www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3022 2015 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 5 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
  • vurderer om svar er rimelige

 

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4D6G

Deriver funksjonene

a)

fx=x3+2x2-3x

Løs oppgaven her

b)

gx=lnx-2

Løs oppgaven her

c)

hx=2x2-13

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4D6K

Polynomfunksjonen P  er gitt ved

Px=x3+2x2-5x-6

a)

Vis at x-2 er en faktor i Px .

Løs oppgaven her

b)

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere Px med lineære faktorer.

Løs oppgaven her

c)

Bestem limx2x3+2x2-5x-6x-2

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4D6O

Skriv så enkelt som mulig

x-2x2+2x+2x+x+2x2-2x-3xx2-4

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4D6Q

En sirkel er gitt ved likningen

x2-2x+y2+4y-20=0

Bestem sentrum S og radius r i sirkelen.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4D6S

Vektoren v=3, 4 er gitt.

a)

Bestem en vektor u som er parallell med v og motsatt rettet.

Løs oppgaven her

b)

Bestem en vektor w0 som står vinkelrett på v .

Løs oppgaven her

c)

Bestem konstantene k og t slik at

v=ku+tw

Løs oppgaven her

d)

Bestem en vektor  x  som har samme retning som v og som har lengde lik 7.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4D6X

Binomialkoeffisientene er gitt ved nr=n!n-r!r!

a)

Bestem  122.  Vis at  n1=n .

Løs oppgaven her

b)

Bruk det du fant i oppgave a) til å løse likningen x112-x1122=611

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4D70

Funksjonen f  er gitt ved

fx=3xe-x  ,    x-1, 4

a)

Bruk f'x til å avgjøre hvor fx vokser og hvor fx avtar. Bestem x-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter.

Løs oppgaven her

b)

Bruk f''x til å bestemme x-verdien til eventuelle vendepunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

c)

Lag en skisse av grafen til  f.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (6 poeng) Nettkode: E-4D75

En vilkårlig ΔABC er gitt. En sirkel har radius  R  og sentrum i  S  og omskriver ΔABC. En normal fra  S til siden AC  har fotpunkt  D. Se skissen nedenfor.

Skisse av en trekant ABC med en omskrevet sirkel.

a)

Forklar at B=DSA

Løs oppgaven her

b)

Vi setter AC=b.

Vis at bsin B=2R

Løs oppgaven her

c)

Vi setter BC=a  og AB=c.

Bruk tilsvarende resonnement som i oppgave b) til å vise at

asin A=bsin B=csin C=2R

Løs oppgaven her

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4D79

Løs likningen

9x-3x-12=0

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4D7D

En sirkel har følgende egenskaper:

- Sentrum i sirkelen ligger på linjen y=x

- Sentrum i sirkelen ligger like langt fra origo som fra punktet A6, 0

- Origo og punktet A ligger begge på sirkelperiferien

a)

Tegn sirkelen i et koordinatsystem.

Løs oppgaven her

b)

Bestem en likning for sirkelen.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4D7K

Bilene i en bilkø holder en fart på v km/h. Ifølge køteori vil antall biler N som passerer et bestemt sted per minutt være gitt ved modellen

Nv=16,7v4+0,25v+0,006v2

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til  N for v0, 120.

Løs oppgaven her

b)

Bestem grafisk hva farten bør være for at minst 25 biler skal kunne passere stedet per minutt.

Løs oppgaven her

c)

Bestem grafisk hva farten må være for at flest mulig biler skal kunne passere stedet per minutt. Hvor mange biler passerer stedet per minutt da?

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4D7P

Posisjonen til to båter  A og B er gitt ved

rAt=18t-8, 10-3t

rBt=10t, 20-6t

Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tiden t er gitt i timer.

a)

Bestem farten (banefarten) til hver av båtene.

Løs oppgaven her

b)

Forklar at avstanden d mellom båtene er gitt ved

dt=8t-82+3t-102

Løs oppgaven her

c)

Når er denne avstanden minst? Hvor langt fra hverandre er båtene da?

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D7X

En funksjon f er gitt ved

fx=x4+ax3+bx2+cx+1   ,    Df=

 

Om denne funksjonen vet vi at

f har nullpunkt i x=1

x=2 er x-koordinaten til vendepunktet på grafen til f

- Grafen til f går gjennom punktet 3, 4

a)

Sett opp tre likninger som svarer til opplysningene ovenfor.

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å bestemme konstantene  ab og c.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4D82

Funksjonen g er gitt ved

gx=ax3-x2   ,    Dg=

Grafen til g har en tangent i punktet Pt, gt. Tangenten skjærer grafen til g i et annet punkt Q. Se skissen nedenfor.

Grafen til g og tangenten i punktet P(t, g(t)).

a)

Vis at tangenten har likningen

y=3at2-2tx+t2-2at3

Løs oppgaven her

b)

Bruk CAS til å bestemme koordinatene til Q, uttrykt ved a og t.

Løs oppgaven her