www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3022 2013 Vår

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

  • Hippokrates (Utdanningsdirektoratet)
  • Alle grafer og figurer (Utdanningsdirektoratet)

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CWU

Formlene for arealet  A av en sirkel og volumet  V  av en kule med radius r er gitt ved

Ar=πr2 og Vr=43πr3

Bestem A'r og V'r .

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CWW

Deriver funksjonene

a)

gx=3lnx2-1

Løs oppgaven her

b)

hx=2x2ex

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4CWZ

Polynomfunksjonen P er gitt ved

Px=x3-6x2+11x-6

a)

Vis at P1=0

Løs oppgaven her

b)

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere Px i førstegradsfaktorer.

Løs oppgaven her

c)

Løs ulikheten x3-6x2+11x-60

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CX3

Skriv så enkelt som mulig

lna2b-2ln a-ln1b

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4CX6

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon f der Df=-1, 4

Grafen til f krysser y-aksen i y=2, toppunkt i (1, 3).

Avgjør for hvilke x-verdier f er kontinuerlig, og for hvilke x-verdier f er deriverbar.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4CX8

En funksjon f er gitt ved

fx=x3+6x2-2

Vis at grafen til  f  har en vendetangent i punktet -2, f-2 med likning y=-12x-10

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CXA

Vektorene a=2, 3b=-6, 4 og c=3, 11 er gitt.

a)

Undersøk om ab

Løs oppgaven her

b)

Bestem ved regning to tall  k og  t  slik at c=ka+tb

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4CXE

Hippokrates fra Khios (ca. 470–410 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid.
Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (sirkelens kvadratur).
Hippokrates-månen (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket.
Hippokrates

På figuren nedenfor er ACB en halvsirkel med sentrum i O, og AEC er en halvsirkel med sentrum i D. CAB=ABC=45

a)

Konstruer figuren nedenfor når du setter r=5,0 cm . Ta med konstruksjonsforklaring.

Løs oppgaven her

b)

På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.

Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av ΔAOC når radien i halvsirkelen ACB er  r.

Hippokrates-månen

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (7 poeng) Nettkode: E-4CXK

Figuren nedenfor viser grafen til en tredjegradsfunksjon f.

Grafen til f krysser x-aksen i x=-1, x=1 og x=3, og krysser y-aksen i y=12.

a)

Forklar at fx er delelig med x-1x+1 og x-3.

Begrunn at vi da kan skrive

fx=ax2-1x-3 , der  a  er en konstant.

Bestem a  når punktet 0, 12 ligger på grafen til f .

Løs oppgaven her

b)

Bestem likningen til tangenten i punktet 0, 12.

Løs oppgaven her

c)

Denne tangenten skjærer grafen til f  i et annet punkt.

Bestem ved regning koordinatene til dette punktet.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4CXP

Se skissen nedenfor.

X-akse:  1, 2, ..., 5, 6. Y-akse: 1, 2, 3, 4. Punkt A (1, 1), B (5, 2) og C (3, 4) danner trekant ABC. M1, M2 og M3 er midtpunktene på sidekantenei ABC, og punktet der AM2, BM3 og CM1 krysser hverandre er T.

a)

Midtpunktene på sidekantene i ΔABC er M1M2  og M3.

Vis ved regning at M1 har koordinatene 3, 32. Bestem koordinatene til M2 og M3 ved regning.

Løs oppgaven her

b)

Bestem en parameterframstilling til linjen gjennom A og M2  og en parameterframstilling til linjen gjennom C  og M1 .

Løs oppgaven her

c)

Tyngdepunktet T i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene.

Bestem koordinatene til T .

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4CXT

En partikkel har posisjonsvektoren

rt=ln t, t2-4t,    t>0

a)

Tegn grafen til  r og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved regning

Løs oppgaven her

b)

Bestem fartsvektoren vt og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til  r . Tegn inn v1 på grafen.

Løs oppgaven her

c)

Vis at akselerasjonsvektoren er at=-1t2, 2 . Bestem at når  t .

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (8 poeng) Nettkode: E-4CXY

Et rektangel med sider x og y er innskrevet i en sirkel med diameter AB=5.

Skisse av sirkel med innskrevet rektangel.

a)

Vis at arealet T av rektangelet er gitt ved

Tx=x25-x2

Forklar hvilke verdier x kan ha.

Løs oppgaven her

b)

Bestem x  og y  når arealet er størst mulig.

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

c)

Vis at omkretsen til rektangelet er gitt ved

Ox=225-x2+2x

Bruk O'x og bestem x når omkretsen er størst mulig.

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CY2

Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:

A:   Vi trekker to kuler med ulik farge.

B:   Vi trekker to kuler med samme farge.

Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.

a)

Bestem PA.

Løs oppgaven her

b)

Bestem PB.

Løs oppgaven her

c)

Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene A og B skal ha lik sannsynlighet.

Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4CY6

Løs likningen

n2xnlg x=x2     ,   n

Løs oppgaven her