www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2015 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

 

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • London Eye, en.wikipedia.org, www.saylor.org (01.12.2014)
  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DNB

Deriver funksjonene

a)

fx=-3cosx

Løs oppgaven her

b)

gx=sin2x

Løs oppgaven her

c)

hx=x3e-x

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4DNF

Regn ut integralene

a)

12x2+2x-3dx

Løs oppgaven her

b)

3xx2-x-2dx

Løs oppgaven her

c)

xlnxdx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DNJ

a)

Bruk en integrasjonsmetode til å vise at  xex2dx=12ex2+C

Løs oppgaven her

b)

Løs differensiallikningen

y'+2xy=4x   ,    y0=8

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DNS

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

Sx=2+2x+2x2+2x3+...   ,    x0

a)

Bestem konvergensområdet til rekken.

Løs oppgaven her

b)

Bestem  x  slik at  Sx=4

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DO2

Punktene  A3, 0, 0B0, 4, 0  og  C0, 0, 1  er gitt.

a)

Bestem  AB×AC. Bestem arealet av  ΔABC.

Løs oppgaven her

b)

Punktene AB og C  ligger i et plan  α. Bestem likningen for planet  α.

Løs oppgaven her

c)

En partikkel starter i origo  O0, 0, 0. Etter tiden  t  er partikkelen i et punkt  P  gitt ved

OP=t, t23, -t4     ,     t0

Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet  α?  Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer  α.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4DO7

En tallfølge  an  er gitt ved at  a1=-1  og  an+1=an+n-1

Bruk induksjon til å bevise at  an=nn-32  ,    n

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4DRB

Funksjonen  f er gitt ved

fx=3-3cos1-x2  ,     x-π2, π2

a)

Bestem nullpunktene til  f ved regning.

Løs oppgaven her

b)

Bruk f'x til å bestemme x-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

c)

Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til f. Avgjør hvilken.

Begrunn svaret.

Graf 1 skjærer x-aksen i x=-1 og x=1 og y-aksen i y er mellom 0 og 2. Graf 2 skjærer x-aksen i x=-1 og x=1 og y-aksen i y er mindre enn -2. Graf 3 skjærer x-aksen i x er mindre enn -1 og i x er større enn 1, og y-aksen i y er mellom 0 og 2.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4DRF

En trigonometrisk formel er gitt ved

cosu+v=cosucosv-sinusinv

a)

Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for cos2x.

Løs oppgaven her

b)

Skriv uttrykket  cos4x-sin4x  så enkelt som mulig.

Løs oppgaven her

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4DRI

Løs likningen

sinx+cosx=1      ,      x0, 2π

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DRK

Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten 26 km/h. Etter hvert vil farten avta etter formelen

vt=26-0,08st

-  vt og st er begge funksjoner som er avhengige av tiden t målt i timer

-  vt er farten målt i kilometer per time

-  st er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer

 

a)

Bestem farten etter 125 km.

Løs oppgaven her

b)

Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen

s't=26-0,08st

Bestem st når  s0=0.

Løs oppgaven her

c)

Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4DRO

Hjørnene i en pyramide ABCP er  A0, 0, 0B1, 0,-1,  C1, 1, 0  og  Pt, 2t+1, t2+2 ,  t.

a)

Bestem et uttrykk for volumet  Vt  av pyramiden.

Løs oppgaven her

b)

Bestem koordinatene til P slik at  Vt=72.

Løs oppgaven her

c)

Bestem koordinatene til  P  slik at volumet  Vt  blir minst mulig.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DRT

London Eye

London Eye er et pariserhjul med diameter lik 135 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger 2 m over bakkenivå.

Etter t min fra ombordstigning er en passasjer ht m over bakkenivå. Det kan vises at

ht=-67,5cosπ15t+69,5

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  h  for  t0, 30. Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.

Løs oppgaven her

b)

Bestem vendepunktene på grafen til  h.

Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av  h'7,5  og  h'22,5  gir.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DS9

Funksjonen f  er gitt ved

fx=x2+ax+b   ,    Df=

Skisse 1

Tangentene i punktene  Qs, fs  og  Rt, ft  skjærer hverandre i et punkt  P.

Se skisse 1.

a)

Vis at likningene for de to tangentene er

gx=a+2sx+b-s2  og  hx=a+2tx+b-t2

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til punktet P er gitt ved  xP=s+t2.

Løs oppgaven her

c)

Skisse 2

Den vertikale linjen  x=xP  deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av a og b.

Løs oppgaven her