Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2015 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 13 oppgaver. Del 2 har 5 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BGE

Regn ut og skriv svaret på standardform

$\frac{7, 5 \cdot 10^{15}}{0, 003}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skriver om

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

til et

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

og bruker potensregler for å regne ut.

Vi skriver først nevneren om til et tall på standardform:

$0, 003 = 3 \cdot 10^{- 3}$

Det gir

$\begin{matrix} \frac{7, 5 \cdot 10^{15}}{0, 003} = \frac{7, 5 \cdot 10^{15}}{3 \cdot 10^{- 3}} \end{matrix} = \frac{7, 5}{3} \cdot \frac{10^{15}}{10^{- 3}} = 2, 5 \cdot \frac{10^{15}}{10^{- 3}}$

For å forenkle brøken kan vi potensreglene

$\frac{1}{a^{m}} {= a}^{- m}$ , $a < 0$ , og

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Da skriver vi at

$2, 5 \cdot \frac{10^{15}}{10^{- 3}} = 2, 5 \cdot 10^{15} \cdot 10^{3} = 2, 5 \cdot 10^{15 + 3} = 2, 5 \cdot 10^{18}$

Fordi svaret er på formen $a \cdot 10^{n}$ der $a = 2, 5 \in [1, 10)$ og $n \in ℕ$ , er svaret skrevet på standardform.

$\begin{matrix} \frac{7, 5 \cdot 10^{15}}{0, 003} = 2, 5 \cdot 10^{18} \end{matrix}$

Svar: $2, 5 \cdot 10^{18}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man skriver tall på standardform finner du i artikkelen Tall på standardform.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Visste du at?

Vi bruker tall på standardform for å lettere uttrykke veldig store og veldig små tall. Et eksempel er Placks konstant $h$ , som er forholdet mellom energien og frekvensen til lys. Den har verdien $h = 6.626 \cdot 10^{- 34} J s$ . Et annet tall er det ekstremt store stallet ”googol”, som har verdien $10^{100}$ .

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BGG

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} x + 6 y = 1 \\ 2 x + 4 y = - 6 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er et likningssystem med to likninger og to ukjente. Vi kan enten bruke addisjonsmetoden eller substitusjonsmetoden for å løse det.

Vi kan løse likningssystemet enten ved å bruke substitisjonsmetoden, som også er kalt innsetttingsmetoden, eller ved addisjonsmetoden. Under "Alternativ løsning" løser vi den ved addisjonsmetoden.

Vi begynner med å nummerere likningene:

$\begin{matrix} x + 6 y & = & 1 & (1) \\ 2 x + 4 y & = & - 6 & (2) \end{matrix}$

For å løse likningssystemet ved substitusjonsmetoden bruker vi likning $(1)$ til å finne et uttrykk for $x$ :

$\begin{matrix} x + 6 y & = & 1 \\ x & = & 1 - 6 y \end{matrix}$

Nå kan vi substituere for $x = 1 - 6 y$ i likning $(2)$ slik at vi får en likning med kun én ukjent:

$\begin{matrix} 2 x + 4 y & = & - 6 \\ 2 (1 - 6 y) + 4 y & = & - 6 \\ 2 - 12 y + 4 y & = & - 6 \\ - 8 y & = & - 8 \\ y & = & 1 \end{matrix}$

Nå kan vi finne $x$ ved å sette inn for $y = 1$ i likning $(1)$ :

$\begin{matrix} x + 6 \cdot 1 & = & 1 \\ x & = & 1 - 6 \\ x & = & - 5 \end{matrix}$

Svar: $x = - 5 og y = 1$

Alternativ løsning

Vi nummererer likningene:

$\begin{matrix} x + 6 y & = 1 & (1) \\ 2 x + 4 y & = - 6 & (2) \end{matrix}$

Addisjonsmetoden går ut på å addere hver av sidene i likningen, slik at den ene ukjente faller bort. Ofte må vi først mutliplisere med et passende tall i en eller fler av likningene.

Vi multipliserer likning $(1)$ med tallet $(- 2)$ . Da får vi likningssystemet:

$\begin{matrix} - 2 x - 12 y & = - 2 & (1 *) \\ 2 x + 4 y & = - 6 & (2) \end{matrix}$

Nå adderer vi likning $(1 *)$ og $(2)$ slik at $x$ faller bort:

$\begin{matrix} - 2 x + 2 x - 12 y + 4 y & = & - 2 - 6 \\ - 8 y & = & - 8 \\ y & = & 1 \end{matrix}$

Vi har regnet ut at $y = 1$ . Satt inn i $(1)$ gir dette:

$\begin{matrix} x + 6 \cdot 1 & = & 1 \\ x & = & 1 - 6 \\ x & = & - 5 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

Flere forklaringer og eksempler finner du i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Visste du at?

Ved å skrive om begge likningene som et uttrykk for $y$ , får vi at $\begin{matrix} y & = - \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \\ y & = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} . \end{matrix}$ Dette kan vi tenke på som likningen til to rette linjer. Hvis vi tegner disse inn i samme koordinatsystem, finne vi løsningen til likningsystemet, som er skjæringspunktet mellom disse to grafene.

Skjæringspunktet $(- 5, 1)$ mellom de to linjene er da nøyaktig det settet av verdier $x$ og $y$ som er løsningen av likningsystemet.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BGI

Løs ulikheten

$x^{2} - 3 x - 10 > 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Ulikheten kan løses som en andregradslikning. Vi bruker

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

og lager et

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Vi bruker abc-formelen til å finne nullpunktene til $x^{2} - 3 x - 10$ . Altså ved å løse likningen $x_{}^{2} - 3 x - 10 = 0$ :

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

Da får vi de to løsningene: $x_{1} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \lor x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = - 2$

Vi kan derfor skrive $x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)$ .

Nå tegner vi et fortegnsskjema:

Den første faktoren, $x - 5$ , er negativ for $x < 5$

og den andre faktoren, $x + 2$ , er negativ for $x < - 2$ :

Vi setter fortegnsskjemaene for $x - 5$ og $x + 2$ sammen, og finner fortegnskjema for produktet:

Svar: $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ for $x \in ⟨ \leftarrow, - 2 ⟩ \cup ⟨ 5, \to ⟩$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om ulikheter.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser ulikheter finner du i lynkurset Ulikheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ulikheter av andre grad i Treningsleiren.

Visste du at?

Vi kunne også tenkt oss frem til løsningen. Annengradslikningen $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ har løsninger $x = - 2$ og $x = 5$ . Grafen til enhver annengradslikning er en parabel og i de to nullpunktene skifter funksjonene $x^{2} - 3 x - 10$ fortegn. Ved å sette inn store postive eller negative tall, vil funksjonsuttrykket $x^{2} - 3 x - 10$ forbli positivt og stort. Det betyr at det eneste stedet funksjonen har negativt fortegn, må være mellom de to nullpunktene. Det betyr at $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ hvis, og bare hvis, $x > 5$ eller $x < - 2$ .

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4BGK

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

a)

$4^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{0} \cdot 2^{- 1} \cdot \sqrt[4]{16}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser at hver faktor er en

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potens

2

. Vi kan skrive enkeltfaktorene som potenser av to ved å bruke potensregler, før vi til slutt regner ut produktet.

I denne oppgaven vil vi bruke følgende definisjoner og potensregler:

1) ${(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m} = a^{m \cdot n}, a \in ℝ, m, n \in ℕ$

2) $a^{0} = 1 for alle a \in ℝ, a \neq 0$

3) $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}}$ for alle $a \in ℝ, a \neq 0.$

4) $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$ for alle $a \in ℝ$ slik at $\sqrt[m]{a}$ er definert.

Vi tar for oss faktor for faktor og skriver om til toerpoens.

I den første faktoren ser vi at $4 = 2^{2}$ og bruker 1) til å skrive om

$4^{\frac{1}{2}} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{1} = 2$ .

Vi bruker 2) til å skrive om den andre faktoren til

$8^{0} = 1$ .

Til den tredje faktoren kan vi bruke 3) til å skrive om

$2^{- 1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$ .

I den siste faktoren merker vi oss at $16 = 2^{4}$ og bruker 4) og 1) til å skrive om

$\sqrt[4]{16} = {(2^{4})}^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{1} = 2$ .

Vi kan nå sette inn de forenklede uttrykkene og regne ut. Da får vi at uttrykket er lik

$\begin{matrix} 4^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{0} \cdot 2^{- 1} \cdot \sqrt[4]{16} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 2 \end{matrix}$ .

Svar: 2

Mer om

Denne oppgaven handler om

Potens

potenser

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Rask gjennomgang av regneregler i lynkurset Potenser og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

b)

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} + \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi bruker reglene for brøker, potenser og røtter til å forenkle de enkelte faktorene og leddene før vi regner ut.

Vi husker at $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} og \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Vi kan skrive

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[]{3 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2} = 3 \cdot 2 = 6$

$\begin{matrix} \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3 \end{matrix}$

Da får vi at:

$\begin{matrix} \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} + \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = 6 + 3 = 9 \end{matrix}$

Svar: $9$

Mer om

Denne oppgaven er om

Kvadratrot

Kvadratrot har symbolet $\sqrt{}$ .

Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.

Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi $4 \cdot 4 = 16$ . Det skrives $\sqrt{16} = 4$ .

kvadratrot

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner ut kvadratrøtter finner du i artikkelen Kvadratrøtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

Visste du at?

De vanlige regnereglene er ekstremt nyttige, men man må holde tungen rett i munnen når man bruker dem. For eksempel er følgende ingen bevis for at $1 = - 1$

$\begin{matrix} 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(- 1) \cdot (- 1)} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = {\sqrt{- 1}}^{2} = - 1, \end{matrix}$

Kan du finne feilen her?

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4SBN

Løs likningen

$\lg (x^{2} - 0, 9) = - 1$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er en logaritmelikning. Her kan vi bruke at logaritmen til et positivt tall $x$ oppfyller den egenskapen at $10^{\lg x} = x$ .

Vi vil bruke den egenskapen at $10^{\lg x} = x$ , og opphøyer derfor 10 i begge sider;

$\lg (x^{2} - 0, 9) = - 1$

$10^{\lg (x^{2} - 0, 9)} = 10^{- 1}$

Siden $10^{- 1} = 0, 1$ følger det at

$x^{2} - 0, 9 = 0, 1$

$x^{2} = 1$

$x = \pm 1$

som er løsninger av likningen.

Svar: $x = 1 eller x = - 1$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Du kan lese mer om logaritmer i artikkelen Den Briggske logaritmen.

For å øve mer, se oppgavesettet om logaritmer i Treningsleiren.

Oppgave 6 (1 poeng) Nettkode: E-4BGQ

Bestem $b$ slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat.

$x^{2} + b x + 16$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Fullstendig kvadrat

Et kvadrat (ofte kalt et fullstendig kvadrat) et et uttrykk som er opphøyd i 2, for eksempel $15^{2}$
${(x + 2)}^{2}$ .

fullstendig kvadrat

er noe som kan skrives på formen

(x + a)^{2}

. Vi kan bruke

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

første kvadratsetning

til å bestemme

b

Ifølge

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

første kvadratsetning

er:

$\begin{matrix} (x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} \end{matrix}$

for alle $a$ .

Ser vi på uttrykket vårt har vi at $2 a x = b x$ , altså må vi ha $a = \frac{b}{2}$ .

Setter vi inn for $a$ i likningen over får vi at

$\begin{matrix} {(x + \frac{b}{2})}^{2} = x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} \end{matrix}$

Det betyr at:

${(\frac{b}{2})}^{2} = 16$

$\frac{b}{2} = \pm 4$

$b = \pm 8$

Vi kan sjekke om dette stemmer nå ved å regne ut

${(x + \frac{8}{2})}^{2} = {(x + 4)}^{2} = x^{2} + 8 x + 16$

som betyr at når $b = 8$ kan uttrykket skrives på formen ${(x + 4)}^{2}$ .

Svar: $\begin{matrix} b = - 8 og b = 8 \end{matrix}$

Alternavtiv løsning

Hvis et polynom av grad to bare har ett

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

, har det en

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

gitt ved

(x - a)^{2}

. Det holder altså å finne de verdiene

b

må ha for at

x^{2} + b x + 16 = 0

skal ha nøyaktig én løsning. Fra

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

har vi at løsningene til denne likningen er gitt ved

$\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot 16}}{2} . \end{matrix}$

Den eneste måten å få dette til bare å gi én løsning er ved å bli kvitt $\pm$ -leddet. Med andre ord må vi ha

$\begin{matrix} \sqrt{b^{2} - 4 \cdot 16} = 0, \end{matrix}$

som betyr at $\begin{matrix} b^{2} = 4 \cdot 16 . \end{matrix}$ For at $x^{2} + b x + 16$ skal være et fullstendig kvadrat må altså $\begin{matrix} b = \pm \sqrt{4 \cdot 16} = \pm 8 . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

første kvadratsetning

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man fullfører kvadratet finner du i artikkelen Å fullføre kvadratet.

For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratsetninger i Treningsleiren.

Visste du at?

Det finnes ulike måter å bestemme $b$ på. Et alternativ er for eksempel å tenke på de tre leddene $x^{2}$ og $b x$ og $4^{2}$ som arealer til to kvadrater med sidelengder $x$ og $4$ og ett rektangel med bredde $b$ og høyde $x$ . Hvis vi klipper rektangelet langs midten av bredden, får vi to rektangler med høyde $x$ og bredde $\frac{1}{2} b$ som vi kan legge langs to av sidene. Da vil du se at sidelengden $\frac{1}{2} b$ må være lik sidelengden i kvadratet $4^{2}$ . Det betyr at $b = 8$ .

En annen, og kanskje enda finurlig løsning, er ved å vise at hvis polynomet kan skrives som et fullstendig kvadrat, så må den laveste verdien være nullpunktet til funksjonen. Ved å finne at det laveste punktet er i $x = - \frac{1}{2} b$ og kreve at dette er et nullpunkt, vil du finne at $b = \pm 8$ .

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BGS

Skriv så enkelt som mulig

$2 x (x - 2) - (x - 2) (2 x + 1)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Ved å løse opp parentesene og trekke sammen leddene som innholder like potenser av $x$ , kan vi forenkle uttrykket.

Vi vil løse opp parentesene og deretter trekke sammen de leddene som er samme potens av $x$ .

Ved å følge vanlige regneregler for multiplikasjon finner vi at

$2 x (x - 2) - (x - 2) (2 x + 1)$

$= 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - (x - 2) \cdot 2 x - (x - 2) \cdot 1$

$= 2 x^{2} - 4 x - x \cdot 2 x + 4 x - x + 2$

${= 2 x}^{2} - {4 x - 2 x}^{2} + 4 x - x + 2$

$= 2 - x$

Alternativ løsning

Siden begge leddene innholder $(x - 2)$ kan dette trekkes utenfor. Da finner vi at

$\begin{matrix} 2 x (x - 2) - (x - 2) (2 x + 1) \\ = (x - 2) (2 x - (2 x + 1)) \\ = (x - 2) (2 x - 2 x - 1) \\ = - (x - 2) = 2 - x . \end{matrix}$

$\begin{matrix} 2 x (x - 2) - (x - 2) (2 x + 1) = 2 - x . \end{matrix}$

Svar: $2 - x$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multiplikasjon

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser opp parenteser finner du i artikkelen Fortegn foran parenteser.

For å øve mer, se oppgavesettet om parantesuttrykk i Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BGU

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{x^{2} - 12 x + 36}{2 x^{2} - 72}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal forkorte en brøk av algebraiske uttrykk. Da må vi prøve å finne felles faktorer i teller og nevner. Her kan vi få bruk for

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

kvadratsetningene

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

Først ønsker vi å faktorisere telleren og nevneren. Dette kan vi gjøre med kvadratsetningene. Siden dette er andregradsuttrykk, kan vi også bruke

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Vi ser først på telleren, og her kan vi bruke

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

andre kvadratsetning

for å faktorisere.

$x^{2} - 12 x + 36 = x^{2} - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^{2} = (x - 6)^{2} = (x - 6) (x - 6)$

Videre må vi faktorisere nevneren. Vi kan først faktorisere ut $2$ som er felles faktor.

$2 x^{2} - 72 = 2 (x^{2} - 36)$

Nå kan vi legge merke til at $36 = 6^{2}$ og vi kan bruke

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

for å faktorisere videre:

$2 (x^{2} - 36) = 2 (x^{2} - 6^{2}) = 2 (x - 6) (x + 6)$

Nå har vi faktorisert teller og nevner, så da kan vi forkorte felles faktorer. Det gir oss:

$\frac{x^{2} - 12 x + 36}{2 x^{2} - 72} = \frac{(x - 6) (x - 6)}{2 (x + 6) (x - 6)} = \frac{x - 6}{2 (x + 6)}$

Svar: $\frac{x - 6}{2 (x + 6)}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

For å lære mer om hvordan man faktoriserer og løser andregradslikninger kan du lese lynkurset Andregradslikninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om faktorisering i Treningsleiren.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4BH1

En rett linje går gjennom punktene $(- 1, 2)$ og $(3, 4)$ .

Bestem likningen for den rette linjen ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

En rett linje kan skrives som $y = a x + b$ . Ved hjelp av de gitte punktene finner vi

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

a

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

b

Linjen går gjennom punktene $x = - 1, y = 2$ og $x = 3, y = 4$ .

Begge disse punktene vil tilfredstille samme likning på formen $y = a x + b$ .

Vi setter inn disse verdiene i uttrykket for linja

Setter vi inn $x = - 1, y = 2$ får vi:

$2 = (- 1) \cdot a + b$

Setter vi inn $x = 3, y = 4$ får vi:

$4 = 3 \cdot a + b$

Sammen gir disse to uttrykkene oss et likningssett med to ukjente.

$\begin{matrix} - a + b & = & 2 & (1) \\ 3 a + b & = & 4 & (2) \end{matrix}$

Vi løser likningsettet med substitusjon. Likning $(1)$ gir oss $b = a + 2$ . Vi setter inn $b = a + 2$ i likning $(2)$ .

$\begin{matrix} 3 a + b & = & 4 \\ 3 a + a + 2 & = & 4 \\ 4 a & = & 2 \\ a & = & \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vi setter inn $a = \frac{1}{2}$ i likning $(1)$ for å finne $b$ . (Vi får det samme svaret om vi bruker likning $(2)$ ).

$\begin{matrix} - a + b & = & 2 \\ - \frac{1}{2} + b & = & 2 \\ b & = & 2 + \frac{1}{2} \\ b & = & \frac{5}{2} \end{matrix}$

Linjen kan skrives som

$y = a x + b = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ .

Alternativ løsning

Vi kan også bruke ettpunktsformelen, som sier at når vi kjenner stigningstallet $a$ til en linje og et punkt $(x_{1}, y_{1})$ kan vi finne likningen til linja ved formelen

$y - y_{1} = a (x - x_{1})$

Stigningstallet til linja finner vi ved å se på forholdet mellom endring i $y$ -verdi og endring i $x$ -verdi. Det kan vi finne ved

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{4 - 2}{3 - (- 1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Nå kan vi bruke ettpunktsformelen, og da er det vilkårlig hvilket av de to punktene vi bruker. Vi velger å bruke $(- 1, 2)$ for å bestemme likningen til linja.

Da får vi

$\begin{matrix} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 2 & = & \frac{1}{2} (x - (- 1)) \\ y & = & \frac{1}{2} (x + 1) + 2 \\ y & = & \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 2 \\ y & = & \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \end{matrix}$

Svar: $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Grafisk løsninger av likninger og Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 10 (5 poeng) Nettkode: E-4BIR

$Δ A B C$ og $Δ D E F$ er gitt nedenfor.

a)

Bestem eksakte verdier for $A B$ og $D F$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her ser vi to

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

og vi kjenner to av sidelengdene i begge trekantene. Da kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

til å finne

A B og D F

Siden $△ A B C$ er en rettvinklet trekant med hypotenus $A C$ følger det fra Pytagoras læresetning at:

$\begin{matrix} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}, \end{matrix}$

og siden $A C = 2$ og $B C = 1$ må vi ha

$\begin{matrix} 2^{2} = A B^{2} + 1^{2}, \end{matrix}$

som kan skrives:

$\begin{matrix} A B^{2} = 2^{2} - 1^{2} = 3 . \end{matrix}$

Altså har vi funnet at:

$\begin{matrix} A B = \sqrt{3} . \end{matrix}$

Merk at vi har latt være å ta med den negativ løsningen $- \sqrt{3}$ , siden denne ikke gir mening når vi leter etter en sidelengde.

$△ D E F$ er også en rettvinklet trekant med hypotenus $D F$ . Da følger det at:

${D F}^{2} = {D E}^{2} + {E F}^{2}$

Siden $D E = E F = 1$ er:

$\begin{matrix} D F^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 . \end{matrix}$

Det betyr at $\begin{matrix} D F = \sqrt{2} . \end{matrix}$

Svar: $A B = \sqrt{3}$ og $D F = \sqrt{2}$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Pytagoras læresetning

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man kan bruke Pytagoras setning for å finne sidelengder finner du i artikkelen Pytagoras setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

Visste du at?

Pytagoras læresetning er en av de mest kjente resultatene i matematikkfaget. I læresetningen $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ tenker vi på tallene $a, b$ og $c$ som sidelengdene i en rettvinklet trekant og dette kan vi anvende på andre uttrykk som er på formen til læresetningen.

Et kjent resultat fra fysikken er for eksempel $E = m c^{2}$ , som sier at produktet av et objekts masse, $m$ , og kvadratet av lyshastigheten, $c^{2}$ , er lik objektets energi, $E$ . Denne likningen er bare sann for stillestående objekter. Hvis objektet beveger seg, er energien gitt ved $E^{2} = (m c^{2})^{2} + (p c)^{2}$ , der $p$ er bevegelsesmengden til objektet. Siden dette likner på Pytagoras læresetning, kan vi visualisere dette som en rettvinklet trekant med hypotenus $E$ og kateter $m c^{2}$ og $p c$ .

b)

Skriv av tabellen nedenfor. Bruk $Δ A B C$ og $Δ D E F$ , gjør beregninger og fyll ut det som mangler i tabellen. Bruk eksakte verdier.

$u$	$\sin u$	$\cos u$	$\tan u$
$30^{\circ}$		$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$45^{\circ}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60^{\circ}$			$\sqrt{3}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklede trekanter

vet vi at

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

til en vinkel kan uttrykkes som forholdet mellom

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katetene

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

. Vi kan bruke disse sammenhengene til å fylle inn tabellen.

For å fylle inn i tabellen bruker vi at

$\sin u = \frac{motstående katet}{hypotenus},$

$\cos u = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$ og

$\tan u = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} .$

Vi begynner med å fylle inn tabellen i raden for $u = 30^{\circ}$ . Da kan vi se på $△ A B C$ , og $∠ B A C$ . Da er $B C = 1$ motstående kateten og $A B = \sqrt{3}$ hosliggende kateten. Siden hypotenusen $A C = 2$ følger det at

$\begin{matrix} \sin 30^{\circ} & = & \frac{B C}{A C} & = & \frac{1}{2} \\ \cos 30^{\circ} & = & \frac{A B}{A C} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 30^{\circ} & = & \frac{B C}{A B} & = & \frac{1}{\sqrt{3}} & = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}$

På tilsvarende måte kan vi se på $∠ B C A = 60^{\circ}$ , med $A B$ og $B C$ henholdsvis som motstående og hosliggende katet. Dermed får vi:

$\begin{matrix} \sin 60^{\circ} & = & \frac{A B}{A C} & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60^{\circ} & = & \frac{B C}{A C} & = & \frac{1}{2} \\ \tan 60^{\circ} & = & \frac{A B}{B C} & = & \sqrt{3} \end{matrix}$

For å finne verdiene for $u = 45^{\circ}$ ser vi på $△ D E F$ , og $∠ E D F$ , med hypotenus $E F = \sqrt{2}$ og $E F og D E$ henholdsvis som motstående og hosliggende katet.

Da får vi

$\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & = & \frac{D E}{D F} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} & = & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan 45^{\circ} & = & \frac{E F}{D E} & = & \frac{1}{1} & = & 1 \end{matrix}$

Svar: Den utfylte tabellen blir:

$u$	$\sin u$	$\cos u$	$\tan u$
$30^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45^{\circ}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Du kan lese mer om hvordan man regner med sinus, cosinus og tangens i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om lengdeberegninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleiren.

Visste du at?

Ved å studere tabellen vi har fylt ut i denne oppgaven vil vi kanskje oppdage et mønster. Vi ser at $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$ , $\sin 30^{\circ} = \cos 60^{\circ}$ og $\sin 60^{\circ} = \cos 30^{\circ}$ . Dette er fordi motstående katet til en vinkel, er den hosliggende kateten til den andre vinkelen. Hvis $v$ er en vinkel mellom $0^{\circ}$ og $90^{\circ}$ har vi altså funnet formlene

$\sin (90 ° - v) = \cos v$ og $\cos (90 ° - v) = \sin v$

Dette betyr at vi også har funnet at

$\begin{matrix} \tan (90^{\circ} - v) = \frac{1}{\tan v} \end{matrix}$

Oppgave 11 (5 poeng) Nettkode: E-4BJD

Tenk deg at du har ni flasker med smoothie i kjøleskapet, to «Surf», tre «Jump» og fire

«Catch». Du tar tilfeldig to flasker.

a)

Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en «Jump»-smoothie.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

og antall mulige utfall.

Vi skal finne sannsynligheten for at to flasker vi trekker ikke er en «Jump»-smoothie. Vi kan gjøre dette på flere måter.

I kjøleskapet er det $3$ «Jump»-smoothie av $9$ flasker. Dette betyr at antall gunstige utfall, altså antall flasker som ikke er «Jump»-smoothie er lik $6$

Sannsynligheten for at den første flasken en trekker ikke er «Jump»-smoothie, $\overline{J_{1}}$ , er lik

$P (\overline{J_{1}}) = \frac{6}{9}$

Når vi skal ta ut den andre flasken, er det igjen $5$ gunstige utfall og totalt $8$ flasker, og derfor er sannsynligheten for å ikke trekke en «Jump»-smoothie, $\overline{J_{2}}$ , lik

$P ({\overline{J}}_{2} | \overline{J_{1}}) = \frac{5}{8}$

Sannsynligheten for ikke å ta en «Jump»-smoothie når vi tar to flasker ut av kjøleskapet er lik

$P (Ikke Jump) = P ({\overline{J}}_{1}) \cdot P ({\overline{J}}_{2} | {\overline{J}}_{1}) = \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$

Alternativ løsning

Det er nok å finne hvor mange måter vi kan velge to flasker slik at ingen av dem er en «Jump»-smoothie.

Den første flasken vi velger kan ikke være en «Jump»-smoothie. Det betyr at den første flasken må være en av de seks andre. For hver av disse seks mulige valgene av flasker skal vi velge enda en flaske som ikke er en «Jump»-smoothie. Siden det da er fem gunstige flasker igjen må antall måter å velge to flasker uten å velge en «Jump»-smoothie være gitt ved $\begin{matrix} Antall gunstige = 6 \cdot 5 = 30 . \end{matrix}$

For å finne antall mulige valg av to flasker ser vi at den første flasken må velges blant de ni flaskene. Altså er det ni måter å velge den første flasken på. For hver av disse ni mulighetene kan den andre flasken velges blant de åtte resterende flaskene. Det betyr at antall mulige er gitt ved $\begin{matrix} Antall mulige = 9 \cdot 8 = 72 . \end{matrix}$ Sannsynligheten for ikke å ta en «Jump»-smoothie er altså

$\begin{matrix} P (ikke Jump) = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} \end{matrix}$

Svar: Sannsynligheten for at vi ikke tar en "Jump"-smoothie er $\frac{5}{12}$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med sannsynlighet i lynkurset Sannsynlighet.

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at du tar én «Surf»- og én «Catch»-smoothie.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Det er to måter vi kan trekke én "Surf"- og én "Catch"-smoothie. Fra addisjonssetningen vet vi at vi kan finne sannsynligheten for hver av dem og addere dem sammen.

Vi har to mulige måter å trekke én "Surf"- og én "Catch"-smoothie. Vi kan enten først ta en "Surf" og deretter en "Catch", (SC), eller først en "Catch" og deretter en "Surf", (CS).

Sannsynligheten for å velge én av de to «Surf»-flaskene blant de ni flaskene er gitt som

$P (S) = \frac{2}{9}$ .

Sannsynligheten for å velge en flaske av typen «Catch» der fire av de resterende åtte flaskene er «Catch» er lik

$P (C) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ,

så sannsynligheten for å trekke først en "Surf" og deretter en "Catch" er

$P (S C) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9}$

Tilsvarende får vi at sannsynligheten for å trekke en "Catch" og en "Surf" er

$P (C S) = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{1}{9}$

Vi kan se at rekkefølgen ikke har noe å si for sannsynligheten for hver av hendelsene.

Sannsynligheten for å velge én «Surf» og én «Catch» er da gitt ved

$P (S C) \cdot P (C S) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

Svar: Sannsynligheten for å ta en "Surf" og em "Catch" er $\frac{2}{9}$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.

c)

Bestem sannsynligheten for at du tar to like flasker.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Det er tre måter å velge to like flasker på: enten to «Jump», to «Catch» eller to «Surf». Vi bruker

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

Sannsynligheten for å velge to «Jump» er gitt ved

$\begin{matrix} P (J J) = \frac{3}{9} \end{matrix} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72}$

siden den første flasken velges fra totalt ni flasker der tre er gunstige, og den andre flasken da velges fra åtte flasker der to er gunstige. Helt tilsvarende finner vi at sannsynligheten for å velge to «Catch» er

$\begin{matrix} P (C C) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} \end{matrix}$

Sannsynligheten for å velge to «Surf» er gitt ved

$\begin{matrix} P (S S) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72} \end{matrix}$

Hvis vi bare ønsker sannsynligheten for å velge to like flasker må dette være summen av de tre tilfellene.

Det gir at sannsynligheten for to like er

$P (J J) + P (C C) + P (S S) = \frac{6}{72} + \frac{12}{72} + \frac{2}{72} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$

Svar: Sannsynligheten for to like flasker er $\frac{5}{18}$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Addisjonssetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

Oppgave 12 (6 poeng) Nettkode: E-4BJH

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$

a)

Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og koordinataksene ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Alle punkt på $x$ -aksen har $y = 0$ , og for alle punkt på $y$ -aksen er $x = 0$ .

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

Skjæringspunktene

mellom

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

til

f

og koordinataksene finner vi ved å se på

f (x) = 0

for skjæring med

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

f (0) = y

for skjæring med

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

Alle punkter $(x, y)$ til funksjonen $f$ vil ha koordinater $(x, f (x))$ og alle punkt som ligger på $x$ -aksen vil ha andrekoordinat lik $0$ , altså $(x, 0)$ , så funksjonen $f$ skjærer $x$ -aksen i den $x$ -verdien som gjør slik at vi har

$\begin{matrix} f (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6 = 0 . \end{matrix}$

Ifølge

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

x

-verdiene som tilfredsstiller denne likningen gitt ved

$\begin{matrix} x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (- 2) 6}}{2 (- 2)} \end{matrix}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 4}$

$= \frac{- 4 \pm 8}{- 4}$

som betyr at $x_{1} = \frac{- 4 - 8}{- 4} = \frac{- 12}{- 4} = 3$ og $x_{2} = \frac{- 4 + 8}{- 4} = \frac{4}{- 4} = - 1$ .

Altså skjærer grafen til $f$ $x$ -aksen i punktene

$\begin{matrix} (- 1, 0) og (3, 0) . \end{matrix}$

Siden $y$ -aksen er alle punkter med $x = 0$ , må grafen til $f$ skjære $y$ -aksen i punktet $(0, f (0))$ . Ettersom

$\begin{matrix} f (0) = - 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 6 = 6, \end{matrix}$

skjærer grafen til $f$ $y$ -aksen i punktet

$\begin{matrix} (0, 6) . \end{matrix}$

Svar: Skjæringspunkter med x-aksen er $(- 1, 0)$ og $(3, 0)$ og med y-aksen er $(0, 6)$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Graf

graf

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser andregradslikninger finner du i lynkurset Andregradslikninger. For mer om skjæringspunkter se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet skjæringspunkter i Treningsleiren.

b)

Tegn grafen til $f$ for $x \in [- 2, 4]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi tegner

Graf

grafen

ved å bruke at grafen til et

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

av andre grad alltid er en

Parabel

Et kjeglesnitt med bare en symmetriakse. Et eksempel er grafen til funksjonen $f (x) = x^{2}$

parabel

og at grafen til

f

går gjennom punktene funnet i deloppgave a).

Siden det kvadratiske leddet, $- {2 x}^{2}$ til annengradsfunksjonen har negativt fortegn vet vi at grafen til $f$ er en parabel med toppunkt og vil bøye nedover. En parabel er

Symmetriske funksjoner

Funksjoner med flere variable som ikke forandres om en bytter om variablene.

symmetrisk

om symmetrilinjen. Denne er parallell med

y

-aksen og topp- eller bunnpunktet ligger på denne linjen. Det betyr at

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

må ligge midt mellom de to nullpunktene vi fant i deloppgave a). Så toppunktet er i

x = 1

, og funksjonsverdien i dette punktet er

$f (1) = - 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + 6 = 8$

Da har vi at toppunktet er $(1, 8)$ . Symmetrilinjen må være $x = 1$ , og på grunn av denne symmetrien vet vi også at $f (2) = f (0) = 6$ .

Vi kan også sjekke endepunktene, som også på grunn av symmetri vil ha samme funksjonsverdi. Vi sjekker for $f (- 2) = - 2 {\cdot (- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 6 = - 8 + (- 8) + 6 = - 10$ , og har nå også punktene $(- 2, - 10) og (4, - 10)$ .

Nå kan vi markere punktene i et koordinatsystem og tegne en linje mellom dem.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Graf

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Flere eksempler på hvordan man tegner en graf finner du i artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

c)

Funksjonen $g$ er gitt ved

$g (x) = 2 x + 2$

Løs likningen $f (x) = g (x)$ grafisk.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Grafen til $g (x) = 2 x + 2$ må være en rett

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

. Løsningen av likningen

f (x) = g (x)

er skjæringspunktene mellom den rette linjen til

g

Parabel

Et kjeglesnitt med bare en symmetriakse. Et eksempel er grafen til funksjonen $f (x) = x^{2}$

parabelen

til

f

Grafen til $g$ er en rett linje, siden den bare består av et

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantledd

og et ledd av førstegrad, altså er den på formen

g (x) = a x + b

Når $x = 0$ har vi $g (0) = 2$ , så $g$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 2)$ . Utfra likningen kan vi se at stigningstallet til $g$ må være lik $2$ , så når $x$ -verdien øker med $1$ , vil $y$ -verdien øke med to, altså vil grafen også gå gjennom punktet $(1, 4) og (2, 6)$ .

Vi kan nå tegne inn grafen til $g$ og ved å tegne grafen sammen med grafen til $f$ ser vi at grafene skjærer hverandre i to punkter.

Når grafen til $f$ og $g$ skjærer hverandre betyr det at $f (x) = g (x)$ . Altså er løsningen av likningen $f (x) = g (x)$ gitt av de to punktene $(- 1, 0)$ og $(2, 6)$ . Siden $y$ -verdien er verdien de deler holder det imidlertid å oppgi $x$ -verdien for å løse likningen $f (x) = g (x)$ . Løsningen på denne likningen er altså $\begin{matrix} x = - 1 og x = 2 . \end{matrix}$

Svar: $x = - 1 og x = 2$

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Oppgave 13 (2 poeng) Nettkode: E-4BJL

Tenk deg at jorda har form som en kule, og at det er plassert et tau rundt ekvator. Tauet er strammet. Tenk deg så at du forlenger tauet med 20 m og plasserer det slik at det danner en sirkel med sentrum i jordas sentrum.

Vil du da kunne gå under tauet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi ønsker å se hva som skjer med

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radiusen

i en

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

når vi endrer

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

Hvis jorden har radius $r_{J}$ , er omkretsen til jorden gitt ved

$\begin{matrix} O_{J} = 2 π r_{J} \end{matrix}$

Vi vet at tauet har en omkrets som er $20$ m lengre enn jordens omkrets, så tauets omkrets kan vi skrives som

$\begin{matrix} O_{T} = 2 π r_{J} + 20 m \end{matrix}$

Vi lar tauets radius være $r_{T}$ , og da kan kan vi skrive

$2 π r_{T} = O_{T}$

og derfor må vi ha at

$\begin{matrix} 2 π r_{T} = 2 π r_{J} + 20 m \end{matrix}$

Avstanden mellom tauet og bakken er imidlertid gitt ved $r_{T} - r_{J}$ .

Fra likningen over har vi

$2 π r_{T} - 2 π r_{J} = 2 π (r_{T} - r_{J}) = 20 m$

som gir at avstanden mellom tauet og bakken er

$r_{T} - r_{J} = \frac{20 m}{2 π} \approx 3, 2 m$

som betyr at vi vil kunne gå under tauet.

Svar: Vi vil kunne gå under tauet.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formel

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Du kan lese mer om hvordan man finner omkretsen av en sirkel i artikkelen Alt om sirkel.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4BJN

Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.

I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes $x$ dager etter 31. mars, tilnærmet var gitt ved funksjonen

$f (x) = 80 \cdot {1, 045}^{x}$

Her svarer $x = 0$ til 31. mars, $x = 1$ til 1. april, $x = 2$ til 2. april, og så videre.

Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai.

a)

Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Funksjonen $f (x)$ er på formen $a \cdot b^{x}$ , altså har vi en eksponentialfunksjon, hvor $a$ forteller oss noe om startverdien og $b$ er

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

Antall «liker» før $1$ . april tilsvarer antall «liker» $31$ . mars, som vi får oppgitt tilsvarer $x = 0$ . Dette er da gitt ved

$\begin{matrix} f (0) = 80 \cdot 1, 045^{0} = 80 \end{matrix}$

Siljes side har altså $80$ «liker» før $1 .$ april.

Antall «liker» en gitt dag er gitt er lik $1, 045$ multiplisert med antall «liker» foregående dag. Siden $1, 045$ er vekstfaktor for $4, 5 %$ vekst, er økningen i antall «liker» på $4, 5 %$ per dag.

Svar: Antall «liker» før 1. april er lik $80$ og den prosentvise økningen av «liker» per dag er lik $4, 5 %$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Flere forklaringer og eksempler på prosentregning finner du i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

b)

Vil antall «liker» passere $1000$ innen utgangen av mai?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Ved å sette inn for $x$ antall dager fra 31. mars til utgangen av mai, kan vi se om «liker» overstiger $1000$ .

Det er $30$ dager i april og $31$ dager i mai, så totalt er det $61$ dager fra $31 .$ mars til utgangen av mai. Antallet «liker» Silje har på siden sin innen utgangen av mai er gitt ved $f (61)$ . Nå kan vi bruke CAS til å regne dette ut.

Da begynner vi med å definere funksjonen ved å skrive "f(x):=80*1.045^x", og deretter "f(61)". Dette gir

Vi kan også finne svaret ved å sette inn for $x = 61$ i funksjonsuttrykket
$\begin{matrix} f (61) = 80 \cdot 1, 045^{61} \approx 1172, 7 . \end{matrix}$

Svaret er større enn $1000$ , så antallet «liker» vil passere $1000$ innen utgangen av mai.

Alternative løsninger

En annen måte å løse oppgaven på er å bestemme $x$ slik at $f (x) = 1000$ . Hvis $x$ er mindre enn det totale antallet dager i april og mai, vil antall «liker» passere $1000$ . Hvis antallet dager er større enn det totale antallet dager i april og mai til sammen, vil det altså ta lengre tid for antall «liker» å passere $1000$ .

Dette kan vi løse ved hjelp av CAS. Da må vi først definere funksjonen $f$ ved å skrive

"f:=80*1.045^x", og deretter kan vi skrive inn "f(x)=1000".

Da kan vi se at vi får $f (x) = 1000$ når $x \approx 57, 4$ .

Vi kan også løse denne likningen med regning. Da får vi at $\begin{matrix} 80 \cdot {1.045}^{x} = 1000, \end{matrix}$ dette kan skrives $\begin{matrix} {1.045}^{x} = \frac{1000}{80}, \end{matrix}$ og ved å ta logaritmen av begge sider ser vi at $\begin{matrix} x \lg (1.045) = \lg (\frac{1000}{80}) . \end{matrix}$ Det er betyr at antall likes passerer $1000$ etter $\begin{matrix} x = \frac{\lg (\frac{1000}{80})}{\lg (1.045)} \approx 57, 4 . \end{matrix}$ Siden dette er mindre enn det totale antallet dager i april og mai sammenlagt er svaret på spørsmålet ja, antallet likes passerer $1000$ innen utgangen av mai.

Svar: Ja, antall "liker" vil passere $1000$ innen utgangen av mai.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Hva en funksjon er hvordan man regner med dem kan du lese mer om i lynkurset Funksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om eksponentialfunksjoner i Treningsleiren.

c)

Bestem $f (16)$ og $f' (16)$ .

Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruk CAS til å finne de verdiene. Den deriverte til en funksjon forteller noe om vekstfarten til funksjonen i det punktet.

I oppgave b) definerte vi funksjonen i CAS, og vi finner verdiene ved å skrive inn $f (16)$ og $f' (16)$ i CAS.

Da får vi

$f (16) \approx 162$ forteller oss at antall personer som har klikket "liker" på siden til Silje $16 .$ april omtrent er $162$ .

$f' (16) \approx 7$ forteller oss at økningen i "likerklikk" per dag etter $16$ dager er omtrent $7$ .

Svar: $f (16) \approx 162$ er antallet «liker» den 16. dagen. $f' (16) \approx 7$ er økning i «liker» den 16. dagen.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Kjerneregelen og Kjerneregelen - tre eksempler i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om derivasjon i Treningsleiren.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4BJS

Gitt $◻ A B C D$ ovenfor. Lengden av diagonalen $B D = 8$ .

Bruk CAS til å bestemme lengdene av sidene i firkanten eksakt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

$△ B D C$ er en rettvinklet trekant og da er sin til en vinkel lik forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen. Vi bruker sinussetningen i CAS i GeoGebra for å finne sidelengdene i $A B C D$ .

I en rettvinklet trekant har vi at

$\sin v = \frac{motstående katet}{hypotenus} og \cos v = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$

Siden $△ B D C$ er rettvinklet har vi at

$\begin{matrix} \sin 30^{\circ} = \frac{B C}{B D} = \frac{B C}{8} og \cos 30^{\circ} = \frac{D C}{B D} = \frac{D C}{8} . \end{matrix}$

I CAS løser vi dette som to likninger og finner sidelengdene

Sidelengdene er $\begin{matrix} B C = 4 og D C = 4 \sqrt{3} . \end{matrix}$

Sinussetningen for en vilkårlig trekant gir at

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

der $a$ er motstående side for vinkel $A$ , og tilsvarende for $b, B$ og $c, C$ .

Vi ser på $△ A B D$ og bruker sinussetningen til å bestemme sidelengdene $A D$ og $A B$

Den gir at at

$\begin{matrix} \frac{\sin 30^{\circ}}{B D} = \frac{\sin 45^{\circ}}{A D} \end{matrix}$ .

Vi har $B D = 8$ og da kan vi løse likningen

$\begin{matrix} \frac{\sin 30^{\circ}}{8} = \frac{\sin 45^{\circ}}{A D} \end{matrix}$ i CAS.

Da er sidelengden $\begin{matrix} A D lik 8 \sqrt{2} . \end{matrix}$

Siden vi kjenner til

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

, følger det at

$∠ A D B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ}$ .

Ifølge sinussetningen er sidelengden $A B$ da gitt ved

$\begin{matrix} \frac{\sin 30^{\circ}}{8} = \frac{\sin 105^{\circ}}{A B} . \end{matrix}$

Vi løser denne i CAS og får at

Svar: $B C = 4, D C = 4 \sqrt{3}, A D = 8 \sqrt{2} og A B = 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Sinussetningen i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om sinussetningen i Treningsleiren.

Oppgave 3 (9 poeng) Nettkode: E-4BJW

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 18$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ , bestemme nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker grafikkfelt i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å tegne

Graf

grafen

til

f

og deretter bruker kommandoer til å finne

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

og eventuelle

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkter

Vi begynner med å tegne inn grafen til funksjonen $f (x)$ i GeoGebra ved å skrive

$f (x) = x^{\land} 3 - {6 x}^{\land} 2 + 3 x + 18$

Da får vi opp grafen i grafikkfeltet.

For å finne nullpunktene til $f$ kan vi bruke kommandoen

Nullpunkt[<Polynom>] og skrive inn "Nullpunkt[f]".

Da får vi opp de tre skjæringspunktene mellom grafen og $x$ -aksen:

$(- 1.37, 0), (3, 0) \begin{matrix} og (4.37, 0) \end{matrix}$ .

Dermed er nullpunktene til $f$ lik $- 1, 37, 3 og 4, 37$ .

Vi kan bruke kommandoen

Ekstremalpunkt[<Polynom>]

for å finne eventuelle topp- og bunnpunkt. Vi skriver "Ekstremalpunkt[f]" og får opp to ekstremalpunkter,

$(0, 27, 18, 39)$ og $(3, 73, - 2, 39)$ .

Fra grafen, og ved å se på koordinatene, kan vi se at vi har ett toppunkt, $(0, 27, 18, 39)$ og ett bunnpunkt, $(3, 73, - 2, 39)$ .

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkter

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkter i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkter og ekstremalpunkter i Treningsleiren.

b)

Bruk CAS til å bestemme eksakte verdier for nullpunktene til $f$ og for eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

Nullpunktene

til en funksjon

f (x)

er nøyaktig de verdiene for

x

som tilfredsstiller

f (x) = 0

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

Toppunkter

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkter

er begge punkter som tilfredsstiller likningen

f' (x) = 0

Vi bruker samme GeoGebra-fil som i oppgave a), og åpner CAS. Nå er allerede $f$ definert som funksjonen vår.

For å finne nullpunktene til denne funksjonen må vi løse likningen

$f (x) = 0$ .

Da skriver vi inn "f(x)=0" og for å få eksakte verdier bruker vi knappen i verktøylinjen der det står $x =$ .

De eksakte verdiene for nullpunktene er altså

$\begin{matrix} x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}, x = 3 og x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} . \end{matrix}$

I ekstremalpunktene har vi at $f' (x) = 0$ , så for å finne den eksakte verdien for ekstremalpunktene løser vi likningen $f' (x) = 0$ .

Da kan vi skrive inn "f'(x)=0" og får at $f$ har ekstremalpunkt når

$\begin{matrix} x = - \sqrt{3} + 2 og x = \sqrt{3} + 2 \end{matrix}$ .

For å finne selve punktene skriver vi inn "(-sqrt(3)+2, f(-sqrt(3)+2))" og "(sqrt(3)+2, f(sqrt(3)+2))"

Da ser vi at $f$ har et toppunkt i $x = - \sqrt{3} + 2$ og et bunnpunkt i $x = \sqrt{3} + 2$ . Funksjonsverdien i disse punktene finner vi ved å bruke CAS og sette inn verdiene for $x$ .

Vi får at $\begin{matrix} f (- \sqrt{3} + 2) = 6 \sqrt{3} + 8 og f (\sqrt{3} + 2) = - 6 \sqrt{3} + 8 \end{matrix}$ .

Alternativ løsning

Vi kan bruke de samme kommandoene i CAS som vi brukte i oppgave a).

Da definerte vi funksjonen $f$ . Dermed kan vi nå bare skrive

Nullpunkt[f]

Ekstremalpunkt[f]

for å få verdiene vi ønsker. For å få eksakte verdier må vi trykke på " $=$ ".

Da får vi

Svar: Nullpunkter $\frac{3 - \sqrt{33}}{2}, 3 og \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ , toppunkt $(- \sqrt{3} + 2, 6 \sqrt{3} + 8)$ og bunnpunkt $(\sqrt{3} + 2, - 6 \sqrt{3} + 8)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere forklaringer og eksempler se lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjonsdrøfting i Treningsleiren.

c)

Grafen til $f$ har to tangenter med stigningstall lik 3.

Bestem likningene for de to tangentene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

Stigningstallet

til

Graf

grafen

til

f

i punktet

x

f' (x)

. Dette er også stigningstallet til tangenten, så vi kan finne ut for hvilke

x

vi har at

f' (x) = 3

Vi vil finne en tangent med stigningstall lik $3$ . Stigningstallet til tangenten i $x$ er lik $f' (x)$ . Dette betyr at for å finne hvilke punkt vi skal finne tangenten i, kan vi løse likningen $f' (x) = 3$ .

Da kan vi bruke CAS og får $x = 0 og x = 4$ . Nå vet vi at vi skal finne likningen til tangenten i punktene $(0, f (0)) og (4, f (4))$ . Vi kan fortsette i CAS og bruke kommandoen Tangent[<Punkt>, <Funksjon>], og skrive inn

"Tangent[(0,f(0)), f]" og "Tangent[(4,f(4)), f]"

Da får vi

Alternativ

Vi kan også finne tangentene ved regning:

Tangenten er en rett linje og er derfor på formen $y = a x + b$ , der $a$ og $b$ er

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstanter

. Begge linjene har stigningstall lik

3

, men vi kjenner ikke til konstantleddet

b

. For å finne det, må vi kjenne til noen punkter på grafen til tangenten. Disse finner vi ved å løse

f' (x) = 3

Ifølge derivasjonsregelen $(x^{n})' = n x^{n - 1}$ er den deriverte av $f (x)$ gitt ved

$\begin{matrix} f' (x) = 3 x^{2} - 6 \cdot 2 x + 3 \cdot 1 x^{0} + 0 = 3 x^{2} - 12 x + 3 . \end{matrix}$

Likningen $f' (x) = 3$ kan skrives som

$\begin{matrix} 3 x^{2} - 12 x + 3 = 3 \end{matrix}$ , og vi vil løse denne likningen for $x .$

${3 x}^{2} - 12 x = 0$

$\begin{matrix} x^{2} - 4 x = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} x (x - 4) = 0 \end{matrix}$

som betyr at likningen løses av punktene

$\begin{matrix} x = 0 og x = 4 \end{matrix}$

Tangenten i $x = 0$ skjærer grafen til $f$ i punktet $(0, f (0))$ og siden

$\begin{matrix} f (0) = 0^{3} - 6 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 + 18 = 18 \end{matrix}$

må likningen for tangenten tilfredsstille likningen

$\begin{matrix} 18 = 3 \cdot 0 + b . \end{matrix}$

Med andre ord må vi ha $b = 18$ . Tangenten i $x = 0$ er på formen

$y = 3 x + 18$

Siden

$\begin{matrix} f (4) = 4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 18 = - 2 \end{matrix}$

er konstanten, $b$ , i tangentlikningen i $x = 4$ på helt tilsvarende måte gitt ved

$- 2 = 3 \cdot 4 + b$

som betyr at $b = - 2 - 3 \cdot 4 = - 14$ . Tangenten i punktet $x = 4$ er på formen

$\begin{matrix} y = 3 x - 14 . \end{matrix}$

Svar: Likningene for tangentene er lik $y = 3 x + 18$ og $\begin{matrix} y = 3 x - 14 . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Å finne tangenten.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

Visste du at?

I matematikk er det vanlig å bruke parentesene ${. . .}$ for en mengde, eller samling, av elementer. Mengden av tallene $1, 3$ og $5$ kan for eksempel skrives ${1, 3, 5}$ . Siden de fleste mengder av interesse inneholder altfor mange elementer til å kunne listes opp, er det vanlig å oppgi mengder på formen ${x | P (x)}$ , som leses «Mengden av alle $x$ som er slik at $P (x)$ ». Hvis vi for eksempel ønsker å se på mengden av alle oddetallene kan vi skrive

$\begin{matrix} Oddetall = {x | x = 2 n + 1, n \in ℕ} . \end{matrix}$

Når vi snakker om å finne likningen til en figur, som for eksempel en tangent, kan vi tenke på denne som mengdebyggeren $P (x)$ . Likningen vi fant for tangenten i punktet $x = 0$ består for eksempel av alle koordinater $(x, y)$ som tilfredsstiller $y = 3 x + 18$ . Dette kan vi skrive

$Tangenten til f i punktet 0 = \{(x, y) | y = 3 x + 18\}$

d)

Tegn de to tangentene i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi tegner grafene til de to tangentene fra deloppgaven 3c) i samme

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystemet

som grafen i deloppgaven 3a.

Vi skriver inn likningene

$y = 3 x + 18$ og $y = 3 x - 14$

i inntastingsfeltet i samme koordinatsystem som oppgave a):

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Graf

graf

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BK1

Ida selger små og store kuleis. En liten kuleis koster 24 kroner og har to iskremkuler. En stor kuleis koster 32 kroner og har tre iskremkuler. En liter iskrem gir i alt 12 iskremkuler.

En dag solgte Ida kuleis for 2 752 kroner. Hun hadde da brukt 20 L iskrem.

Hvor mange store kuleis solgte Ida denne dagen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan systematisere informasjonen vi får oppgitt i et

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

der de ukjente er antall små og store solgte kuleis.

La $x$ være antall små kuleis Ida har solgt. La $y$ være antall store kuleis Ida har solgt.

Det totale antallet iskremkuler som er solgt den dagen er da gitt ved $2 x + 3 y$ . Siden én liter iskrem gir $12$ iskremkuler og det totalt ble solgt $20$ liter iskrem, tilfredsstiller $x$ og $y$ følgende likning

$\begin{matrix} 2 x + 3 y = 12 \cdot 20 = 240 \end{matrix} .$

Siden en liten kuleis koster $24$ kroner, en stor kuleis koster $32$ kroner og Ida solgte kuleis for totalt $2752$ kroner følger det at $x$ og $y$ også må tilfredsstille likningen

$\begin{matrix} 24 x + 32 y = 2752 . \end{matrix}$

Vi kan bruke CAS til å løse dette likningssystemet

Vi ser at Ida solgte $72$ små og $32$ store kuleis denne dagen.

Alternativ løsning

Vi kan også løse likningssystemet for hånd. Her ser vi hvordan vi kan bruke addisjonsmetoden.

Først ser vi at vi kan dividere begge sider av $24 x + 32 y = 2752$ med $4$ . Da får vi

$6 x + 8 y = 688$

Vi kan bruke addisjonsmetoden for å finne de ukjente i likningssystemet:

$2 x + 3 y = 240$

$6 x + 8 y = 688$

Vi multipliserer første likningen med $- 3$ , da får vi $- 6 x - 9 y = - 720$ . Nå kan vi addere likningene, og da vil vi vi eliminerer leddene med $x$ .

Da får vi

$- 6 x - 9 y + 6 x + 8 y = - 720 + 688$

$- y = - 32$

$y = 32$

Svar: Ida solgte $32$ store kuleis den dagen.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser et sett med likninger finner du i artikkelen Likningssystemer.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4BKC

Punktene $B$ og $C$ på figuren ovenfor deler diameteren $A D$ i tre like store deler. Alle buene i figuren er sirkelbuer.

Sett $A D = a$ og bestem forholdet mellom arealet av sirkelen og arealet av det svarte området.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Ved å bruke at

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

av en sirkel med

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

r

er gitt som

π r^{2}

kan vi uttrykke både det sorte området og arealet av sirkelen.

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Forholdet

er det samme som at vi dividerer det ene arealet på det andre.

Vi kan begynne med å bestemme arealet av hele sirkelen. Arealet til en sirkel med radius $r$ er gitt ved $A = {π r}^{2}$ .

Diameter til hele sirkelen er lik $a$ , det vil si at radius, $r_{H} = \frac{a}{2}$ . Arealet $A_{H}$ til hele sirkelen er da $A_{H} = π {(\frac{a}{2})}^{2} = π \frac{a^{2}}{4}$ .

Det sorte området kan omplasseres slik at vi får en sirkel med diameter $\frac{2 a}{3}$ , med en hvit sirkel med diameter $\frac{a}{3}$ inni, som har radiuser henholdsvis $r_{S} = \frac{a}{3} og r_{h} = \frac{a}{6}$

Arealet, $A_{s}$ , av det sorte området er dermed differansen av arealet til disse to sirklene, altså

$\begin{matrix} A_{s} = π r_{S}^{2} - π r_{h}^{2} = π {(\frac{a}{3})}^{2} - π {(\frac{a}{6})}^{2} \end{matrix}$

Dette arealet kan vi finne ved hjelp av CAS:

Siden arealet av hele sirkelen er gitt som

$\begin{matrix} A_{H} = \frac{1}{4} π a^{2}, \end{matrix}$

følger det at forholdet mellom arealet av hele sirkelen og arealet av det sorte området er gitt ved $\begin{matrix} \frac{A_{S}}{A_{H}} \end{matrix}$ . Vi kan skrive uttrykket for $A_{H}$ inn i CAS og finne forholdet:

Altså utgjør det sorte området nøyaktig én tredjedel av hele sirkelen.

Svar: Det sorte området én tredjedel av hele sirkelen.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner areal og omkrets av en sirkel finner du i artikkelen Alt om sirkel.

For å øve mer, se oppgavesettet om omkrets og areal i Treningsleiren.

MAT1013 2015 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BGE

Løsningsforslag

Nevner

Standardform

Standardform

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BGG

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Ligningssett

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BGI

Løsningsforslag

abc-formelen

Fortegnsskjema

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4BGK

a)

Løsningsforslag a)

Potens

Potens

b)

Løsningsforslag b)

Kvadratrot

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4SBN

Løsningsforslag

Ligning

Logaritme

Oppgave 6 (1 poeng) Nettkode: E-4BGQ

Løsningsforslag

Fullstendig kvadrat

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning

Alternavtiv løsning

Nullpunkt

Faktorisering

abc-formelen

Første kvadratsetning

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BGS

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Multiplikasjon

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BGU

Løsningsforslag

Første kvadratsetning

Konjugatsetningen

abc-formelen

Andre kvadratsetning

Konjugatsetningen

Andregradslikning

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4BH1

Løsningsforslag

Stigningstall

Konstant

Alternativ løsning

Lineære funksjoner

Oppgave 10 (5 poeng) Nettkode: E-4BIR

a)

Løsningsforslag a)

Rettvinklet trekant

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning

b)

Løsningsforslag b)

Rettvinklet trekant

Sinus

Cosinus

Tangens

Katet

Hypotenus

Trigonometri

Oppgave 11 (5 poeng) Nettkode: E-4BJD

a)

Løsningsforslag a)

Utfall

Alternativ løsning

Sannsynlighet

b)