4AB6

Løsningsforslag

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks

Ligning

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4AB9

a)

Løsningsforslag a)

Vinkelsum

Vinkel

Trekant

Formlike trekanter

b)

Løsningsforslag b)

Formlike trekanter

Formlike trekanter

Ligning

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4AE4

a)

Løsningsforslag a)

Multiplikasjon

Brøk

b)

Løsningsforslag b)

Proporsjon

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4AGD

a)

Løsningsforslag a)

Areal

Sirkel

Trekant

Areal

Sirkel

Trekant

b)

Løsningsforslag b)

Omkrets

Diameter

Alternativ løsning

Omkrets

Trekant

Sirkel

Pytagoras læresetning

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4AHG

a)

Løsningsforslag a)

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

c)

Løsningsforslag c)

Lineære funksjoner

Graf

Lineære funksjoner

Graf

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4AIT

a)

Løsningsforslag a)

Gunstig utfall

Utfall

Produktsetningen

Utfall

Gunstig utfall

Produktsetningen

Sannsynlighet

b)

Løsningsforslag b)

Sannsynlighet