www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2014 Høst

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4DEQ

Deriver funksjonene

a)

fx=2cos3x

Løs oppgaven her

b)

gx=5exsin2x

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4DET

Bestem integralene

a)

x3-2xdx

Løs oppgaven her

b)

1exln x dx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DEW

a)

Løs differensiallikningen

y'-2y=3  når  y0=52

Løs oppgaven her

b)

Bestem likningen til tangenten i punktet  0, 52  på grafen til y.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DEZ

Punktene  A0, 6, 6,  B0, 0, 7 og  C6, 0, 5 ligger i planet α.

a)

Bestem likningen til  α.

Løs oppgaven her

b)

Et punkt P ligger på linjen gjennom punktene  O0, 0, 0  og  A0, 6, 6.   

Bestem mulige koordinater til P  slik at volumet av tetraederet ABCP blir 42.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4DF4

Grafen til f.

Figuren viser grafen til en funksjon  fx, der  x0, 9.

La  gt=0tfxdx,  der  t0, 9

a)

Bestem g2. Forklar at den største verdien til gt er 10.

Løs oppgaven her

b)

Bestem nullpunktet til g. Avgjør hvilke verdier av t som gjør gt negativ.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DF8

Grafen til f. Punkter som er markert: (-1.14, 5), (-0.35, 7), (0.43, 5), (1.22, 3), (2, 5), (2.79, 7), (3.57, 5).

Ovenfor ser du grafen til en funksjon  fx=Asincx+φ1+d.

a)

Bestem A, cd og φ1 ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen.

Skriv opp funksjonsuttrykket til f (x).

Løs oppgaven her

b)

Grafen ovenfor kan også være grafen til  gx=Acoscx+φ1+d.

Skriv opp funksjonsuttrykket til  gx.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4DFB

Bruk induksjon til å bevise påstanden

Pn:  1-121-131-14...1-1n1-1n+1=1n+1  ,    n

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng) Nettkode: E-4DFE

a)

Vi har en uendelig geometrisk rekke  a1+a2+a3+...  som  er  konvergent.

Vis at summen S av rekken kan skrives

S=a12a1-a2

Løs oppgaven her

b)

Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint  ΔABC der katetene har lengde 12. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige.

Trekant ABC

Forklar at summen S av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme S.

Løs oppgaven her

c)

ΔABC inneholder også uendelig mange rettvinklete og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen.

Løs oppgaven her

d)

Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (8 poeng) Nettkode: E-4DFJ

En differensiallikning er gitt ved

4y''+4y'+5y=0

a)

Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for y.

Løs oppgaven her

b)

Finn integrasjonskonstantene når du får vite at  y0=3  og  y3π4=0.

Løs oppgaven her

c)

Tegn grafen til  y=fx  for  x[0, 3π .

Løs oppgaven her

d)

Bestem eventuelle nullpunkter til f og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f når  x[0, 3π .

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4DFP

Pyramide ABCDT

En pyramide ABCDT er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til AB og T er gitt ved  A0, 0, 0B4, 0, 0T0, 0, 4. Punktene C og D ligger i xy-planet.

a)

Vi setter  BAD=135  og  AD=42. Vis at D har koordinatene  -4, 4, 0.

Løs oppgaven her

b)

Punktet C er slik at  BC=12AB+AD. Vis at C har koordinatene  2, 4, 0.

Løs oppgaven her

c)

Punktene B, D og T ligger i et plan  α.

Vis at likningen for α er  x+2y+z-4=0

Løs oppgaven her

d)

Volumet av pyramiden ABDT kalles  V1 og volumet av pyramiden CBDT kalles  V2.

Bestem forholdet  V1V2.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DFV

Et fotballmål har lengde CD=7,3 m. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket  AB, slik figuren nedenfor viser. Punktet B ligger 8,0 m fra punktet  C. Han vil skyte på mål når   α=DAC  er størst mulig. α avhenger av lengden x=AB.

Et fotballmål

Vi setter  DAB=u  og  CAB=v  og lar  fx=tanα=tanu-v

a)

Bruk formelen  tanu-v=tanu-tanv1+tanutanv  til å vise at  fx=7,3xx2+122,4

Løs oppgaven her

b)

Bestem den største verdien for fx og tilhørende verdi for x.

Løs oppgaven her

c)

Vi vet at  α  har sin største verdi når  tanα  har sin største verdi.

Bestem  αmaks.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DFZ

Et plan α er gitt ved likningen

2x+y-2z+3=0

a)

Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet  S11, 2,-6  og som har α som tangentplan.

Løs oppgaven her

b)

Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet  α.

Løs oppgaven her

c)

Et plan β er gitt ved

2x+y-2z=0

Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel.

Bestem radien i denne sirkelen.

Løs oppgaven her