www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2015 Høst

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 5 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • kriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

 

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DHY

Deriver funksjonene

a)

fx=5cos2x

Løs oppgaven her

b)

gx=xsinx

Løs oppgaven her

c)

hx=5e-xsin2x

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4DIW

Bestem integralene

a)

02x2-2x+1dx

Løs oppgaven her

b)

exex+12dx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4DJV

Funksjonen f  er gitt ved

fx=2e-12x  ,    x0, ln3

Vi roterer grafen til  f  360 om x-aksen.

Vis at volumet  V av omdreiningslegemet blir  V=83π

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DK5

Grafene til F og f. Grafen til f går gjennom punktene (1, 1) og (4, 1).

Figuren viser grafene til funksjonene  F  og f.

Det er gitt at  F'x=fx

a)

Bruk figuren til å bestemme  F'4.

Løs oppgaven her

b)

Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4DK8

En kuleflate er gitt ved likningen

x2-2x+y2+6y+z2-4z-11=0

a)

Vis at punktet  P4, 1, 2  ligger på kuleflaten.

Løs oppgaven her

b)

Bestem sentrum og radius til kulen.

Løs oppgaven her

c)

Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet  P.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DKI

Følgende formler er gitt:

sinu+v=sinucosv+cosusinv

cosu+v=cosucosv-sinusinv

a)

Bruk formlene ovenfor til å uttrykke  sin2x  og  cos2x  ved  sinx  og  cosx.

Løs oppgaven her

b)

Vis at  sin3x=3sinx-4sinx3

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4DKL

Punktene  A1, 2,-2,  B2,-3, 4  og  C-2, 3, 1  er gitt.

a)

Bestem ved regning vektorproduktet  AB×AC.

Løs oppgaven her

b)

Forklar at C ikke ligger på linjen gjennom A og B.

Løs oppgaven her

c)

Bestem en likning for planet  α  gjennom  AB og C.

Løs oppgaven her

d)

Avgjør om punktet  D2, 2, 3  ligger i  α.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4DKQ

Løs differensiallikningen

y2y'=x         ,         y0=2

Løs oppgaven her

Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4DKS

Bruk induksjon til å bevise påstanden

Pn:   13+23+33+...+n3=n2n+124    ,   n

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DKU

En funksjon  f  er gitt ved

fx=5e-x3sin2x    ,    x[0,

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  f for x0, 3π.

Løs oppgaven her

b)

Bestem nullpunktene til  f i intervallet 0, 3π.

Løs oppgaven her

c)

Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til f i intervallet  0, 3π.

Løs oppgaven her

d)

Bestem arealet begrenset av grafen til  f  og x-aksen mellom  x=0  og  x=π2.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4DKZ

Vis at  y=5e-x3sin2x  er en løsning av differensiallikningen

9y''+6y'+37y=0     ,      y0=0  og  y'0=10

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DLA

Vi skal i denne oppgaven studere nærmere fx som er gitt i oppgave 1 i Del 2.

a)

Vis at nullpunktene til  f  i oppgave 1 danner en aritmetisk tallfølge  a1, a2, a3,...  Bestem a20.

Løs oppgaven her

b)

Vis at maksimalverdiene til  f i oppgave 1 danner en geometrisk tallfølge  b1, b2, b3,...  Bestem b5.

Løs oppgaven her

c)

Begrunn at den uendelige rekken  b1+b2+b3+...  konvergerer. Bestem summen av rekken.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DLV

En kule  K  har sentrum i  S-1, 0, 1  og radius  21.

En linje  l  går gjennom punktene  A7,-2, 5  og  B15,-4, 9.

Bestem skjæringspunktene mellom linjen  l  og kulen  K.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DN3

Funksjonen  f er gitt ved

fx=ax2+bx+c    ,     a<0   og   c>0

Grafen har toppunkt i R. Se skissen nedenfor.

Grafen til f skjærer x-aksen i punktene P og Q. T1 er arealet til trekant PQR, og T2 er arealet mellom grafen til f og x-aksen.

a)

Forklar at grafen til  f skjærer  x-aksen i punktene

P-b+b2-4ac2a, 0  og  Q-b-b2-4ac2a, 0

der P ligger til venstre for  Q.

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å vise at arealet  T1  til  ΔPQR  er gitt ved

T1=b2-4acb2-4ac 8a2

Løs oppgaven her

c)

Bestem arealet  T2  mellom grafen til  f og  x-aksen.

Løs oppgaven her

d)

Bestem forholdet  T1T2.

Løs oppgaven her