www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2016 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 8 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om  vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

 

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • Bergen, rykte (www.freeimages.com, 5.07.2016)
  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4DVS

Deriver funksjonene

a)

fx=2cos5x

Løs oppgaven her

b)

gx=e-2xsinx

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4DVV

Bestem integralene

a)

1e3xdx

Løs oppgaven her

b)

2x2-1dx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DVY

Funksjonen  f  er gitt ved

fx=sinx   ,   x0, π

Et flatestykke er avgrenset av x-aksen og grafen til f.

a)

Regn ut arealet av flatestykket.

Løs oppgaven her

b)

Vis ved derivasjon at  sin2x dx=12x-12sin xcos x+C

Løs oppgaven her

c)

Vi roterer flatestykket 360 om x-aksen.

Regn ut volumet av omdreiningslegemet vi da får.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (5 poeng) Nettkode: E-4DW2

Rekken  12+14+18+116+...+12n  er gitt.

a)

Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen  Sn  av de  n  første leddene i rekken.

Løs oppgaven her

b)

Vi har gitt produktet  Pnx=xx4x8x16...x2n   ,    x>0

Vis at  Pnx=x1-12n

Løs oppgaven her

c)

Bestem  limnPnx

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DW6

Funksjonen  f  er gitt ved

fx=3cos2x   ,    x0, 2π

a)

Bestem eventuelle nullpunkter til  f.

Løs oppgaven her

b)

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

c)

Lag en skisse av grafen til  f.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4DWA

Løs differensiallikningen

y'-xy=x   ,     y0=1

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (7 poeng) Nettkode: E-4DWC

Punktene  A1,-4, 1  og  B3, 0, 5  ligger i planet  α.

Vektoren  nα=k, 1,-k  står normalt på  α  for en bestemt verdi av konstanten  k.

a)

 Vis at planet α er gitt ved  2x+y-2z+4=0.

Løs oppgaven her

b)

Planet α skjærer z-aksen i punktet  C.

Bestem koordinatene til  C.

Løs oppgaven her

c)

Bestem volumet av pyramiden ABCO, der O er origo.

Løs oppgaven her

d)

En kule har sentrum i origo og tangerer planet α i et punkt P.

Bestem koordinatene til punktet P.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4DWH

Bruk induksjon til å bevise påstanden  P  gitt ved

Pn:  kn-1k-1=1+k+k2+k3+...+kn-1   ,     n

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DWK

En stige, som kan justeres, skal stå på skrå mot en husvegg og berøre et 2,0 m høyt gjerde. Gjerdet står  1,0 m fra husveggen. La x være vinkelen mellom stigen og bakken. Se skissen nedenfor.

Stige mot en husvegg

a)

Vis at lengden av stigen, målt i meter, er

Lx=1cosx+2sinx   ,     der  0<x<90

Løs oppgaven her

b)

Bestem x slik at lengden av stigen blir kortest mulig.

Hvor høyt opp på veggen rekker stigen da?

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (8 poeng) Nettkode: E-4DWN

Bergen

Daglengden  D  i Bergen er tilnærmet gitt ved funksjonen

Dt=6,63sin0,0172t-1,39+12,5

Her er Dt daglengden målt i timer, og  t  er antall dager fra nyttår.

a)

Bruk uttrykket Dt til å bestemme den korteste og den lengste daglengden i Bergen.

Løs oppgaven her

b)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  D  for  t0, 365

Løs oppgaven her

c)

Når er daglengden i Bergen 14 timer?

Løs oppgaven her

d)

Undersøk på hvilken dato daglengden vokser raskest.

Hvor mye øker daglengden per døgn da?

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DWS

Funksjonen f er gitt ved

fx=x2

Punktene  Aa, a2  og  Bb, b2  der  a<b, ligger på grafen til  f. Se figur 1 nedenfor.

Figur 1

a)

Grafen til f og linjestykket AB avgrenser et flatestykke med areal T.

Bruk CAS til å bestemme T uttrykt ved a og b.

Løs oppgaven her

b)

Punktet C på grafen har koordinatene  c, c2, der  c=a+b2. Se figur 2 nedenfor.

Figur 2

Bruk CAS til å vise at arealet S av ΔACB er  S=18b-a3.

Løs oppgaven her

c)

Bestem forholdet TS.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DX0

Mennesker som hvisker et rykte

I en bygd med 1200 innbyggere spres et rykte. La  y være antall innbyggere som kjenner til ryktet ved tiden t, der t er tiden målt i dager etter at ryktet oppsto.

Vi antar at ryktet spres med en fart som til enhver tid er proporsjonal med produktet av antall innbyggere som kjenner ryktet, og antall innbyggere som ikke kjenner det. Proporsjonalitetskonstanten har verdien 0,0006 .

Ved tiden t=0 var det kun én person som kjente til ryktet.

a)

Sett opp en differensiallikning som beskriver situasjonen ovenfor.

Løs oppgaven her

b)

Hvor lang tid tar det før halve bygda kjenner til ryktet?

Løs oppgaven her