Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Avstand mellom et punkt og et plan

La oss se på hvordan vi kan finne avstanden mellom et vilkårlig punkt i rommet og et gitt plan.

Likningen for planet ax+by+cz+d=0 har en normalvektor gitt ved N=[a,b,c]. Vi kan normalisere denne for å finne en normalvektor med lengde 1: n=N|N|=[a,b,c]a2+b2+c2. Vi fikserer et punkt Q=(x0,y0,z0) i planet, det vil si ax0+by0+cz0+d=0. La P=(x1,y1,z1) være et vilkårlig punkt i rommet. Da kan vi betrakte vektoren QP=(x1x0,y1y0,z1z0) som figuren viser.

Avstanden mellom punktet og planet er da gitt som: 

siden |n|=1. Vi får at avstanden er

x1-x0,y1-y0,z1-z0a,b,ca2+b2+c2=ax1-x0+by1-y0+cz1-z0a2+b2+c2.

 

Vi kan forenkle denne formelen. Siden Q=(x0,y0,z0) er et punkt på planet, vet vi at ax0+by0+cz0=d. Dette kan vi sette inn i formelen og vi får:

ax1+by1+cz1+da2+b2+c2.

Eksempel 1

Vi er gitt et plan med likning 3x4y+2z8=0 og et punkt P=(0,1,2). Vi ønsker å finne avstanden mellom punktet og planet. Det er to måter å gjøre dette på. Vi kan simpelthen merke at punktet P faktisk ligger på planet, siden 304(1)+22=8. Dermed må avstanden mellom punktet og planet være null. Vi kan bekrefte dette med formelen: 

30-4-1+22-802+-12+22=0.

Eksempel 2

Vi er gitt et plan med likning 4x+2y3z4=0 og et punkt P=(1,1,1). Denne gangen ligger ikke punktet på planet, da 41+21314=10. Vi bruker formelen for å finne avstand mellom punktet P og planet:

41+21-31-442+22+-32=-129=129.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten