www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2013 Høst

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4D9R

Deriver funksjonene

a)

fx=5xcos x

Løs oppgaven her

b)

gx=sin2xx

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4D9U

Bestem integralene

a)

012e2xdx

Løs oppgaven her

b)

2xexdx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4D9Y

Punktene A, B, C og O.

Gitt  punktene A2, 0, 0, B0, 3, 0C0, 0, 4 og O0, 0, 0.

a)

Bestem ABAC og AB×AC.

Løs oppgaven her

b)

Bestem volumet av tetraederet ABCO.

Løs oppgaven her

c)

Punktene AB og C ligger i planet α.

Vis at likningen til planet α kan skrives

x2+y3+z4=1

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DA2

a)

En rekke er gitt ved

1+e-1+e-2+e-3+...

Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av den uendelige rekken.

Løs oppgaven her

b)

En geometrisk rekke er gitt ved

1+e-x+e-2x+e-3x+...

Bestem konvergensområdet og summen av rekken.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4DAD

Antall individer i en populasjon etter t timer kan beskrives av funksjonen Nt.

Vi antar at

N't=4t+3 og N0=800

Bestem antall individer i populasjonen etter 10 h.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DAG

En funksjon f er gitt ved

fx=12x4-2x3+52x   ,    Df=

a)

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

b)

Bestem likningen for eventuelle vendetangenter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4DAJ

Bruk induksjon til å bevise påstanden

Pn:    112+123+134+...+1nn+1=nn+1  ,    n

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DAM

Et trapes ABCD. Vinkel COB=v.

Figuren ovenfor viser et trapes ABCD som er innskrevet i en halvsirkel med radius 1.

a)

Forklar at arealet F av trapeset er gitt ved

Fv=1+cosvsinv

Hvilke verdier kan v ha?

Løs oppgaven her

b)

Bestem v ved regning slik at arealet av trapeset blir størst mulig.

Bestem arealet av det største trapeset.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (7 poeng) Nettkode: E-4DAP

Funksjonen f er gitt ved

fx=sinπx+sin2πx   ,    x0, 6

a)

Tegn grafen til  f.

Løs oppgaven her

b)

Bruk grafen til å vise at f er en periodisk funksjon, og bestem perioden til f.

Løs oppgaven her

c)

Vis at

fx=sinπx1+2cosπx

Løs oppgaven her

d)

Bruk uttrykket i oppgave c) til å bestemme nullpunktene til f ved regning når x0, 2.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4DAU

Vi lar  K være kapitalen i et fond  t  år etter første innskudd. Hvert år setter vi inn 20 000 kroner i fondet. Avkastningen i fondet er 8 % per år.

Kapitalen i fondet vokser slik differensiallikningen nedenfor viser

K't=0,08Kt+20 000

a)

Løs differensiallikningen. Finn et uttrykk for Kt når K0=20 000.

Løs oppgaven her

b)

Bestem størrelsen på kapitalen etter 20 år.

Løs oppgaven her

c)

Hvor lang tid vil det gå før fondet øker med 35 000 kroner per år ifølge modellen ovenfor?

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DAY

En uendelig, geometrisk rekke er gitt ved

Sx=1+x+x2+...

 

Når x-1, 1, er Sx=11-x

 

Det kan vises at 1dx+xdx+x2dx+...=11-xdx

a)

Forklar at

x+12x2+13x3+14x4+...=-ln1-x+C

Begrunn at

C=0

Løs oppgaven her

b)

Sett inn  x=12 og vis at  11121+12122+13123+14124+...=ln2

Løs oppgaven her

c)

Det generelle leddet i rekken ovenfor er  an=1n12n .

Det kan vises at de åtte første desimalene i ln2 er 0,69314718.

Dersom vi summerer de n første leddene a1+a2+...+an i rekken i oppgave b), får vi en

tilnærmingsverdi for ln2 .

Hvor mange ledd må vi minst ta med for at vi skal få 6 korrekte desimaler?

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (7 poeng) Nettkode: E-4DB3

Funksjonene f og g er gitt ved

fx=cosx

gx=1-k2x2 ,     k>0

Skisser av grafene til f og g er tegnet nedenfor.

Grafene til f og g. Den halve elipsen som grafen til f lager, har areal A1, men den som grafen til g lager har areal A2.

a)

Bestem nullpunktene til g uttrykt ved  k.

Løs oppgaven her

b)

Bestem k slik at arealene A1 og A2 på figurene ovenfor er like store.

Løs oppgaven her

c)

Bruk formelen  cosu+v=cosucosv-sinusinv  til å vise at

cos2x=12+12cos2x              *

Løs oppgaven her

d)

Når vi dreier flatestykket med arealet A1  360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum V1.

Bruk formelen * i oppgave c) til å bestemme et eksakt uttrykk for V1 ved regning.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (7 poeng) Nettkode: E-4DBA

En rett linje i planet skjærer koordinataksene i Aa, 0 og B0, b. Se skissen nedenfor.

a)

En rett linje.

Vis at likningen til linjen kan skrives

y=-bax+b

Løs oppgaven her

b)

Vis at dette også kan skrives

xa+yb=1

Løs oppgaven her

c)

Punktene A, B og C.

Et plan α i rommet skjærer koordinataksene i Aa, 0, 0B0, b, 0 og C0, 0, c.

Vis at normalvektoren til planet α er

n=bc, ac, ab

Løs oppgaven her

d)

Vis at likningen til  α  kan skrives

xa+yb+zc=1

Løs oppgaven her

e)

Planet  β  skjærer x-aksen i D5, 0, 0 og y-aksen i E0, 4, 0. Planet er parallelt med  z-aksen.

Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d) til å bestemme likningen for planet  β.

Løs oppgaven her