Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1015 2016 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Solkurve: http://suncurves.com/(15.10.2015)
Lufttrykk: http://skolediskusjon.no/Forums/Thread.aspx?id=1160 (27.06.2015) http://www.yr.no/artikkel/mindre-trykk-og-varme-i-hoyden-1.7297472 (27.06.2015) http://www.yr.no/artikkel/hvordan-beregnes-lufftrykket_-1.7150434 (17.10.2015) http://naturfag.info/5jorden/b_atmosf.htm (17.10.2015)

Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4CSZ

Dato	Temperatur
01.03.	$2^{\circ} C$
02.03.	$0^{\circ} C$
03.03.	${- 4}^{\circ} C$
04.03.	${- 6}^{\circ} C$
05.03.	$2^{\circ} C$
06.03	$6^{\circ} C$

Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor.

Bestem variasjonsbredden, gjennomsnittet og medianen for temperaturmålingene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden i et datamateriale er differansen mellom den største verdien og den minste verdien.

Variasjonsbredde

er forskjellen mellom høyeste og laveste måling, mens

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnittet

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

medianen

sier noe om hvor målingene ligger.

Vi starter med

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden i et datamateriale er differansen mellom den største verdien og den minste verdien.

variasjonsbredden

, og da må vi finne den høyeste og den laveste målingen. Det var kaldest den

4

. mars; da var temperaturen

- 6^{\circ} C

. Den

6

. mars var den varmeste dagen med en temperatur på

6^{\circ} C

. Variasjonsbredden er forskjellen mellom disse to målingene, altså

12^{\circ} C

Videre finner vi gjennomsnittet, som vi regner ut ved å legge sammen alle målingene og dividere med antall målinger. Guro målte temperaturen seks ganger, så gjennomsnittet er $\begin{matrix} gjennomsnitt & = \frac{2^{\circ} C + 0^{\circ} C - 4^{\circ} C - 6^{\circ} C + 2^{\circ} C + 6^{\circ} C}{6} \\ = \frac{0^{\circ} C}{6} = 0^{\circ} C . \end{matrix}$

Til slutt finner vi medianen. Det gjør vi ved å sette opp målingene i stigende (eller synkende) rekkefølge, og ta gjennomsnittet av de to midterste verdiene. Vi setter opp i stigende rekkefølge: $- 6^{\circ} C, - 4^{\circ} C, 0^{\circ} C, 2^{\circ} C, 2^{\circ} C, 6^{\circ} C$ De to midterste målingene er $0^{\circ} C$ og $2^{\circ} C$ , så medianen er $\frac{0^{\circ} C + 2^{\circ} C}{2} = 1^{\circ} C$ .

Svar: Variasjonsbredden er $12^{\circ} C$ , gjennomsnittet er $0^{\circ} C$ og medianen er $1^{\circ} C$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden i et datamateriale er differansen mellom den største verdien og den minste verdien.

variasjonsbredde

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

For flere forklaringer og eksempler på variasjonsbredde, gjennomsnitt og median, se artikkelene Variasjonsbredde, Gjennomsnitt og Median.

For å øve mer, se oppgavesettet om hovedtendenser i Treningsleiren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4CT2

Det er ca. 7,5 milliarder mennesker på jorda. Anta at hvert menneske trenger 2 L drikkevann hver dag.

Omtrent hvor mange liter drikkevann vil da alle menneskene på jorda til sammen trenge hver måned? Skriv svaret på standardform.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Én milliard er det samme som $1 000 000 000 = 10^{9}$ . Husk hva et

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

er.

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

er på formen

a \cdot 10^{n}

der

a

er et tall mellom

1

10

, og

n

er et heltall.

Vi antar at det er $30$ dager i en måned. Det er $7, 5$ milliarder, eller $7, 5 \cdot 10^{9}$ , mennesker på jorda. Hvis hvert av disse menneskene trenger $2 L$ vann per dag, blir det $2 \cdot 7, 5 \cdot 10^{9}$ liter vann per dag, eller $30 \cdot 2 \cdot 7, 5 \cdot 10^{9}$ liter per måned. Dette tallet skal vi skrive på standardform. Det første vi gjør er å gjøre om $30$ til $3 \cdot 10 = 3 \cdot 10^{1}$ , og flytter alt som har med $10$ å gjøre på høyre side i stykket. $(3 \cdot 2 \cdot 7, 5) \cdot (10^{1} \cdot 10^{9})$ Deretter regner vi ut hver parentes for seg. Først ser vi at $10^{1} \cdot 10^{9} = 10^{1 + 9} = 10^{10}$ . Videre ser at $2 \cdot 7, 5 = 15$ , så $3 \cdot 2 \cdot 7, 5 = 3 \cdot 15 = 45$ , eller $4, 5 \cdot 10^{1}$ . Dermed kan tallet over skrives som $4, 5 \cdot 10^{1} \cdot 10^{10} .$ Igjen bruker vi potensreglene for potenser med samme grunntall, og vi får $4, 5 \cdot 10^{1 + 10} = 4, 5 \cdot 10^{11} .$

Svar: $4, 5 \cdot 10^{11}$ liter vann per måned, gitt at én måned er 30 dager.

Mer om

Denne oppgaven er om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

For flere forklaringer og eksempler på standardform, se artikkelen Tall på standardform.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CT4

I butikk A koster en vare 150 kroner. I butikk B koster den samme varen 120 kroner.

a)

Hvor mange prosent høyere er prisen i butikk A sammenliknet med prisen i butikk B?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi skal finne ut hvor mange

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

høyere

150

er i forhold til

120

I butikk $A$ koster varen $\frac{150}{120}$ av det den koster i butikk $B$ . Vi kan regne om brøken ved å faktorisere teller og nevner, og deretter forkorte. $\frac{150}{120} = \frac{15}{12} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{5}{4} = 1, 25$ Det er det samme som $125 %$ . Derfor koster varen $125 % - 100 % = 25 %$ mer i butikk $A$ enn i butikk $B$ .

Svar: $25 %$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Prosent av hva da?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

b)

Hvor mange prosent lavere er prisen i butikk B sammenliknet med prisen i butikk A?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her skal vi finne ut hvor mange

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

lavere

120

er i forhold til

150

. Det er ikke det samme som i forrige oppgave!

I butikk $B$ koster varen $\frac{120}{150}$ av det den kostet i butikk $A$ . Vi regner ut brøken på samme måte som i forrige oppgave, og får $\frac{120}{150} = \frac{12}{15} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{4}{5} = 0, 8 .$ Det er det samme som $80 %$ , så prisen til varen i butikk $B$ er $80 %$ av prisen i butikk $A$ . Dermed er prisen i butikk $B$ $100 % - 80 % = 20 %$ lavere enn i butikk $A$ .

Svar: $20 %$ lavere.

Mer om

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4CT7

Merverdiavgiften på klær er 25 %. En jakke koster 750 kroner med merverdiavgift.

Hvor mange kroner betaler vi i merverdiavgift dersom vi kjøper denne jakken?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Merverdiavgift

Merverdiavgift er en avgift vi betaler når vi kjøper varer eller tjenester og er inkludert i prisen til varen eller tjenesten.

25 % for de fleste varer eller tjenester
15 % for mat og drikke
12 % for persontransport, kinobilletter og utleie av rom

For oppdaterte satser se Skatteetatens hjemmeside.

Merverdiavgiften

på jakken er ikke

25 %

av de

750

kronene, men

25 %

av den opprinnelige prisen til jakken.

Vi viser to metoder å løse oppgaven på. Vi viser metoden der vi bruker

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

. Alternativ løsning viser løsningen når vi går veien om

1

. Begge løsningsmetodene går ut på det samme, men gir forskjellige innfallsvinkler.

La oss si at jakken i utgangspunktet kostet $x$ kroner.

Merverdiavgift

Merverdiavgift er en avgift vi betaler når vi kjøper varer eller tjenester og er inkludert i prisen til varen eller tjenesten.

25 % for de fleste varer eller tjenester
15 % for mat og drikke
12 % for persontransport, kinobilletter og utleie av rom

For oppdaterte satser se Skatteetatens hjemmeside.

Merverdiavgiften

er på

25 %

, så vi må legge

x \cdot 0, 25

til prisen for å finne utsalgsprisen. Dermed må utsalgsprisen være

x + x \cdot 0, 25 = 1, 25 x

. Vi vet allerede at utsalgsprisen er

750 kr

, så vi må ha at

1, 25 x = 750 .

For å finne den opprinnelige prisen

x

, dividerer vi med

1, 25

på begge sider og forkorter. Da får vi

\begin{matrix} \frac{1, 25 x}{1, 25} = \frac{750}{1, 25}, x = \frac{750}{1, 25} . \end{matrix}

Vi kan regne ut brøken for hånd, men det kan spare oss tid å se at

1, 25 = \frac{5}{4}

og at

750 = 10 \cdot 75 = 10 \cdot 15 \cdot 5

. Da får vi nemlig at

\frac{750}{1, 25} = \frac{10 \cdot 15 \cdot 5}{5 / 4} = \frac{10 \cdot 15 \cdot 5 \cdot 4}{5} = 10 \cdot 15 \cdot 4 = 600 .

Dermed kostet jakken opprinnelig

600

kroner. Utsalgsprisen var

750

kroner, så merverdiavgiften er på

750 - 600 = 150

kroner.

Alternativ løsning

Som nevnt kunne vi løst oppgaven på en annen måte. Vi sier at jakkens pris uten moms er $100 %$ . Vi skal legge til $25 %$ moms, og da må de $750$ kronene være $125 %$ av jakkens pris. Da må ett prosent være $\frac{750 kr}{125} = 6 kr .$ Den opprinnelige prisen til jakken var dermed $100 \cdot 6 kr = 600 kr .$

Svar: 150 kroner.

Mer om

Denne oppgaven er om

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

linære likninger

For flere forklaringer og eksempler på lineære likninger, se artikkelen Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om førstegradslikninger i Treningsleiren.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4CTD

Alder	Frekvens
$[0, 10⟩$	40
$[10, 20⟩$	20
$[20, 30⟩$	60
$[30, 50⟩$	20
$[50, 60⟩$	20
$[60, 80⟩$	40
Sum	200

Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for de 200 personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.

a)

Lag et histogram som viser aldersfordelingen for personene som bor i blokk Z.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må huske på at de forskjellige aldersintervallene har forskjellige lengder, og at det påvirker hvordan vi skal tegne stolpene i

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogrammet

Husk at det er

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

til stolpene i

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogrammet

som gir oss informasjon, ikke bare høyden.

Det aller første vi gjør, er å tegne opp et passende

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

. På

x

-aksen skal det være alder, og på

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

har vi høyden på stolpene. (Høyden til stolpene skal være

\frac{frekvens}{klassebredde}

.) Hvis vi er gode til å lage histogrammer, ser vi fort at den høyeste stolpen i diagrammet skal ha

6

i høyde; derfor tegner vi aksene som under.

Nå skal vi lage søylene våre. I aldersgruppen $[0, 10 ⟩$ er det $40$ personer. Det betyr at vi skal lage en søyle som har grunnlinje $10$ (fordi det er så stort aldersintervallet er), og den skal ha areal $40$ (fordi det er $40$ personer i denne aldersgruppen). Da må høyden til søylen være $4$ . Tilsvarende må høyden på søylene til aldersgruppene $[10, 20 ⟩$ og $[20, 30 ⟩$ være henholdsvis $2$ og $6$ . I aldersgruppen $[30, 50 ⟩$ er det $20$ personer. Denne søylen skal ha grunnlinje $20$ og areal $20$ , og da må høyden være $1$ . På samme måte regner vi ut at søylen tilhørende intervallet $[50, 60 ⟩$ skal ha høyde $2$ , og at søylen tilhørende intervallet $[60, 80 ⟩$ skal ha høyde $2$ . Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogram

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

For flere forklaringer og eksempler på histogrammer, se artikkelen Histogram.

b)

Bestem gjennomsnittsalderen for personene som bor i blokka.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi arbeider med gruppert informasjon. Da antar vi at dataene vi har er jevnt fordelt innenfor gruppene.

At dataene er jevnt fordelt innenfor gruppene, betyr for eksempel at gjennomsnittalderen av alle som er i intervallet $[20, 30 ⟩$ er $\frac{20 + 30}{2} = 25$ .

Det er $40$ personer som er mellom $0$ og $10$ år. Vi antar at gjennomsnittsalderen av disse er $\frac{0 + 10}{2} = 5$ år. Når vi skal regne ut

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av alle personene, kan vi anta at alle disse

40

personene er

5

år. Tilsvarende antar vi at

20

personer er

15

år,

60

personer er

25

år,

20

personer er

40

år,

20

personer er

55

år og

40

personer er

70

år. Det er totalt

200

personer som bor på Tirilltoppen, og gjennomsnittsalderen blir derfor cirka

\begin{matrix} \frac{40 \cdot 5 år + 20 \cdot 15 år + 60 \cdot 25 år + 20 \cdot 40 år + 20 \cdot 55 år + 40 \cdot 70 år}{200} \\ = \frac{200 + 300 + 1 500 + 800 + 1 100 + 2 800}{200} år \\ = \frac{6 700}{200} år = \frac{67}{2} år = 33, 5 år . \end{matrix}

Svar: Cirka $33, 5$ år

Mer om

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Statistikk

statistikk

For flere forklaringer og eksempler på gjennomsnitt, se artikkelen Gjennomsnitt.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleiren.

c)

Aurora bor i blokk Z. Hun er 32 år. Hun vet at de yngste i blokka er nyfødte, og at den eldste er 79 år. Hun påstår derfor at hennes alder er lavere enn medianalderen.

Vurder om Auroras påstand er riktig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Medianalderen regner man ut ved å sette opp aldrene til alle personene i stigende (eller synkende rekkefølge), og deretter velge det midsterste tallet, eventuelt

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av de to midterste tallene.

Aurora tenker sannsynligvis det følgende: Den yngste som bor i blokken er $0$ år, mens den eldste er $79$ år. Hvis vi setter disse to tallene opp i stigende rekkefølge og tar

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av de to midterste (og eneste) tallene, får vi

\frac{79 + 0}{2} = 39, 5

. Aurora påstår at dette er

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

medianen

, og dermed at hennes alder på

32

år er under medianalderen.

Auroras påstand er feil, fordi vi glemmer bort alle de andre som bor i blokken, for eksempel Aurora selv. Det er $200$ personer som bor i blokk $Z$ , og medianalderen er derfor gjennomsnittet av person nr. $100$ og person nr. $101$ , hvis vi setter dem opp med stigende alder. Vi ser fra tabellen at både person nr. $100$ og person nr. $101$ er mellom $20$ og $30$ år, så medianalderen er også det. Siden Aurora er over $30$ år, er hun over medianalderen.

Svar: Auroras påstand er feil fordi den ikke tar hensyn til alle de andre personene som bor i blokken.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Statistikk

statistikk

For flere forklaringer og eksempler på median, se artikkelen Median.

For å øve mer, se oppgavesettet om median i Treningsleiren.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4CTH

Marte er telefonselger. Hun har en fast grunnlønn per time. I tillegg får hun et fast beløp for hvert produkt hun selger.

En time solgte hun 2 produkter. Hun tjente da til sammen 170 kroner.

Den neste timen solgte hun 4 produkter. Denne timen tjente hun til sammen 220 kroner.

a)

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange produkter Marte selger i løpet av en time, og hvor mye hun tjener denne timen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her er det lurt å lage en

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

av timelønnen.

Vi lager en graf. På

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

har vi antall produkter Marte selger per time, og på

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

har vi timelønnen. Vi vet at

Graf

grafen

skal være en rett linje, for timelønnen skal øke med et bestemt beløp per produkt Marte selger. Derfor er alt vi trenger å gjøre å finne to punkter på grafen, og deretter trekke en rett linje mellom de to. Vi vet at

2

solgte produkter gir en timeslønn på

170

kroner, så

(2, 170)

er et punkt på grafen; tilsvarende er

(4, 220)

et annet punkt.

Her har vi passet på å sette på navn på aksene.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Koordinatsystem

koordinatsystemer

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på koordinatsystemet, se artiklene Koordinatsystem, Rette linjer (linære funksjoner) og Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

b)

Bruk den grafiske framstillingen til å bestemme Martes grunnlønn per time og det beløpet hun får for hvert produkt hun selger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi bruker grafen fra deloppgave a). Vi kan tolke grunnlønnen som

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

til den rette linjen, og lønnen per solgte produkt for

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

Først finner vi grunnlønnen. Dette er lønnen som Marte får hvis hun ikke selger noen produkter. I den grafiske framstillingen vår representerer $x$ -aksen antall solgte produkter, og derfor vil vi finne ut hva timelønnen blir når $x = 0$ . Vi ser at grafen krysser $y$ -aksen cirka der $y = 120$ , så grunnlønnen til Marte er $120$ kroner.

Videre vil vi finne hvor mye Marte får i ekstra lønn per produkt hun selger. Dette tolkes som hvor mye vi stiger i $y$ -retning langs linjen hvis vi går $1$ i $x$ -retning, eller med andre ord, stigningstallet til linjen. Vi vet at Marte tjener $170$ kroner hvis hun selger $2$ produkter. Grunnlønnen hennes er $120$ kroner, og det betyr at de 2 produktene gav henne $170 kr - 120 kr = 50 kr$ ekstra lønn. Det blir $25$ kroner per produkt.

Svar: Grunnlønnen til Marte er $120$ kroner per time, og hun får $25$ kroner ekstra per produkt hun selger.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

linære funksjoner

med Stigningstall.

For flere forklaringer og eksempler på lineære funksjoner, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet lineære funksjoner i Treningsleiren.

c)

Hvor mange produkter må Marte selge i løpet av en time dersom hun skal tjene 370 kroner denne timen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi skal finne ut hva $x$ -verdien til den rette linjen er når $y$ -verdien er $370$ . Dette kan vi gjøre ved hjelp av den grafiske fremstillingen vår.

Vi bruker

Graf

grafen

vi har tegnet. Alternativ løsning er der vi viser hvordan vi kan løse oppgaven ved regning. Vi vil finne ut når grafen vi tegnet tidligere, treffer linjen

y = 370

. Det gjør vi ved å tegne opp denne linjen, og se på

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinatene

til

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunktet

Her ser vi at skjæringspunktet har koordinater $(10, 370)$ . Det betyr at Marte må selge $10$ produkter for å få en timeslønn på $370$ kroner.

Alternativ løsning

Da merker vi oss at likningen til linjen vi har tegnet er $y = 120 + 25 x$ . Vi vil finne ut når denne linjen krysser $y = 370$ , og det gjør vi ved å finne den verdien for $x$ som passer inn i likningen $120 + 25 x = 370 .$ Kort sagt gjør vi det ved å trekke fra $120$ på hver side av likhetstegnet, og deretter dividere med $25$ . Da får vi $x = \frac{370 - 120}{25} .$ Vi regner ut at $\frac{370 - 120}{25} = \frac{250}{25} = 10,$ så Marte må selge $10$ produkter.

Svar: Marte må selge 10 produkter.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Grafisk løsning av likninger og Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4CTR

a)

Forklar hva det vil si at en størrelse øker eksponentielt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En størrelse øker

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielt

hvis den hele tiden øker med en viss prosentandel.

En størrelse som øker

Eksponentialligning

En eksponentialligning er en ligning der én eller flere potenser har den ukjente i eksponenten.

Eksempel med $x$ som ukjent: $2 \cdot 10^{x} = 4$ eller ${1, 03}^{x} = 2$

eksponentielt

, vil øke mer og mer etter hvert som tiden går. Mer presist skal størrelsen øke med en viss prosentandel hele tiden. Et godt eksempel er hvis man setter inn

100 000

kroner i banken på en konto med

3 %

rente per år; da vil beløpet på kontoen øke med

3 %

hvert år.

Man kan også forklare eksponentiell økning mer algebraisk. Størrelsen $f (x)$ øker eksponentielt hvis den kan skrives på formen $f (x) = a \cdot r^{x}$ , der $r$ er et tall større enn $1$ . (Hvis $r$ hadde vært mindre enn $1$ , ville størrelsen ha avtatt eksponentielt.)

Svar: En størrelse øker eksponentielt hvis den hele tiden øker med en viss prosentandel.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjoner

Potens

potenser

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på eksponentialfunksjoner, se artikkelen Johannes viser eksponential- og logaritmefunksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om eksponentialfunsksjoner i Treningsleiren.

b)

Nedenfor ser du tre ulike grafer. Hvilken eller hvilke av disse grafene illustrerer eksponentiell vekst? Begrunn svaret ditt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Hvis en størrelse øker

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielt

, så øker den mer og mer etter hvert som tiden går.

Graf

A

starter som en rett linje, og deretter slaker den ut.

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

Eksponentiell

vekst skal bli større og større, og aldri slake ut; derfor illustrerer ikke denne grafen eksponentiell vekst.

Graf $B$ øker mer og mer etter hvert som $x$ -verdien blir større. Det er dette vi er ute etter i eksponentiell vekst, og det er ingenting annet som tyder på at grafen ikke illustrerer eksponentiell vekst. Derfor er $B$ riktig svar.

Graf $C$ øker likt uansett hvor vi er på $x$ -aksen. Med eksponentiell vekst skal grafen øke mer og mer hele tiden, så $C$ illustrerer ikke eksponentiell vekst.

Svar: Graf $B$ er riktig, fordi den er den eneste av grafene som vokser mer og mer etter hvert som $x$ -verdien øker.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjoner

Potens

potenser

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på funksjoner og grafer, se artikkelen Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4CTV

Sorter tallene i stigende rekkefølge

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi må finne en god måte å sammenligne tallene på. Her er nok det lureste å skrive om alle tallenet til

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Vi skriver om alle tallene til

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

. Et tall på standardform er på formen

\pm r \cdot 10^{n}

, der

n

er et heltall og

1 \leq r < 10

$0, 046 \cdot 10^{11}$ :

Dette tallet er nesten på standardform. Det eneste som mangler er at tallet før tierpotensen skal være mellom $1$ og $10$ . Vi skriver $0, 046$ som $4, 6 \cdot 10^{- 2}$ , og da får vi $0, 046 \cdot 10^{11} = 4, 6 \cdot 10^{- 2} \cdot 10^{11} = 4, 6 \cdot 10^{- 2 + 11} = 4, 6 \cdot 10^{9} .$ Her har vi brukt potensregelen som sier at vi kan legge sammen

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponentene

(i dette tilfellet

- 2

11

) når vi multipliserer to

Potens

potenser

med samme

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

$\frac{46}{1 000 000}$ :

Her bruker vi at $1 000 000 = 10^{6}$ (fordi det er $6$ nuller i $1 000 000$ , så $1 000 000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ ). Da kan vi skrive brøken som $\frac{46}{10^{6}}$ . Vi vil flytte tierpotensen opp fra nevneren, og da multipliserer vi med den omvendte potensen $10^{- 6}$ over og under brøkstreken. Vi får $\frac{46}{10^{6}} = \frac{46 \cdot 10^{- 6}}{10^{6} \cdot 10^{- 6}} = \frac{46 \cdot 10^{- 6}}{10^{0}} = \frac{46 \cdot 10^{- 6}}{1} = 46 \cdot 10^{- 6} .$ Her har vi brukt at $a^{0} = 1$ for alle tall $a$ som er forskjellige fra $0$ . Nå er vi i samme situasjon som over, nemlig at tallet før tierpotensen ikke er mellom $1$ og $10$ . Derfor skriver vi $46$ som $4, 6 \cdot 10$ , og vi får $46 \cdot 10^{- 6} = 4, 6 \cdot 10^{1} \cdot 10^{- 6} = 4, 6 \cdot 10^{- 5} .$ Her har vi brukt de samme reglene som i forrige tall, og at $10$ er det samme som $10^{1}$ .

$46 \cdot 10^{- 7}$ : Som tidligere skriver vi $46$ som $4, 6 \cdot 10$ , og vi får $46 \cdot 10^{- 7} = 4, 6 \cdot 10^{1} \cdot 10^{- 7} = 4, 6 \cdot 10^{- 6} .$

$4 600 000$ :

I dette tallet er det $6$ siffer i tillegg til det første, og de fem bakerste er $0$ . Derfor kan vi se med én gang at tallet kan skrives som $4, 6 \cdot 10^{6}$ . Alternativt kan vi se at tallet er $46$ med $5$ nuller bak, altså $46 \cdot 10^{5}$ , og deretter gjøre som i de tidligere oppgavene.

$4, 6 \cdot 10^{8}$ : Dette tallet er allerede på standardform.

$0, 46 \cdot 10^{- 6}$ :

Vi skriver $0, 46$ som $4, 6 \cdot 10^{- 1}$ . Da får vi $0, 46 \cdot 10^{- 6} = 4, 6 \cdot 10^{- 1} \cdot 10^{- 6} = 4, 6 \cdot 10^{- 7} .$

Disse tallene er det lett å sette opp i stigende rekkefølge. Jo høyere eksponenten er, jo større er tallet. Stigende rekkefølge med tallene på standardform er $4, 6 \cdot 10^{- 7} - 4, 6 \cdot 10^{- 6} - 4, 6 \cdot 10^{- 5} - 4, 6 \cdot 10^{6} - 4, 6 \cdot 10^{8} - 4, 6 \cdot 10^{9} .$ Med de opprinnelige tallene er rekkefølgen $0, 46 \cdot 10^{- 6} - 46 \cdot 10^{- 7} - \frac{46}{1 000 000} - 4 600 000 - 4, 6 \cdot 10^{8} - 0, 046 \cdot 10^{11} .$

Svar: Stigende rekkefølge med tallene på standardform er $4, 6 \cdot 10^{- 7} - 4, 6 \cdot 10^{- 6} - 4, 6 \cdot 10^{- 5} - 4, 6 \cdot 10^{6} - 4, 6 \cdot 10^{8} - 4, 6 \cdot 10^{9} .$ Med de opprinnelige tallene er rekkefølgen $0, 46 \cdot 10^{- 6} - 46 \cdot 10^{- 7} - \frac{46}{1 000 000} - 4 600 000 - 4, 6 \cdot 10^{8} - 0, 046 \cdot 10^{11} .$

Mer om

Denne oppgaven er om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Potens

potenser

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Desimaltall

Desimaltall er tall som inneholder komma.

Eksempel: 2,34 og 18,001

Sifrene som følger etter komma, kalles desimaler.

desimaltall

For flere forklaringer og eksempler på standardform, se artiklene Tall på standardform og Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4CTZ

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6⟩$	5
$[6, 11⟩$			15
$[11, 16⟩$	2	0,1
$[16, 21⟩$			19
$[21, 26⟩$			20

Ole har undersøkt hvor mange land hver elev i en 2P-gruppe har besøkt. Han har satt opp en tabell. Ovenfor ser du noen av tallene i tabellen.

Tegn av tabellen, gjør beregninger, og fyll inn tallene som mangler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her må vi huske på definisjonene av

Frekvens

Frekvensen er resultatet av å dele det totale antallet ganger en hendelse intereffer i løpet av et bestemt tidsintervall på intervallets lengde.

frekvens

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relativ frekvens

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

Frekvensen

til et intervall, er antall elever som har besøkt antall land i dette intervallet. Siden frekvensen til

[1, 6 ⟩

5

, er det fem elever som har besøkt mellom

1

6

land. Den relative frekvensen til et intervall er hvor stor andel av elevene som har besøkt antall land i dette intervallet. At en

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relative frekvensen

for

[11, 16 ⟩

0, 1

, betyr at

0, 1 = 10 %

av elevene besøkte mellom

11

16

land.

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

Kumulativ frekvens

for et intervall er antall elever som har besøkt antall land i intervallet, eller et lavere intervall. At den kumulative frekvensen for

[16, 21 ⟩

19

, betyr at

19

elever har besøkt mellom

1

21

land.

Det første vi gjør er å skrive av tabellen slik den er.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$
$[6, 11)$			$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$
$[16, 21)$			$19$
$[21, 26)$			$20$

Det kan være lurt å fylle inn tabellen ovenfra og ned, og vi starter med den relative frekvensen for $[1, 6 ⟩$ . Vi skal altså finne ut hvor stor andel av elevene som har besøkt mellom $1$ og $6$ land. Frekvensen for intervallet er $5$ , så $5$ elever faller innenfor denne kategorien. Det neste vi må vite er antall elever i klassen. Det kan vi gjøre ved å se på den kumulative frekvensen for $[21, 26 ⟩$ . Den er $20$ , og det betyr at det er $20$ elever som har besøkt $26$ land eller færre. Men ingen elever har besøkt mer enn $26$ land, så da må det være totalt $20$ elever i klassen! Vi vet at $5$ av disse er i intervallet $[1, 6 ⟩$ , og da er den relative frekvensen til $[1, 6 ⟩$ lik $\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0, 25$ . Vi skriver dette inn i tabellen.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$	$0, 25$
$[6, 11)$			$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$
$[16, 21)$			$19$
$[21, 26)$			$20$

Videre finner vi den kumulative frekvensen for $[1, 6 ⟩$ , altså antall elever i klassen som har besøkt mellom $1$ og $6$ land. Det vet vi allerede er $5$ , så det er den kumulative frekvensen. (Dette stemmer mer generelt: Frekvens og kumulativ frekvens er lik i det første intervallet.) Vi fyller inn.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$	$0, 25$	$5$
$[6, 11)$			$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$
$[16, 21)$			$19$
$[21, 26)$			$20$

Nå begynner vi på andre rad. Vi ser at den kumulative frekvensen for $[6, 11 ⟩$ er $15$ , så $15$ elever har besøkt opp til $11$ land. Fra første rad ved vi at $5$ av disse har besøkt $6$ land eller færre, og da står vi igjen med $15 - 5 = 10$ elever i intervallet $[6, 11 ⟩$ . Dermed er frekvensen til intervallet lik $10$ . Vi fant ut over at det er $20$ elever i klassen, og da blir relativ frekvens lik $\frac{10}{20} = 0, 5$ . Vi fyller inn.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$	$0, 25$	$5$
$[6, 11)$	$10$	$0, 5$	$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$
$[16, 21)$			$19$
$[21, 26)$			$20$

Vi starter på tredje rad, med den kumulative frekvensen til intervallet $[11, 16 ⟩$ . Vi ser fra tabellen at det er $15$ elever som har besøkt opp til $11$ land, og $2$ elever har besøkt mellom $11$ og $16$ land. Da må den kumulative frekvensen til $[11, 16 ⟩$ være $15 + 2 = 17$ .

Vi fortsetter med fjerde rad. Kumulativ frekvens øker fra $17$ til $19$ fra $[11, 16 ⟩$ til $[16, 21 ⟩$ , så det er $19 - 17 = 2$ elever i intervallet $[16, 21 ⟩$ . Det utgjør $\frac{2}{20} = 0, 1$ av alle elevene. Vi fyller inn i henholdsvis “frekvens”- og “relativ frekvens”-ruten.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$	$0, 25$	$5$
$[6, 11)$	$10$	$0, 5$	$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$	$17$
$[16, 21)$	$2$	$0, 1$	$19$
$[21, 26)$			$20$

Den siste raden tar vi på samme måte som forrige. Kumulativ frekvens øker med $1$ , så frekvensen er $1$ . Dette utgjør $\frac{1}{20} = 0, 05$ av klassen. Den ferdige utfylte tabellen er vist nedenfor.

Svar:

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[1, 6)$	$5$	$0, 25$	$5$
$[6, 11)$	$10$	$0, 5$	$15$
$[11, 16)$	$2$	$0, 1$	$17$
$[16, 21)$	$2$	$0, 1$	$19$
$[21, 26)$	$1$	$0, 05$	$20$

Mer om

Denne oppgaven er om

Frekvens

Frekvensen er resultatet av å dele det totale antallet ganger en hendelse intereffer i løpet av et bestemt tidsintervall på intervallets lengde.

frekvens

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relativ frekvens

Statistikk

statistikk

For flere forklaringer og eksempler på frekvenstabell, se artikkelen Frekvenstabell.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CUC

Ved en skole er det 440 elever. Elevene ble spurt om hvor ofte de bruker sykkelhjelm. Tabellen nedenfor viser resultatene.

Alltid	88
Nesten alltid	176
Noen ganger	110
Aldri	22
Sykler ikke	44

Bruk regneark til å lage et sektordiagram som illustrerer opplysningene i tabellen ovenfor. Det skal gå klart fram av diagrammet hvor mange prosent hver sektor utgjør.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CUE

Hans og Grete går til Høgfjell hver dag. Nedenfor ser du hvor mange minutter Hans har brukt på hver tur de to siste ukene.

25 30 26 24 32 25 27 30 28 31 24 35 32 33

a)

Bestem gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke et regneark for å finne

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

. Vi bruker Excel.

Vi legger inn all informasjonen i Excel.

Først regner vi ut

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

. Informasjonen ligger i cellene

A2

til og med

A15

, og derfor skriver vi

 $= GJENNOMSNITT (A2:A15)$

Tilsvarende finner vi

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavviket

ved å skrive

 $= STDAV.P (A2:A15)$

Vi bruker $STDAV.P$ fordi vi vil regne ut standardavviket for hele datasettet. Hvis vi hadde brukt $STDAV$ , ville vi fått estimerte verdier basert på utvalg. Regnearket ser nå slik ut.

Vi ser at gjennomsnittet er cirka $28, 7$ , mens standardavviket er cirka $3, 5$ .

Svar: Gjennomsnittet er cirka $28, 7$ , og standardavviket er cirka $3, 5$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

, regneark,

Statistikk

statistikk

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

For flere forklaringer og eksempler på gjennomsnitt, se artiklene Gjennomsnitt, median og typetall og Varians og standardavvik.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleiren.

b)

Grete har i gjennomsnitt brukt like lang tid som Hans per tur de siste 14 dagene, men standardavviket hennes er 1,2.

Hva kan du ut fra dette si om tidene Grete har brukt på turene, sammenliknet med tidene Hans har brukt?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

Standardavviket

er et mål på hvor spredt informasjonen er.

Både Hans og Grete har i gjennomsnitt gått på cirka $29$ minutter.

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

Standardavviket

til Grete er

1, 2

, mens standardavviket til Hans er

3, 5

, altså cirka tre ganger høyere. Standardavviket sier noe om hvor varierende tid de bruker på gåturene. Hans har høyere standardavvik enn Grete, så gåtidene til Hans varierer mer enn Gretes.

Svar: Gåtidene til Hans varierer mer enn Gretes gåtider.

Mer om

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

Statistikk

statistikk

For flere forklaringer og eksempler på statistikk, se artikkelen Varians og standardavvik.

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4CUI

Funksjonen $B$ gitt ved

$B (x) = 0, 006 x^{4} - 0, 33 x^{3} + 5, 7 x^{2} - 32, 1 x + 59, 3 5 \leq x \leq 23$

viser hvor mange grader $B (x)$ sola stod over horisonten $x$ timer etter midnatt i Bergen 21. juni 2015.

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $B$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å tegne

Graf

grafen

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. For å tegne funksjonen skriver vi

 $B = Funksjon [0.006x^4 - 0.33x^3 + 5.7x^2 - 32.1x + 59.3, 5, 23]$

i «Skriv inn»-vinduet. Vi må tilpasse aksene slik at vi ser hele grafen, og vi må sette på passende navn på

Akse

Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, som kalles symmetriakse. Eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem, for eksempel x-akse og y-akse.

aksene

. Et forslag er vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Typer av funksjoner og Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleiren.

b)

Hvor mange grader stod sola over horisonten da den var på sitt høyeste?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Solen står høyest der grafen har sitt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Vi skal finne ut når solen stod høyest på himmelen, og det vil være der grafen når sitt høyeste punkt. Vi kan finne

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

til grafen ved å skrive

 $Ekstremalpunkt[B, 5, 25]$

i «Skriv inn»-vinduet.

Koordinatene til toppunktet er $(13.69, 52.18)$ . Det betyr at solen var $52, 18$ grader over horisonten $13, 69$ timer etter midnatt, og det var det høyeste den kom.

Svar: $52, 18$ grader.

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen om Topp- og bunnpunkter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

Visste du at

Det finnes mange måter å regne ut toppunkter (og bunnpunkter) til en funksjon på. Man kan gjøre det ved regning ved hjelp av det som heter derivasjon, som går ut på å finne den momentane vekstfarten til funksjonen, og se på når denne vekstfarten blir $0$ . Eventuelt kan man finne tilnærminger til ekstremalpunktene ved hjelp av en datamaskin, og det er denne metoden som oftest brukes når funksjonen ikke er en enkel funksjon. Én metode man kan bruke på datamaskinen, er å se på funksjonsverdier i mange punkter, og se når den er høyest. I denne oppgaven kunne vi i så fall ha delt opp intervallet $[5, 25]$ inn i $1 000 000 = 10^{6}$ deler (vi vil ofte ha veldig mange funksjonsverdier, eller sampler, når vi skal gjøre slike beregninger). Videre kunne vi satt alle disse $x$ -verdiene inn i funksjonen $B$ , og deretter plukke ut den høyeste verdien. Dette gjør vi åpenbart ikke for hånd, men det er relativt enkelt på datamaskin. Hvis en er kyndig i programmering, kan det være en god øvelse i både programmering og matematikk å implementere et slikt program.

c)

Når stod sola 20 grader over horisonten?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her kan vi bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen fra deloppgave b). Vi vil se når

Graf

grafen

tar

20

som verdi.

Vi vil finne ut hva $x$ skal være for at $B (x) = 20$ . Det gjør vi ved å finne

Skjæringspunkt

skjæringspunktet

mellom

B

og linjen

y = 20

. Dette gjør vi enkelt i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

ved å skrive

 $y=20$

i «Skriv inn»-vinduet, og deretter bruke skjæringsverktøyet til å finne skjæringspunktene.

Her ser vi at skjæringspunktene har koordinater $(7.63, 20)$ og $(19.67, 20)$ . Det betyr at $7, 63$ og $19, 67$ timer etter midnatt, så var solen $20$ grader over horisonten. Det tilsvarer henholdsvis cirka klokken $07.40$ og $19.40$ .

Svar: $7, 63$ og $19, 67$ timer etter midnatt, eller cirka klokken $07.40$ og $19.40$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funskjoner

Graf

grafer

Skjæringspunkt

skjæringspunkter

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikning

For flere forklaringer og eksempler Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Visste du at

I denne oppgaven har vi funnet hva $x$ skulle være for at $B (x) = 20$ . Dette er nøyaktig det samme som å løse ligningen $- 0, 006 x^{4} - 0, 33 x^{3} + 5, 7 x^{2} - 32, 1 x + 59, 3 = 20,$ under betingelsen $5 \leq x \leq 23$ . Dette er en ganske komplisert ligning, og vi løste den på en veldig enkel måte grafisk. GeoGebras innebygde metoder for å finne skjæringspunkter kalles for numeriske metoder, og de er brukt for å løse mange typer vanskelige ligninger. Det finnes ligninger som er umulige å løse ved regning, enten praktisk umulig eller faktisk teoretisk umulig(!), og da må man ty til slike numeriske metoder.

d)

Hvor mange grader steg sola i gjennomsnitt per time fra klokka 05.00 til klokka 12.00?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Gjennomsnittlig stigning mellom to punkter kan vi finne ved å se på

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til linjen mellom punktene.

Vi kan gjøre dette både grafisk og ved regning. Vi viser her ved regning, mens i alternativ løsning viser vi det grafisk.

Klokken $05.00$ var solen $B (5)$ grader over horisonten (fordi $05.00$ er $5$ timer etter midnatt). Vi kan regne ut hva dette tallet er ved å skrive

 $B (5)$

i «Skriv inn»-vinduet. Da får vi $B (5) = 3, 8$ . Klokken $12.00$ var solen $B (12) = 49, 08$ grader over horisonten. Solen har dermed økt fra $3, 8$ grader til $49, 08$ grader på $12 - 5 = 7$ timer; det gir en gjennomsnittlig økning på $\frac{49, 08 - 3, 8}{7} \approx 6, 47$ grader per time.

Alternativ løsning

Vi kan også løse oppgaven grafisk ved å finne stigningstallet til den rette linjen mellom punktene $(5, B (5))$ og $(12, B (12))$ . Først skriver vi inn punktene i GeoGebra-filen, og deretter lager vi en rett linje mellom dem. Vi høyreklikker på linjen og velger «Likning $y = a x + b$ » for å få likningen på en mer kjent form.

Her ser vi at stigningstallet til linjen er $6, 47$ , og da er dette gjennomsnittlig stigning per time. Det var det samme som vi fikk i sted.

Svar: Cirka $6, 47$ grader per time.

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Statistikk

statistikk

Gjennomsnittlig vekstfart

En funksjon $f (x)$ har gjennomsnittlig vekstfart

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

mellom $x_{2}$ og $x_{1}$ . Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.

gjennomsnittlig vekstfart

For flere forklaringer og eksempler på lineære funksjoner, se artikkelen Rette linjer.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4CUP

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite rektangler som vist ovenfor.

a)

Skriv av tabellen nedenfor, og fyll den ut.

Figur	Antall hvite rektangler	Antall blå rektangler	Antall rektangler totalt
1	1	8	9
2	4
3
4
n

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Hver figur har et stort hvitt

Kvadrat

En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

kvadrat

i midten bestående av mange små, og en kant av blå rektangler.

Det aller første vi gjør er å skrive av tabellen slik den står.

Det første vi gjør er å skrive av tabellen slik den er.

Figur	Antall hvite rektangler	Antall blå rektangler	Antall rektangler totalt
$1$	$1$	$8$	$9$
$2$	$4$
$3$
$4$
$n$

Vi vil fylle ut rad nummer $2$ . Da teller vi antall blå rektangler i Figur $2$ , og det blir $12$ . Det $4$ hvite rektangler i figuren, og da blir det totale antallet rektangler lik $12 + 4 = 16$ . På tilsvarende måte teller vi at det er $9$ hvite rektangler i Figur $3$ , $16$ blå og $25$ totalt. Vi fyller dette inn i tabellen vår.

Figur	Antall hvite rektangler	Antall blå rektangler	Antall rektangler totalt
$1$	$1$	$8$	$9$
$2$	$4$	$12$	$16$
$3$	$9$	$16$	$25$
$4$
$n$

Når vi skal finne ut hva som skal stå i rad $4$ , kan vi ikke lenger telle antall kvadrater. Det vi kan (og skal) gjøre, er å se på mønsteret som figurene er bygget etter. I Figur $1$ er det $1 \cdot 1 = 1$ hvitt rektangel, i Figur $2$ er det $2 \cdot 2 = 4$ hvite rektangler, og i Figur $3$ er det $3 \cdot 3 = 9$ hvite rektangler. Vi ser dette fordi de hvite rektanglene danner et stort rektangel i midten. I Figur $4$ skal det derfor være $4 \cdot 4 = 16$ hvite rektangler i midten. Nå kunne vi begynt å regne ut antallet blå rektangler, men det vil være lettere å regne ut antall rektangler totalt først. Vi ser nemlig at rektanglene i hver figur danner et stort rektangel med lik bredde som høyde, målt i antall rektangler. Figur $1$ er $3$ rektangler i høyden og i bredden, Figur $2$ er $4$ rektangler i høyden og i bredden, og Figur $3$ er $5$ i høyden og i bredden. Derfor skal Figur $4$ være $6$ rektangler i høyden og i bredden, som gir et totalt antall rektangler på $6 \cdot 6 = 36$ . Vi vet at $16$ av disse er hvite, og da må $36 - 16 = 20$ av dem være blå. Vi fyller ut.

Figur	Antall hvite rektangler	Antall blå rektangler	Antall rektangler totalt
$1$	$1$	$8$	$9$
$2$	$4$	$12$	$16$
$3$	$9$	$16$	$25$
$4$	$16$	$20$	$36$
$n$

Så skal vi fylle ut den siste raden. Det vanskelige arbeidet gjorde vi faktisk da vi fant ut systemet i rad

$4$ . Vi ser at i Figur $n$ , så må det være $n \cdot n = n^{2}$ hvite rektangler, fordi det er et stort hvitt rektangel med bredde og høyde $n$ inne i figuren. Totalt må det være $(n + 2) \cdot (n + 2) = (n + 2)^{2} = n^{2} + 4 n + 4$ rektangler, fordi hele figuren er et rektangel med bredde og høyde $n + 2$ . Da står vi igjen med $n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} = 4 n + 4$ blå rektangler. Den ferdig utfylte tabellen er vist under.

Svar:

Figur	Antall hvite rektangler	Antall blå rektangler	Antall rektangler totalt
$1$	$1$	$8$	$9$
$2$	$4$	$12$	$16$
$3$	$9$	$16$	$25$
$4$	$16$	$20$	$36$
$n$	$n^{2}$	$4 n + 4$	$n^{2} + 4 n + 4$

Mer om

Denne oppgaven er om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabeller

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangeler

For flere forklaringer og eksempler på faktorisering, se artikkelen Faktorisering av andregradsuttrykk.

b)

Hvor mange hvite rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 81 rektangler?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her bruker vi det samme systemet som vi fant i deloppgave a).

I Figur $n$ er det totalt $n^{2} + 4 n + 4$ eller $(n + 2)^{2}$ rektangler totalt. I vår figur er det $81 = 9 \cdot 9$ rektangler; det betyr at $n + 2$ må være det samme som $9$ , så $n + 2 = 9$ eller $n = 7$ . Dermed er det Figur $7$ som har 81 rektangler. Dette kunne vi også funnet grafisk ved å finne skjæringspunktet mellom funksjonen $n^{2} + 4 n + 4$ og linjen $y = 81$ , som vist under.

Videre vet vi fra tabellen vår at det skal være $n^{2}$ hvite rektangler i Figur $n$ , og det betyr at det skal være $7^{2} = 49$ hvite rektangler i Figur $7$ . Derfor er svaret $49$ .

Svar: $49$ hvite rektangler.

Mer om

Denne oppgaven er om

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangler

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på andregradsgrafer, se artikkelen Funksjonsgrafer for andregradsfunksjoner.

c)

Hvor mange blå rektangler trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 1 296 rektangler?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her skal vi gjøre cirka det samme som i deloppgave b).

Som i forrige oppgave, starter vi med å finne ut hvilken figur som har $1 296$ rektangler totalt. Figur $n$ har totalt $n^{2} + 4 n + 4$ rektangler, og vi vil finne ut hva $n$ skal være for at dette skal bli $1 296$ . Dette kan vi gjøre ved å prøve oss fram, eller løse ligningen $n^{2} + 4 n + 4 = 1 296$ grafisk som i forrige oppgave.

Fra figuren over ser vi at det er Figur $34$ som har $1 296$ rektangler. Vi vet at Figur $n$ har $4 n + 4$ blå rektangler, og da vil Figur $34$ ha $4 \cdot 34 + 4 = 140$ blå rektangler.

Svar: $140$ blå rektangler.

Mer om

Denne oppgaven er om

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangler

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Polynomlikning

En likning der bare summer og produkter av en eller flere ukjente og konstanter forekommer.

polynomlikninger

For flere forklaringer og eksempler på andregradslikninger, se artikkelen abc-formelen.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CUT

En bedrift slapp ut 20 000 tonn CO₂ i 2015. Myndighetene krever at bedriften reduserer utslippet av CO₂ med 8 % hvert år de neste 10 årene.

a)

Bruk regneark til å lage en oversikt som viser antall tonn CO2 bedriften kan slippe ut hvert år de neste 10 årene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her skal vi sette opp en tabell som viser antall tonn CO $_{2}$ bedriftene kan slippe ut hvert år.

Vi setter opp en tabell vi skal fylle ut. Venstre side viser årstallet, mens høyre side viser antall tonn tillatte CO $_{2}$ -utslipp. I $2015$ slapp bedriften ut $20 000$ tonn, og vi skriver inn dette som vårt utgangspunkt. I $2016$ skulle utslippet sunket med $8 %$ . Det gir en

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

på

0, 92

, og derfor skriver vi det følgende for

2016

For $2017$ skal bedriften senke utslippene $8 %$ ytterligere; derfor skal vi skrive

 $=B3*0,92$

på neste linje igjen. Slik fortsetter vi helt til slutten av tabellen. Vi kan gjøre det raskt ved å markere rutene vi allerede har skrevet inn, og deretter dra nedover. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

, regneark og

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabeller

For flere forklaringer og eksempler på prosentregning, se lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

b)

Hvor mange prosent vil bedriften totalt ha redusert utslippet med i løpet av denne perioden?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Dette kan vi gjøre ved å bruke tabellen fra deloppgave a), og regne ut.

Etter $10$ år har bedriften lov til å slippe ut $8 687, 8$ tonn CO $_{2}$ . Det er en reduksjon på $20 000 - 8 687, 8 = 11 312, 2$ tonn. Av $20 000$ er dette $\frac{11 312, 2}{20 000} \approx 0, 57 = 57 %,$ så reduksjonen er på totalt $56 %$ .

Alternativ løsning

Vekstfaktoren er $0, 92$ .

Vi har derfor at ${0, 92}^{10} \approx 0, 4344$

Dette gir oss at

$1 - 0, 4344 = 0, 5656 \approx 0, 57$

Svar: Cirka $57 %$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Regneregeler.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

c)

En annen bedrift slapp ut 30 000 tonn CO₂ i 2015. Myndighetene krever at denne bedriften halverer utslippet i løpet av 5 år. Bedriften vil oppfylle myndighetenes krav ved å redusere utslippet av CO₂ med en fast prosentsats hvert år framover.

Bestem denne prosentsatsen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Her er det lurt å sette opp en modell for det tillatte utslippet.

La oss si at bedriften reduserer utslippet med en vekstfaktor på $x$ . (For eksempel, hvis $x = 0, 89$ , så må bedriften kutte utslippene med $100 - 100 \cdot 0, 89 = 100 - 89 = 11$ prosent hvert år.) Etter ett år er tillatt utslipp da lik $30 000 \cdot x$ ; etter to år er det $30 000 \cdot x^{2}$ , og så videre. Modellen vår for det tillatte utslippet er $30 000 \cdot x^{n}$ etter $n$ år. Etter 5 år er tillatt utslipp lik $30 000 \cdot x^{5}$ . Vi vil at dette tallet skal være halvparten av utslippene i utgangspunktet, og da må vi ha at $x^{5} = 0, 5 .$ Dette er en likning vi skal løse for $x$ . Vi kan gjøre det grafisk og med CAS, eller med regning. Vi gjør det sistnevnte, for det går relativt fort. Det eneste vi gjør er å opphøye begge sidene i $\frac{1}{5}$ . Da får vi $\begin{matrix} (x^{5})^{\frac{1}{5}} = 0, 5^{\frac{1}{5}} . \end{matrix}$ Potensreglene sier at $(x^{5})^{\frac{1}{5}} = x^{5 \frac{1}{5}} = x^{1} = x$ . Derfor har vi at $x = 0, 5^{\frac{1}{5}} \approx 0, 87 .$ Det betyr at den årlige prosentsatsen er cirka $1 - 0, 87 = 0, 13 = 13 %$ .

Alternativ løsning

Vi kunne også ha løst likningen grafisk slik bildet under illustrerer.

Svar: Cirka $13 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Potens

potens

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på matematiske modeller, se artikkelen Å lage en matematisk modell. Se ellers artiklene Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter og Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4CV1

Tenk deg at du har et stykke papp med form som et rektangel. Rektangelet er 20 cm langt og 14 cm bredt. I hvert hjørne av rektangelet skal du klippe bort et kvadrat. De fire kvadratene skal være like store. Du skal så brette langs de stiplede linjene og lage en eske (uten lokk).

a)

Gjør beregninger, tegn av, og fyll ut tabellen nedenfor.

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Lengden av esken	Bredden av esken	Høyden av esken	Volumet av esken
4 cm				288 cm³
3 cm		8 cm
2,5 cm
x cm

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Den stiplede firkanten i midten av tegningen danner bunnen av esken, og de fire utstikkende firkantene danner sidene.

Det første vi gjør er å skrive av tabellen slik den er.

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Lengden av esken	Bredden av esken	Høyden av esken	Volumet av esken
$4 cm$				$288 {cm}^{3}$
$3 cm$		$8 cm$
$2, 5 cm$
$x cm$

Vi starter med den første linjen. Vi skal finne lengden, bredden og høyden av boksen når vi klipper bort kvadrater med sidelengde $4 cm$ i hver av hjørnene. Bunnen av esken er den stiplede firkanten markert i tegningen, og lengden av esken vil være lengden av de horisontale stiplede stripene. Vi vet at hele papprektangelet er $20 cm$ langt, og hvis vi klipper bort

$4 cm$ i hvert hjørne, står vi igjen med $20 cm - 2 \cdot 4 cm = 12 cm$ , og dette er lengden av boksen. Tilsvarende er papprektangelet $14 cm$ bredt, og etter klippingen står vi igjen med $14 cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$ . Høyden til rektangelet er sidelengden i kvadratet vi klipper bort, altså $4 cm$ . Figuren under illustrerer situasjonen. (Målene på tegningen står ikke til de faktiske proposjonene.)

Dette kan vi fylle inn i tabellen vår.

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Lengden av esken	Bredden av esken	Høyden av esken	Volumet av esken
$4 cm$	$12 cm$	$6 cm$	$4 cm$	$288 {cm}^{3}$
$3 cm$		$8 cm$
$2, 5 cm$
$x cm$

Volumet i en boks med lengde $l$ , bredde $b$ og høyde $h$ er $V = l \cdot b \cdot h$ . I vårt tilfelle er $l = 12 cm$ , $b = 6 cm$ og $h = 4 cm$ , og vi kan merke oss at $12 cm \cdot 6 cm \cdot 4 cm = 288 {cm}^{3},$ akkurat som det står i tabellen.

Vi går videre til neste rad, der vi skal klippe bort kvadrater med sidelengde $3 cm$ . Lengden av papprektangelet er fremdeles $20 cm$ , så da blir lengden av esken lik $20 cm - 2 \cdot 3 cm = 14 cm$ . Tilsvarende blir bredden $14 cm - 2 \cdot 3 cm = 8 cm$ , slik som det står i tabellen. Høyden er $3 cm$ , og da blir volumet $14 cm \cdot 8 cm \cdot 3 cm = 336 {cm}^{3} .$

På samme vis regner vi ut raden med $2, 5 cm$ . Lengden av esken blir da $20 cm - 2 \cdot 2, 5 cm = 15 cm$ , bredden blir $14 cm - 2 \cdot 2, 5 cm = 9 cm$ og høyden er $2, 5 cm$ . Volumet av esken er dermed $15 cm \cdot 9 cm \cdot 2, 5 cm = 337, 5 {cm}^{3} .$

Vi fyller dette inn i tabellen.

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Lengden av esken	Bredden av esken	Høyden av esken	Volumet av esken
$4 cm$	$12 cm$	$6 cm$	$4 cm$	$288 {cm}^{3}$
$3 cm$	$14 cm$	$8 cm$	$3 cm$	$336 {cm}^{3}$
$2, 5 cm$	$15 cm$	$9 cm$	$2, 5 cm$	$337, 5 {cm}^{3}$
$x cm$

Til slutt skal vi finne dimensjonene til eksen når vi klipper bort kvadratene med sidelengde $x cm$ . Vi gjør helt det samme som tidligere. Hvis vi klipper bort to kvadrater med sidelengde $x cm$ fra papprektangelet med lengde $20 cm$ , står vi igjen med $(20 - 2 x) cm$ , og dette er lengden til esken. Bredden blir helt tilsvarende $(14 - 2 x) cm$ , og høyden er $x cm$ . Volumet til esken blir $(20 - 2 x) cm \cdot (14 - 2 x) cm \cdot x cm = (20 - 2 x) (14 - 2 x) x {cm}^{3} .$ Hvis vi løser opp parentesene, får vi $4 x^{3} - 68 x^{2} + 280 x$ . Den ferdig utfylte tabellen er vist under.

Svar:

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Lengden av esken	Bredden av esken	Høyden av esken	Volumet av esken
$4 cm$	$12 cm$	$6 cm$	$4 cm$	$288 {cm}^{3}$
$3 cm$	$14 cm$	$8 cm$	$3 cm$	$336 {cm}^{3}$
$2, 5 cm$	$15 cm$	$9 cm$	$2, 5 cm$	$337, 5 {cm}^{3}$
$x cm$	$(20 - 2 x) cm$	$(14 - 2 x) cm$	$x cm$	$(4 x^{3} - 68 x^{2} + 280 x) {cm}^{3}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabeller

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

For flere forklaringer og eksempler på areal og volum, se artikkelen Geometri - areal og volum.

b)

Bruk graftegner til å bestemme hvor lang hver side i kvadratene som klippes bort, må være for at volumet av esken skal bli størst mulig.

Hvor stort blir volumet da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har funnet

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

V

til esken som en funksjon av

x

, som er sidelengden til

Kvadrat

En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

kvadratet

. Denne funksjonen kan vi tegne inn.

La $V (x)$ være

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

til esken i

{cm}^{3}

hvis vi klipper bort kvadrater med sidelengde

x cm

. Da fant vi ut i forrige oppgave at

V (x) = 4 x^{3} - 68 x^{2} + 280 x

. Dette kan vi tegne inn i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi vil finne ut når esken har størst volum, og det er der grafen til $V$ har et toppunkt. Vi finner

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

ved å skrive

 $Ekstremalpunkt[V]$

i «Skriv inn»-vinduet.

Her ser vi at toppunktet er $(2.7, 339.01)$ . Det betyr at vi får det største volumet når vi klipper bort kvadrater med sidelengde $2, 7 cm$ ; da vil esken få et volum på cirka $339 {cm}^{3}$ .

Svar: Det største volumet får vi når vi klipper bort kvadrater med sidelengde $2, 7 cm$ ; da vil esken få et volum på $339 {cm}^{3}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

Oppgave 7 (8 poeng) Nettkode: E-4CV6

Ved havets overflate er lufttrykket ca. 1 000 hPa (hektopascal).

I denne oppgaven skal vi bruke sitater fra ulike nettsider og se på noen modeller for hvor stort luftrykket er x kilometer over havets overflate.

a)

Forklar at vi ut fra sitat 1 kan sette opp en modell $f$ der $f (x) = 1000 \cdot {0, 88}^{x}$

Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 10$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Sitat 1 sier at lufttrykket avtar med cirka $12 %$ per kilometer. Det er

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentiell

reduksjon, og derfor kan vi sette opp en modell for lufttrykket

x

, kilometer over havet på formen

f (x) = a \cdot v^{x}

Hvis lufttrykket skal avta fra $1 000$ pHa med $12 %$ den første kilometeren over havet, vil lufttrykket én kilometer over havet være $1 000 \cdot 0, 88$ . (Det er fordi en reduksjon på $12 %$ gir en

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

på

100 % - 12 % = 88 % = 0, 88

.) Videre vil lufttrykket

2

kilometer over havet være

1 000 \cdot 0, 88^{2}

, og generelt vil lufttrykket

x

kilometer over havet være

1 000 \cdot 0, 88^{x} hPa

. Nå har vi kommet fram til modellen

f (x) = 1 000 \cdot 0, 88^{x} .

Vi tegner den opp mellom

x = 0

x = 10

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

ved å skrive

 $f=Funksjon[1000*0.88^x, 0, 10]$

i «Skriv inn»-vinduet. Vi drar til aksene slik at vi ser hele

Graf

grafen

, og vi gir

Akse

Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, som kalles symmetriakse. Eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem, for eksempel x-akse og y-akse.

aksene

passende navn. Resultatet er vist under.

Svar: Modellen $f (x) = 1 000 \cdot 0, 88^{x}$ gir mening fordi lufttrykket synker med $12 %$ per kilometer, som er eksponentiell reduksjon med vekstfaktor $0, 88$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle funksjoner

Potens

potenser

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

Matematisk modell: Betegner at man setter opp matematiske relasjoner mellom størrelser man er interessert i å analysere utviklingen av. Etter at man har laget modellen kan en benytte matematikk for å beregne hvordan fenomenet utvikler seg. Mange matematiske modeller har så kompliserte likninger at de ikke kan løses eksakt og man må da benytte numeriske metoder. Når man har funnet en matematisk løsning må svaret tolkes i forhold til fenomenet en ser på.
Dersom svaret som kom ut av modellen rimelig har man satt opp en brukbar modell? Hvis svaret er urimelig har man satt opp en lite brukbar modell.

matematiske modeller

Graf

grafer

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på potenser, se artikkelen Typer av funksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om eksponentialfunksjoer i Treningsleiren.

b)

Forklar at sitat 2 gir tabellen nedenfor. Bruk regresjon, og vis at opplysningene i tabellen gir en modell som er tilnærmet lik modell $f$ . Gi denne modellen navnet $g$ .

Tegn grafen til $g$ for $0 \leq x \leq 10$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

Høyde over havoverflaten (km)	0	5,5	11	16,5
Lufttrykk (hPa)	1000	500	250	125

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal sjekke at tabellen passer med den beskrevne halveringen.

Ved havoverflaten er trykket $1 000$ hPa, og i følge sitatet skal trykket divideres med $2$ for hver $5, 5 km$ vi beveger oss oppover. Det betyr at lufttrykket skal være $\frac{1 000}{2} = 500$ hPa når vi er $5, 5 km$ over havet, $\frac{500}{2} = 250$ hPa når vi er $5, 5 km + 5, 5 km = 11 km$ over havet, og $\frac{250}{2} = 125$ hPa når vi er $11 km + 5, 5 km = 16, 5 km$ over havet. Dette passer med tabellen.

Videre skal vi finne en modell for lufttrykket ved å bruke

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

. Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Da trykker vi på «Vis»-menyen og velger «Regneark»; deretter fyller vi inn informasjonen fra tabellen.

Vi markerer tabellen, høyreklikker og velger «Tabell med punkt» i «Lag»-menyen. Listen blir hetende Liste1. Nå skal vi lage en ny modell ved regresjon, og da må vi velge hvilken type funksjon vi skal gjøre regresjonen med. At lufttrykket halveres per $5, 5 km$ antyder at en eksponentiell modell vil være passende. Derfor skriver vi

 $g = RegEksp[Liste1]$

i «Skriv inn»-vinduet. Resultatet er vist under.

Hvis vi går på Innstillinger og velger $3$ desimaler under «Avrunding», så ser vi at den nye modellen $g$ er cirka $g (x) = 1 000 \cdot 0, 882^{x},$ altså nesten likt modellen fra forrige oppgave. Vi kan også se dette ved å tegne inn begge modellen i samme vindu, som vist under.

Svar: Tabellen passer med halvveringene beskrevet i sitatet. Den nye modellen er gitt ved (cirka) $g (x) = 1 000 \cdot 0, 882^{x}$ , som er nesten likt modellen $f$ fra forrige oppgave.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle funksjoner

Potens

potenser

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematiske modeller

Graf

grafer

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

For flere forklaringer og eksempler på regresjon, se artikkelen Regresjon: Hva betyr det at en kurve "passer til dataene"?.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

c)

Bruk sitat 3 til å bestemme en modell $h$ . Tegn grafen til $h$ for $0 \leq x \leq 10$ i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven.

Kommenter siste setning i sitat 3.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Sitat $3$ sier at lufttrykket vil avta

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineært

Sitat $3$ sier at lufttrykket vil avta like fort uansett hvor høyt oppe man er. Det betyr at lufttrykket er en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

av høyden over havet. Derfor er modellen

h

på formen

h (x) = a x + b

. Vi vet at lufttrykket starter på

1 000

hPa; derfor er

b = 1 000

. Videre skulle lufttrykket avta med

1

hPa per

8

meter. Dette vil vi regne om til kilometer, fordi modellen skal vise lufttrykk der vi er

x

kilometer over havet. Vi får at lufttrykket minker med

\frac{1 000}{8} = 125

hPa per kilometer. Derfor er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

a = - 125

, så modellen vår er

h (x) = - 125 x + 1 000 .

Vi tegner dette inn i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen fra deloppgave b).

Den siste setningen i sitat 3 sier at modellen $h$ bare er gyldig inntil noen hundre meter over havet. Det kan vi se på grafene. Der $x$ er liten, så er $h$ ganske lik $f$ og $g$ , men $h$ minker usannsynlig fort i forhold til de andre når $x$ blir større. Etter hvert gir $h$ negativt lufttrykk, som ikke er mulig.

Svar: Modellen er $h (x) = - 125 x + 1 000$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematiske modeller

For flere forklaringer og eksempler på funksjoner, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

d)

Bruk hver av de tre modellene $f$ , $g$ og $h$ til å bestemme lufttrykket 8 848 meter over havoverflaten. Sammenlikn svarene du får, med sitat 4, og kommenter.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi kan skrive $8 848 m$ som $8, 848 km$ . Dermed skal vi evaluere de forskjellige funksjonene for $x = 8, 848$ , altså finne

Skjæringspunkt

skjæringspunkter

Vi finner funksjonsverdiene $f (8, 848)$ , $g (8, 848)$ og $h (8, 848)$ . Det kan vi gjøre enkelt ved å skrive det direkte inn i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Eventuelt kan vi se på

Skjæringspunkt

skjæringspunktene

der de tre

Graf

grafene

krysser linjen

x = 8, 848

Her ser vi at $f (8, 848) \approx 323$ , $g (8, 848) \approx 328$ og $h (8, 848) \approx - 106$ . Ved Mount Everest skal lufttrykket være cirka én tredjedel av $1 000$ hPa, altså cirka $333$ hPa. De to

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle

modellene var ganske nærme, mens den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære

modellen viser en usannsynlig verdi. Sitat

3

sier at den lineære modellen kun skal benyttes på steder som er inntil noen hundre meter over havet, og da er det tydelig at Mount Everest er utenfor gyldighetsområdet.

Svar: Vi har $f (8, 848) \approx 323$ , $g (8, 848) \approx 328$ og $h (8, 848) \approx - 106$ . Det egentlige lufttrykket skal være rundt $333$ hPa. Sitat $3$ sier at den lineære modellen kun skal benyttes på steder som er inntil noen hundre meter over havet, og da gir $h$ -verdien mening.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle funksjoner

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Graf

grafer

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematiske modeller

For flere forklaringer og eksempler på matematiske modeller, se artikkelen Hva er matematisk modellering?.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

MAT1015 2016 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4CSZ

Løsningsforslag

Variasjonsbredde

Gjennomsnitt

Median

Variasjonsbredde

Variasjonsbredde

Gjennomsnitt

Median

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4CT2

Løsningsforslag

Standardform

Standardform

Standardform

Potens

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CT4

a)

Løsningsforslag a)

Prosent

Prosent

b)

Løsningsforslag b)

Prosent

Prosent

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4CT7

Løsningsforslag

Merverdiavgift

Ligning

Merverdiavgift

Alternativ løsning

Lineære ligninger

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4CTD

a)

Løsningsforslag a)

Histogram

Areal

Histogram

Koordinatsystem

y-akse

Histogram

Statistikk

Verditabell

b)

Løsningsforslag b)

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt

Statistikk

c)

Løsningsforslag c)

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt

Median

Median

Statistikk

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4CTH

a)

Løsningsforslag a)

Graf

x-akse

y-akse

Graf

Graf

Koordinatsystem

Lineære funksjoner

b)

Løsningsforslag b)

Konstant

Stigningstall

Graf

Lineære funksjoner

c)

Løsningsforslag c)

Graf

Koordinat

Skjæringspunkt