Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.
Våre samarbeidspartnere:
MAT1011 2016 Vår
Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.
Hjelpemidler:
Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.
Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.
Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.
Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du
- viser regneferdigheter og matematisk forståelse
- gjennomfører logiske resonnementer
- ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
- kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
- forklarer framgangsmåter og begrunner svar
- skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
- vurderer om svar er rimelige
Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.
- Bensintank: (http://www.bestmarin.no, 6.07.2016)
- Torus: (http://www.freeimages.com, 6.07.2016)
- Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet
DEL 1 Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4B3K
Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti 4,5 % av stemmene. Ved forrige kommunevalg fikk partiet 3,6 % av stemmene.
a)
Hvor mange prosentpoeng har økningen vært på?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Prosentpoeng
Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall.
Eksempel: Forskjellen mellom og er 2 prosentpoeng.
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Andelen stemmer har økt fra til . Det er en økning påprosentpoeng.
Svar: prosentpoeng.
Mer om:
Denne oppgaven er om
Prosentpoeng
Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall.
Eksempel: Forskjellen mellom og er 2 prosentpoeng.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosentpoeng, se artikkelen Prosentpoeng.
b)
Hvor mange prosent har økningen vært på?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
I denne oppgaven skal vi finne økningen i
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Vi skal finne ut hvor mange prosent økning det er fra til . Det gjør vi ved å se på vekstfaktoren, som er , eller . (I den siste brøken har i multiplisert telleren og nevneren med 10 for å unngå desimaltallene.) Vi kan regne ut brøken enklere ved å faktorisere telleren og nevneren. Vi vet at og at . Vi setter dette inn i brøken og forkorter. Da får vi
Vekstfaktor
Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.
Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.
Prosentfaktor
En prosentfaktor er et prosenttall skrevet om til et desimaltall.
Eksempel: 32 % blir skrevet som 0,32 når det skal skrives som en prosentfaktor.
Vi kunne også ha brukt økningen i prosentpoeng som vi fant i forrige oppgave. Da hadde vi sett at økningen var på
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Prosent av hva da?.
For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.
Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4B3O
En bensintank har form som et rett, firkantet prisme. Tanken er 40 cm bred, 90 cm lang og 30 cm høy (innvendige mål).
Hvor mange liter rommer tanken?
Løsningsforslag
Jeg tenker:
Her må vi huske på hvilke mål vi bruker. Én kubikkdesimeter rommer én liter ().
Et rett, firkantet
Prisme
Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.
Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Svar: Tanken rommer .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Prisme
Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.
Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med volum av en rett prisme, se artikkelen En rett prisme.
For å øve mer, se oppgavesettet volum i Treningsleieren.
Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4B3Q
I 2012 var indeksen for en vare 80. Varen kostet da 2 000 kroner. I 2016 var indeksen for varen 60.
Hvor mye ville varen kostet i 2016 dersom prisen hadde fulgt indeksen?
Løsningsforslag
Jeg tenker:
Vi må huske på
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
Vi har at
.
Vi vet at indeksen og prisen for varen i var henholdsvis og . Videre var indeksen for varen i . Setter vi dette inn i ligningen over, får vi at
Dette er en ligning der den ukjente er prisen i . Vi kan løse ligningen ved å multiplisere med på hver side av likhetstegnet, og forkorte. Vi får
Videre regner vi ut , eller . Vi faktoriserer, og regner ut at prisen er
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
For flere forklaringer og eksempler på regning med forhold se artikkelen Målingsforhold. For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med brøk, se artikkelen Hva er en brøk?. Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.
Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4B3S
På et kart er avstanden mellom to byer 12 cm. I virkeligheten er avstanden 240 km.
Bestem målestokken til kartet.
Løsningsforslag
Jeg tenker:
Hvis et kart har
Målestokk
Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.
Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)
Dette betyr for eksempel at:
- | 1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m) |
- | 1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget |
- | 4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km). |
Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.
Vi vet at på kartet er i virkeligheten. Det betyr at én centimeter på kartet tilsvarer i virkeligheten. Én kilometer er meter, så kilometer er meter. Videre må vi multiplisere med for å få antall centimeter, så én centimeter på kartet tilsvarer centimeter i virkeligheten. Det gir en målestokk på
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Målestokk
Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.
Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)
Dette betyr for eksempel at:
- | 1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m) |
- | 1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget |
- | 4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km). |
Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.
Måltall
Det tallet vi leser av på en linjal, en akse, en vekt eller liknende, kaller vi et måltall.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med målestokk, se artikkelen Målestokk. For flere eksempler og forklaringer om lengdeenheter, se artikkelen Lengdeenheter i lynkurset Enheter.
For å øve mer, se oppgavesettet om målestokk i Treningsleieren.
Oppgave 5 (1 poeng) Nettkode: E-4B3V
Gitt tabellen ovenfor. og er proporsjonale størrelser.
Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din. Gjør beregninger, og fyll ut tabellen.
Løsningsforslag
Jeg tenker:
At og er
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Det første vi gjør er å skrive av tabellen slik den står.
Vi vet at og er proposjonale størrelser, og det betyr at forholdet mellom dem er konstant. Vi vet at når , så er ; det betyr at (Vi kunne også ha brukt det omvendte forholdet .) Hvis vi multipliserer med på begge sider av likhetstegnet, kan vi skrive dette på formen . Med andre ord skal alltid være ganger større enn . Når , skal dermed være . Vi kunne ha regnet ut dette for hånd, men det kan gå fortere hvis vi ser at . Da får vi nemlig at
Dette fyller vi inn i tabellen. Tallet skal være i -raden, rett under der det står .
Til sist skal vi finne ut hva skal være når . Vi vet at alltid skal være 20 ganger større enn , så skal være lik Vi fyller dette inn i den siste ruten i tabellen.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Verditabell
En tabell med verdier av en variabel, for eksempel , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel , kalles for en verditabell.
Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med proporsjonalitet, se artikkelen Proporsjonalitet.
For å øve mer, se oppgavesettet om proporsjonale funksjoner i Treningsleieren.
Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4B44
En funksjon er gitt ved
a)
Skriv av og fyll ut verditabellen nedenfor.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Vi skal sette inn hver -verdi fra den første raden inn i uttrykket , og regne ut.
Først skriver vi av tabellen vi skal fylle ut.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vi starter med ruten lengst til venstre, under . Der skal vi regne ut og skrive tallet . Det gjør vi ved å sette inn der det står i funksjonsuttrykket til . Vi regner ut atHer må vi huske på at når vi multipliserer to negative tall, så får vi noe positivt. Derfor blir , så. Videre blir , så vi får atVi fyller dette inn i tabellen.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vi regner ut på samme måte. Vi fårVi husker igjen at vi får noe positivt når vi multipliserer to negative tall. Derfor blirog dette fyller vi inn i tabellen.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 |
Vi regner ut de neste verdiene på helt samme måte. Vi får
Vi fyller ut tabellen.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 |
Svar:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 |
Mer om:
Denne oppgaven er om
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Verditabell
En tabell med verdier av en variabel, for eksempel , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel , kalles for en verditabell.
Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.
Andregradsuttrykk
Et uttrykk på formen , hvor er den størrelsen som varierer, og og er konstante tall.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med andregradsfunksjoner, se artikkelen Andregradsfunksjoner.
For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratiske funksjoner i Treningsleieren.
b)
Tegn grafen til .
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Her skal vi tegne inn punktene vi fant i forrige oppgave i et
Koordinatsystem
Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
I tabellen fra forrige oppgave står det at når . Det betyr at grafen til går gjennom punktet . Det samme gjelder alle de andre kolonnene i tabellen. Vi skal tegne disse punktene inn i et koordinatsystem, og da er det viktig at vi tegner koordinatsystemet i passende størrelse. Vi tegner -aksen omtrentlig fra til og -aksen mellom og .
Videre skal vi tegne inn punktet som grafen går gjennom. Punktet er plassert der og .
Vi gjør det samme med alle de andre punktene også. For eksempel står det i tabellen at når , at når , og så videre.
Nå har vi et ganske godt inntrykk av hvordan grafen til ser ut, og da gjenstår det bare å tegne den. Grafen skal gå gjennom alle punktene, og ikke ha noen skarpe hjørner. (Ikke tegn rette streker mellom punktene.) Resultatet er under.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Verditabell
En tabell med verdier av en variabel, for eksempel , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel , kalles for en verditabell.
Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
For flere forklaringer og eksempler på funksjonsgrafer, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.
For å øve mer, se oppgavesettet om kvadratiske funksjoner i Treningsleieren.
Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4B48
Snorre har seks blå og fire rosa ballonger. Han tar tilfeldig tre ballonger.
a)
Bestem sannsynligheten for at han tar tre blå ballonger.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Her kan vi bruke
Produktsetningen
Produktsetningen sier at , hvor er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.
Det er blå ballonger og rosa; det blir totalt ballonger. Snorre skal trekke tre tilfeldige ut i fra disse. Sannsynligheten for at han trekker en av de 6 blå ballongene første gang, erVi antar videre at Snorre trakk en blå ballong første gang. Når Snorre skal trekke den andre ballongen, er det bare ballonger igjen, og av disse er blå. Derfor er sannsynligheten for at han trekker en blå ballong andre gangen, likHvis han trakk blå de to første gangene, er det ballonger igjen, hvorav er blå. Sannsynligheten for at han trekker blå den siste gangen er dermedSannsynligheten for at Snorre trekker blått alle de tre gangene, er sannsynligheten for at alle de tre hendelsene over har skjedd. Produktregelen sier dermed at Her har vi brukt at i nevneren. Vi kan forkorte to treere og to femmere mot hverandre, og da blir brøken over det samme som , eller . Derfor er det én sjettedels sannsynlighet for at Snorre trekker tre blå ballonger.
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Uten tilbakelegging
Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.
Eksempel: Lottotrekning.
Produktsetningen
Produktsetningen sier at , hvor er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med sannsynlighet, se artiklene Hvordan finner vi uniform sannsynligheten? og Betinget sannsynlighet og produktsetningen.
For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.
b)
Bestem sannsynligheten for at han tar minst én rosa ballong.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi kan løse oppgaven på flere måter, men den enkleste er å se at sannsynligheten for at Snorre trekker minst én rosa ballong er den samme som
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Vi har at
og videre er
I forrige oppgave regnet vi ut at sannsynligheten var for at Snorre kun trakk blå ballonger, og derfor blir sannsynligheten for at han trekker minst én rosa ballong lik
Vi kunne også ha løst oppgaven ved å sette opp et sannsynlighetstre, men dette ville tatt unødvendig lang tid.
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Uten tilbakelegging
Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.
Eksempel: Lottotrekning.
For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser. .
For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.
c)
Bestem sannsynligheten for at han tar én rosa og to blå ballonger.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker:
Det er flere måter Snorre kan trekke én rosa og to blå ballonger på.
For at Snorre skal trekke én rosa ballong og to blå, kan han enten
- trekke en rosa først, og deretter to blå,
- trekke først en blå, deretter en rosa, og til sist en blå, eller
- trekke to blå først og deretter en rosa.
Vi har forkortet de tre hendelsene med henholdsvis , og . Vi må regne ut sannsynligheten for hver av disse tre hendelsene, og vi får den korrekte sannsynligheten ved å legge sammen disse.
Vi tar først. Vi starter med ballonger hvorav er rosa. Sannsynligheten for at den første trukne ballongen er rosa, er derforNår vi har trukket den rosa ballongen, er det igjen hvorav er blå. Derfor blir sannsynligheten for at den neste ballongen er blå, likTil sist er det ballonger igjen, hvorav er blå. Sannsynligheten for at den siste ballongen er blå, blir derforTotalt har vi dermed
Sannsynlighetene for de andre hendelsene regner vi ut på tilsvarende måte. Vi får atTotalt har vi dermed at
Vi merker oss at , og alle var like. Det er fordi vi bare har byttet om rekkefølgen på faktorene i brøkennår vi har regnet dem ut.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Ordnede utvalg
Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i er viktig, kalles dette for et ordnet utvalg.
For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet med ordnet utvalg, se artikkelen Ordnede utvalg.
For å øve mer, se oppgavesetet om Ordnede utvalg med og uten tilbakelegging i Treningsleieren.
Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4B4D
Eirik har vært hos fotografen. Etter fotograferingen får han tilbud om å kjøpe en fotobok. Han kan selv bestemme hvor mange bilder han vil ha med i boken. Tabellen nedenfor viser prisen for fotobøker med 8, 14 og 24 bilder.
Antall bilder |
8 | 14 | 24 |
Pris for fotoboken med bilder (y) |
1 000 kroner | 1 300 kroner | 1 800 kroner |
Sammenhengen mellom antall bilder og pris kan beskrives ved hjelp av likningen
der er antall bilder i boken og er prisen.
a)
Bestem tallene og .
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Det at betyr at det er en lineær sammenheng mellom prisen og antall bilder. Med andre ord er
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Stigningstall
Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.
Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.
Konstant
En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.
Eksempel: , er en konstant og er en variabel.
Se Variabel
Først finner vi stigningstallet til linjen. Stigningstallet er hvor mye øker hvis øker med ; med andre ord, hvor mye det koster å legge til ett bilde. Det koster kroner for 8 bilder og for bilder. Det betyr at en økning på bilder gir en økning i pris på kroner. Prisen per bilde er derfor Derfor må stigningstallet bli .
Vi fortsetter med å finne konstandleddet, altså hvor mye det koster å få tilsendt fotoboken overhodet. Vi har fra avsnittet over at , der er konstantleddet. Vi vet at det koster kroner å få bilder; med andre ord er når . Dette kan vi sette inn i likningen , og da får vi atVi ser at . Vi vil finne tallet som passer inn i likningen over, og den eneste muligheten er at .
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Regresjon
Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.
Lineære funksjoner
Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
Konstant
En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.
Eksempel: , er en konstant og er en variabel.
Se Variabel
Stigningstall
Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.
Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.
For flere forklaringer og eksempler på regresjon og lineære funksjoner, se artikkelen Regresjon og Lineære funksjoner.
For å øve mer, se oppgavesette om lineære funksjoner i Treningsleieren.
b)
Gi en praktisk tolkning av tallene og i denne oppgaven.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Tallet er hvor mye prisen øker per bilde, mens er hva prisen starter på.
Prisen for å kjøpe bilder er . Hvis vi kjøper en fotobok med bilder, altså bare fotoboken, blir prisen , så vi kan tenke oss at fotoboken i seg selv koster . Hvis vi vil ha med bilder, så øker prisen med , så hvert bilde koster .
Svar: Fotoboken koster , og hvert bilde koster .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Lineære funksjoner
Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
For flere forklaringer og eksempler på grafer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).
For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.
Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4B4N
Julie har tatt opp et lån med en fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.
a)
Er dette et serielån eller et annuitetslån? Begrunn svaret.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
I et
Annuitetslån
Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.
Serielån
Serielån er et lån som betales tilbake med like store avdrag hver termin. I tillegg til avdrag må du betale renter. Serielånet har høyere terminbeløp i begynnelsen av tilbakebetalingsperioden og lavere mot slutten, fordi rentebeløpet blir lavere og lavere.
De blå stolpene i diagrammet representerer avdragene. Alle de blå stolpene er like høye, og det betyr at avdraget i hver termin er like stort. Rentene kommer i tillegg, så det totale terminbeløpet er større i begynnelsen. Derfor er dette et serielån. Hadde det vært et annuitetslån, hadde den sammenlagte høyden på de blå og røde stolpene vært lik.
Svar: Dette er et serielån.
Mer om:
Denne oppgaven er om
Låne
Låning er en metode vi bruker i subtraksjon.
Annuitetslån
Annuitetslån er et lån som betales tilbake i like store beløp hver termin. Beløpet som belastes består av avdrag og renter.
Serielån
Serielån er et lån som betales tilbake med like store avdrag hver termin. I tillegg til avdrag må du betale renter. Serielånet har høyere terminbeløp i begynnelsen av tilbakebetalingsperioden og lavere mot slutten, fordi rentebeløpet blir lavere og lavere.
Rente
Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.
Se renteformel og rentefot
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med renter, se artikkelen Renter. Lynkurset om lånberegning er under utarbeidelse og kommer snart.
b)
Hvor mange prosent årlig rente betaler Julie på lånet?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi kan bruke figuren til å se hvor mye lånebeløpet var på, og hvor mye som ble betalt av
Rente
Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.
Se renteformel og rentefot
Lånebeløpet er summen av avdragene. Julie betaler i avdrag i terminer, og det betyr at hun lånte . I første termin betalte hun i renter; det ser vi ved at den første røde stolpen i diagrammet går fra til . Renten er altså av , som bliraltså rente. Det er én termin i året, så Julie betaler rente per år.
Svar: rente per år.
Mer om:
Denne oppgaven er om
Låne
Låning er en metode vi bruker i subtraksjon.
Rente
Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.
Se renteformel og rentefot
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Hva er prosent?.
Fo rå øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.
Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4B4R
Gitt slik at og . Se figuren ovenfor.
Vis at arealet av den grønne og den blå halvsirkelen til sammen er like stort som arealet av den grå halvsirkelen.
Løsningsforslag
Jeg tenker:
Denne oppgaven dreier seg om sidelengdene til en
Rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.
Pytagoras læresetning
Pytagoras læresetning sier at:
Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.
Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen :
Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.
Vi viser to måter oppgaven kan løses på. Den første er mindre teoretisk, men den tar lengre tid.
Det stilles spørsmål om arealet av halvsirklene. Den første strategien vår er å skrive ut arealene som vi klarer å finne, og deretter prøve å bruke Pytagoras’ setning. Vi husker at arealet til en halvsirkel med radius er
Vi starter med den blå halvsirkelen. Den har diameter , og derfor har den radius . Derfor har vi
Vi kan også finne arealet til den grå halvsirkelen, som har radius . Arealet blir
Til slutt har vi lyst til å finne arealet til den grønne halvsirkelen. Radien til halvsirkelen er . Vi vet ikke hva er, men heldigvis er en rettvinklet trekant, så vi kan bruke Pytagoras’ setning. Den sier at
Hvis vi setter inn og , så får vi
Det må bety at , så . Radien i den grønne halvsirkelen er derfor , så arealet blir
Vi kan legge sammen arealet av den grønne og den blå halvsirkelen. Da får vi
Dette er akkurat det samme som arealet til den grå halvsirkelen, og det var det vi ville vise.
Vi viser en annen måte å løse oppgaven på. Denne måten er raskere, og grei å bruke hvis man føler seg trygg på Pytagoras’ setning og likninger. Siden er rettvinklet, har vi
Vi vet at hvis en halvsirkel har diameter , så vil halvsirkelen ha areal lik . Hvert av tallene, og representerer diametre i forskjellige halvsirkler. Det er motivasjonen til å multiplisere likningen over med på begge sider av likhetstegnet. Da får vi
Nå kan vi merke oss at venstre side av likningen over, , er lik arealet til den grå halvsirkelen. På samme måte er og arealet til henholdsvis den blå og den grønne halvsirkelen. Men da sier likningen over at
og det var akkurat det vi ville vise. Vi merker oss at vi ikke trenger å bruke målene og .
Svar: Arealet av den grå halvsirkelen er , mens arealet av den grønne og den blå halvsirkelen er henholdsvis og . Alternativt gir Pytagoras’ setning direkte at
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sirkel
Sirkel brukes i to betydninger:
1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.
2) Flaten som sirkellinjen begrenser.
Areal:
Omkrets:
Rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.
Pytagoras læresetning
Pytagoras læresetning sier at:
Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.
Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen :
Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.
Areal
Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.
Pi (π)
er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med Pytagoras setning, se artikkelen Pytagoras' setning.
For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleieren.
Visste du at:
Pytagoras setning sier at hvis man har en trekant med hypotenus og kateter og , så er Tallet er lik arealet til et kvadrat med sidelengde , og tilsvarende med og . Derfor sier Pytagoras setning at arealet av det grå kvadratet under er lik summen av arealene av det grønne og det blå.
DEL 2 Med hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4B4U
Anta at antall registrerte elbiler i Norge år etter 2010 tilnærmet er gitt ved funksjonen der
a)
Bruk graftegner til å tegne grafen til .
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Vi kan bruke
GeoGebra
GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.
Vi bruker GeoGebra. Alt vi trenger å gjøre er å skrive
i “Skriv inn”-vinduet. Vi tilpasser aksene slik at vi ser hele grafen, og setter på passende navn. Resultatet er vist under.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
GeoGebra
GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med grafer, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.
Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.
For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleieren.
b)
Når vil antall registrerte elbiler passere 75 000 ifølge denne funksjonen?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi skal finne ut når
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Vi vil finne ut når grafen til krysser linjen . Med andre ord vil vi finne ut hva skal være for at . Dette kan vi gjøre grafisk. Vi tegner den nevnte linjen ved å skrive
i den samme GeoGebra-filen som i forrige oppgave. Vi finner skjæringspunktet mellom grafene ved å bruke skjæringsverktøyet.
Vi ser at grafen til når når . Det betyr at antallet registrerte elbiler passerer i .
Svar: I 2016 (der ).
Mer om:
Denne oppgaven er om
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Skjæringspunkt
Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.
For flere forklaringer og eksempler se artikklene Grafisk løsning av likninger og Koordinatsystem.
For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.
c)
Bestem . Hva forteller denne verdien om antall elbiler?
Løsningsforslag c)
Jeg tenker:
Tallet er antall registrerte elbiler år etter .
Vi regner ut . Det kan vi gjøre ved å sette inn i formeleneller så kan vi ganske enkelt skrive
i den samme GeoGebra-filen som før. Da får vi at . Det betyr at 4 år etter – med andre ord, i – så var det registrerte elbiler i Norge.
Svar: I følge modellen var det registrerte elbiler i Norge i .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Verditabell
En tabell med verdier av en variabel, for eksempel , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel , kalles for en verditabell.
Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med funksjoner, se artikkelen Grafen til en funksjon.
For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleieren.
Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4B4Y
I 2010 hadde Eirik en nominell lønn på 450 000 kroner. Konsumprisindeksen var da 128,8.
I 2015 var konsumprisindeksen 139,8. Hvor stor måtte den nominelle lønnen til Eirik ha vært i 2015 dersom han skulle hatt like stor kjøpekraft som i 2010?
Løsningsforslag
Jeg tenker:
Denne oppgaven handler om
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
I hele denne oppgaven bruker vi likningen som viser forholdet mellom reallønn og nominell lønn, nemlig Vi regner om den nominelle lønnen til Eirik til reallønn. Vi får at I var konsumprisindeksen . Spørsmålet er nå hvor mye lønn Eirik skulle hatt i hvis han skulle hatt like høy reallønn som i . Med andre ord vil vi finne ut hva den nominelle lønnen skal være i ligningen Det finner vi ut ved å multiplisere med den omvendte brøken på begge sider av likhetstegnet, og forkorte. Da får viDermed er den nominelle lønnen Eirik må ha, lik
Svar: Cirka .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent, se artikkelen Prosent av hva da?. Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.
Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4B50
Marita driver eget firma. I 2015 hadde hun en omsetning på 1 200 000 kroner. Hun har som mål å øke omsetningen med 3,5 % per år.
a)
Hva vil omsetningen hennes bli i 2025 dersom hun klarer dette?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Hvis noe øker med , så er
Vekstfaktor
Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.
Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.
Hvis Marita vil øke omsetningen med per år fra , så vil omsetningen i være . Etter to år vil den være , etter tre år vil den være , og så videre. I , altså etter år, vil omsetningen derfor være
Svar: Cirka .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Potensiell teori
Teorien om potensialfunksjoner, som er en generalisering av integralfunksjoner i flere variable.
Grunntall
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.
Eksponent
En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.
xn = x · x · x...· x, n ganger
Vekstfaktor
Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.
Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent og potenser, se artiklene Hva er prosent?, Banksparing over flere år og Potenser med samme grunntall.
For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.
b)
Marita endrer prisen på et produkt tre ganger. Først setter hun prisen opp med 40 %. Senere setter hun den ned igjen, først med 20 % og så med 20 % en gang til. Etter disse tre endringene koster produktet 560 kroner.
Hvor mye kostet produktet før prisendringene?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Produktet koster opprinnelig ikke kroner, fordi hvis man setter ned prisen to ganger, så er det ikke det samme som å sette ned prisen med én gang.
La oss si at produktet kostet kroner før prisendringene. Prisen ble satt opp med , som gir en vekstfaktor på ; derfor kostet produktet etter prisøkningen. Deretter ble prisen satt ned , som gir en vekstfaktor på . Dette skjer to ganger, så til slutt koster produktet . Vi regner ut at dette er det samme som . Men vi vet allerede at produktet kostet etter prisendringene. Det må bety at og er det samme tallet. Derfor er Vi dividerer begge sider med for å finne ut hva er. Vi får
Vi regner ut at , så produktet kostet opprinnelig kroner.
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
For flere forklaringer og eksempler se artiklene Prosent av hva da? og Løs en førstegradslikning!.
For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.
Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4B5A
I en 1P-gruppe er det 26 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår.
- 20 elever har valgt Sosialkunnskap.
- 16 elever har valgt Internasjonal engelsk.
- 6 elever har verken valgt Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk.
a)
Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Krysstabell
En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.
Vi viser hvordan vi lager en krysstabell, og viser et venndiagram til slutt. Det første vi gjør er å sette opp en tom krysstabell vi skal fylle ut. Tabellen skal vise hvor mange som tok og ikke tok Sosialkunnskap, og hvor mange som tok og ikke tok Internasjonal engelsk.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | |||
Ikke-internasjonal engelsk | |||
Totalt |
Neste steg er å fylle inn informasjonen vi får fra teksten. Den aller første informasjonen vi får, er at det er totalt elever i gruppen. Dette tallet skal stå der “Totalt”-raden krysser “Totalt”-kolonnen, altså nederst til høyre i tabellen.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | |||
Ikke-internasjonal engelsk | |||
Totalt | 26 |
Videre får vi vite at totalt elever valgte Sosialkunnskap. Dette skriver vi der “Totalt”-raden krysser “Sosialkunnskap”-kolonnen. Tilsvarende var det totalt elever som valgte Internasjonal engelsk, så vi plasserer dette tallet på tilsvarende måte.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 16 | ||
Ikke-internasjonal engelsk | |||
Totalt | 20 | 26 |
Til sist ser vi at elever valgte verken Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk. Disse hører til der “Ikke Internasjonal engelsk”-raden krysser “Ikke Sosialkunnskap”-kolonnen.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 16 | ||
Ikke internasjonal-engelsk | 6 | ||
Totalt | 20 | 26 |
Dette var det siste av informasjonen vi fikk fra teksten, og vi må regne oss fram til hva som skal stå i de resterende rutene. Vi kan fylle ut alle rader og kolonner hvor vi har to av tre ruter fylt ut. Vi starter med den nederste raden. Der står det at av elever, så valgte elever Sosialkunnskap. Det betyr at elever ikke valgte Sosialkunnskap.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 16 | ||
Ikke-internasjonal engelsk | 6 | ||
Totalt | 20 | 6 | 26 |
Vi kan regne oss fram til resten av rutene på samme måte. Det kan gå litt raskere hvis vi bruker at de to første rutene i hver rad og kolonne skal summeres opp til den tredje ruten. (I den nederste raden har vi (.) Vi bruker denne tankegangen på kolonnen helt til høyre. I første rute står det , og i siste rute står det . Da må det stå i den andre ruten, fordi . På samme måte skal det stå i den første ruten i “Ikke Sosialkunnskap”-kolonnen.
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 0 | 16 | |
Ikke-internasjonal engelsk | 6 | 10 | |
Totalt | 20 | 6 | 26 |
Nå mangler bare første kolonne. I første rute må det stå , fordi . I andre rute må det stå , fordi .
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 16 | 0 | 16 |
Ikke-internasjonal engelsk | 4 | 6 | 10 |
Totalt | 20 | 6 | 26 |
Vi kan også lage et venndiagram. Da starter vi med to avgrensede områder – et som representerer Internasjonal engelsk, og et som representerer Sosialkunnskap. Vi vet at det var elever som valgte verken Sosialkunnskap eller Internasjonal engelsk. Derfor hører dette tallet hjemme på utsiden av begge områdene.
Siden det er totalt elever og av disse ikke tok noen av de nevnte fagene, så skal de resterende elevene fordeles på de to sirklene. Vi vet allerede at elever tok Sosialkunnskap, og det må bety at alle de som tok Internasjonal engelsk også tok Sosialkunnskap. Til sist kan vi konkludere med at elever tok Sosialkunnskap uten å ta Internasjonal engelsk, fordi vi skulle fordele totalt elever.
Siden alle som tok Internasjonal engelsk også tok Sosialkunnskap, kunne vi også ha laget venndiagrammet som vist under.
Svar: Krysstabell:
Sosialkunnskap | Ikke sosialkunnskap | Totalt | |
Internasjonal engelsk | 16 | 0 | 16 |
Ikke-internasjonal engelsk | 4 | 6 | 10 |
Totalt | 20 | 6 | 26 |
Venn-diagram – ett av følgende:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Krysstabell
En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.
For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Gruppering av data i lynkurset Statistikk (del I) og artikkelen Venn-diagram og mengdelære i lynkurset Sannsynlighet (del II).
b)
Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra gruppen har valgt Sosialkunnskap, men ikke Internasjonal engelsk.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi kan bruke
Krysstabell
En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.
Vi trekker ut en tilfeldig elev, og vil finne sannsynligheten for at denne eleven har valgt Sosialkunnskap men ikke Internasjonal engelsk. Fra krysstabellen vår vet vi at det er slike elever av totalt . Det gir en sannsynlighet på
Svar: Sannsynligheten er .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Gunstig utfall
Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.
Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.
Se Hendelse
For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynligheten?.
For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.
c)
Det viser seg at eleven som er trukket ut, har valgt Internasjonal engelsk.
Bestem sannsynligheten for at denne eleven også har valgt Sosialkunnskap.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker:
Vi skal regne ut
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Svaret kan gis med én gang, fordi vi vet at alle som valgte Internasjonal engelsk også valgte Sosialkunnskap. Derfor er sannsynligheten . Det kan også regnes ut som i forrige oppgave. Fra krysstabellen vet vi at elever valgte Internasjonal engelsk, og av disse valgte Sosialkunnskap. Derfor er sannsynligheten
Svar: Sannsynligheten er 1, eller .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Gunstig utfall
Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.
Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.
Se Hendelse
For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Venn-diagram og mengdelære og Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?
For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleieren.
Oppgave 5 (7 poeng) Nettkode: E-4B5G
Fra og med måneden etter at et barn blir født, og til og med måneden før barnet fyller 18, får foreldrene utbetalt barnetrygd. Satsen for barnetrygd har vært 970 kroner per barn per måned siden 1996.
Stian ble født i september 1996.
a)
Hvor mye fikk foreldrene hans totalt utbetalt i barnetrygd?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Vi skal regne ut hvor mye penger foreldrene til Stian fikk i barnetrygd gjennom hele Stians oppvekst. Vi antar at året i år er .
Stian fylte år i september i . For årene fra og med til og med fikk derfor foreldrene til Stian måneder støtte per år. Det er totalt måneder støtte. I tillegg fikk de støtte i oktober, november og desember i , og i månedene før september i . Det er måneder ekstra, så totalt har foreldrene fått støtte i måneder. Støtten er på kroner per måned, så totalt er dette
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Addisjon
Er det samme som å legge til, legge sammen eller plusse sammen.
Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet, 12, kalles en sum.
Mellom leddene skrives plusstegn +.
Statistikk
Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.
For flere forklaringer og eksempler om på statistikk, se artikkelen Gruppering av data.
For å øve mer, se oppgavesettet om datainnsamling i Treningsleieren.
b)
Tabellen til høyre viser konsumprisindeksen hvert år fra 1996 til 2015.
Stian mener at satsen for barnetrygd burde vært regulert i samsvar med konsumprisindeksen.
Vis at satsen for barnetrygd da skulle vært 1423 kroner per barn per måned i 2015.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi skal bruke sammenhengen mellom verdi og
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
Svar:
Vi vil vite hva de kronene fra er verdt i . Vi har sammenhengen . Vi vet at barnetrygden i var , og fra tabellen vet vi at konsumprisindeksen i og var henholdsvis og . Vi setter dette inn i ligningen over, og får Vi multipliserer begge sider av ligningen med , og forkorter. Da får viVi regner ut at . Det betyr at barnetrygden skulle ha vært på hvis den skulle ha fulgt konsumprisindeksen, akkurat som vi skulle vise.
Mer om:
Denne oppgaven er om
Konsumprisindeks
Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.
(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
For flere forklaringer og eksempler på brøk, se artikkelen Hva er en brøk?.
Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.
c)
Lag et regneark som viser hvor mye Stians foreldre totalt ville fått utbetalt dersom satsen for barnetrygd hvert år hadde blitt regulert i samsvar med konsumprisindeksen.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker:
Vi kan bruke Excel til å finne ut hvor mye barnetrygden skulle ha vært på vært år, og legge sammen.
Det første vi gjør er å kopiere tabellen med konsumprisindeksene. Vi vil også ha en kolonne for hvor mye satsen for barnetrygden skal være vært år, antall måneder støtte foreldrene fikk hvert år, og en kolonne for den mottatte støtten. Vi husker at satsen var på kroner i .
I skal foreldrene motta kroner i støtte. Vi regner ut dette i Excel ved å skrive
i ruten . Videre vil vi regne ut støtten i . Da må vi først regne ut hva satsen skal være. Det gjør vi på samme måte som i forrige oppgave, og vi får at $$\text{sats i 1997} = \text{sats i 1996}\cdot\frac{\text{indeks i }1997}{\text{indeks i }1996}.$$ Derfor skriver vi
i rute . I rute skriver vi tilsvarende som i :
Slik fortsetter vi nedover. Til slutt summerer vi hele -kolonnen for å få det totale barnebidraget.
Dermed skulle foreldrene ha mottatt i barnebidrag, hvis satsen hadde fulgt konsumprisindeksen.
Under viser vi en oversikt over alle kommandoene som er brukt.
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Brutto månedslønn
Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.
Netto månedslønn
Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
For flere forklaringer og eksempler på data, se artikkelen Data. Lynkurset om regneark er under utarbeidelse og kommer snart.
Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4B5L
I regnearket nedenfor har vi lagt inn timelønn, skatteprosent og antall timer Sara, Vilde og Peder arbeidet i juli.
a)
Lag et regneark som vist ovenfor. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne bruttolønn, skattetrekk og nettolønn.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Her kan vi bruke Excel.
Vi bruker Excel. Vi trenger bare å gjøre utregninger for Sara, og så “dra” rutene fra hennes kolonne over til Vildes og Peders. Dette viser noe av styrken til regneark. Vi viser en oversikt over alle kommandoer som er brukt nederst.
Det aller første vi gjør, er å skrive av regnearket.
Vi starter med utregning av bruttolønnen. Sara jobbet i timer med ordinær timelønn, der timelønnen er . Lønnen for ordinært arbeid må derfor være disse produktet av disse to. Derfor skriver vi
i rute . Vi drar ruten over til Vilde og Peder for å gjøre samme utregning der. Videre jobbet Sara i timer med overtidstillegg. Et lønnstillegg på gir en vekstfaktor på , så lønnen for overtidsarbeidet er
Dette skriver vi i rute . Bruttolønnen er summen av og .
Videre skal vi regne ut skattetrekket. Sara skatter (i prosent) av den ordinære lønnen , som gir en skatt på . Videre skatter hun av overtidslønnen , som gir skatt på . Derfor skriver vi
som det totale skattetrekket i rute . Nettolønnen får vi ved å trekke skatten fra bruttolønnen. Som vanlig trekker vi utregningene fra Saras kolonne over til Vildes og Peders.
Her er oversikten over alle utregningene som er brukt.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om regneark,
Skatt
Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.
Brutto månedslønn
Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.
Netto månedslønn
Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.
Lynkurset om regneark, skatt- og lønnberegning er under utarbeidelse og kommer snart.
b)
Sara har regnet ut at hun i gjennomsnitt betalte 20,3 % i skatt av bruttolønnen hun hadde i juli. Hun har derfor satt opp at hun har en gjennomsnittlig skatteprosent på 20,3.
Vis hvilke beregninger Sara har gjort. Legg inn formler i de røde cellene i siste rad i regnearket fra oppgave a), slik at du også får med gjennomsnittlig skatteprosent for Vilde og Peder.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Her trenger vi bare å forholde oss til
Skatt
Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.
Brutto månedslønn
Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.
Sara har sett på hvor mye hun har skattet totalt i forhold til bruttolønnen. Hun har skattet kroner av en bruttolønn på , og da blir skatteprosenten lik
På helt tilsvarende måte kan vi finne Vildes gjennomsnittlige skatteprosent ved å skrive
i rute , og for Peder skriver vi
Resultatet er vist under. For å få svaret opp som prosent, markerer man cellene, velger “Formater celler” og klikker på prosent.
Svar: Sara har skattet i gjennomsnitt
Mer om:
Denne oppgaven er om
Skatt
Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.
Brutto månedslønn
Det beløpet du mottar fra arbeidsgiver i måneden, før skatter og avgifter er trukket fra.
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
For flere forklaringer og eksempler på prosent, se artikkelen Hva er prosent?.
For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.
Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4B5R
Gitt og . Se figuren ovenfor.
, og .
a)
Forklar hvorfor og er formlike.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
To trekanter er
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Trekantene og er formlike hvis de har parvis like store vinkler. Faktisk behøver de bare å ha to parvis like store vinkler, for da vil den siste vinkelen være bestemt av vinkelsummen på . Vi ser at både og har en rett vinkel. Videre deler begge trekantene . Siden vinkelsummen i en trekant er , vil den siste vinkelen i begge trekantene være , og derfor er trekantene formlike.
Svar: Begge trekantene har en rett vinkel, og . Dermed er også den siste vinkelen lik.
Mer om:
Denne oppgaven er om
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Rett vinkel
En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.
For flere forklaringer og eksempler på formlikhet, se artikkelen Formlikhet og kongruens.
For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.
b)
Bestem lengden av .
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
I to
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Vi vet fra forrige oppgave at og er formlike. Derfor har vi at tilsvarende sider i de to trekantene har det samme forholdet. Med andre ord er
Vi vet at og , så alle brøkene over har verdi . Vi vet også at , så vi får at
Vi vil finne verdien for som passer inn i likningen over. Det gjør vi ved å multiplisere ligningen med 36 på begge sider, og forkorte. Vi får
Vi regner ut at høyre side i likningen over er 24, så .
Svar: .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Rett vinkel
En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.
For flere eksempler og forklaringer se artikklene Formlikhet og kongruens.
For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.
c)
Vis at forholdet mellom arealet av og arealet av er .
Løsningsforslag c)
Jeg tenker:
Her kan vi sette opp
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Areal
Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.
Trekant
En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Proporsjon
Proporsjon betyr at to forhold er like.
Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d,
Arealet til en trekant med lengde og høyde er . I velger vi lengden til å være og høyden til å være , så arealet av er
I lar vi lengden være og høyden være , så er arealet av
Nå har vi funnet uttrykk for arealene av trekantene, men det er variabler inne i dem som vi ikke vet hva er ( og ). Vi kunne brukt Pytagoras’ setning til å finne disse sidene. Vi viser hvordan vi gjør dette til slutt, men foreløpig prøver vi å se på forholdet mellom arealene uten å sette inn tall for lengdene og høydene. Da får vi
Vi kan forkorte over og under brøkstreken, og da står vi igjen med
I forrige oppgave brukte vi formlikhet til å vise at . Vi kan snu på brøkene, og da får vi
Setter vi dette inn i uttrykket , får vi at forholdet mellom arealet av trekantene er
og det var akkurat det vi ville vise.
Vi kunne også ha funnet lengdene til og ved å bruke Pytagoras’ setning, deretter funnet begge arealene og sett på forholdet. Vi vet nemlig at
og
Da får vi
og
Da blir forholdet
.
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Vinkel
En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.
Areal
Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Måltall
Det tallet vi leser av på en linjal, en akse, en vekt eller liknende, kaller vi et måltall.
For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med areal og volum, se artikkelen Tom forteller om areal og se artikkelen Tom forteller om volum.
For å øve mer, se oppgavesettet om areal og formlikhet og kongruens i Treningsleieren.
Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4B60
Bildet ovenfor viser en torus. Torusen er laget av et aluminiumsrør. Figurene viser tverrsnitt av torusen.
Volumet av en torus er gitt ved
der er radius i aluminiumsrøret og er avstanden fra sentrum i det sirkelformede hullet i midten av torusen til sentrum i aluminiumsrøret.
I en torus er cm og cm.
a)
Bestem volumet av denne torusen. Gi svaret i liter.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker:
Her skal vi sette inn målene av
Torus
En torus er det ringformede omdreiningslegeme som framkommer ved at en dreier en sirkel 360° i rommet omkring en linje i dens plan med linjen utenfor sirkelen.
Overflaten er , og volumet er der er sirkelens radius og er avstanden fra sirkelens sentrum til omdreiningsaksen.
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Det første vi gjør er å regne om målene til desimeter, fordi det gjør det enklere å konvertere til liter. Vi har at , og . Dette skal vi sette inn i formelen
Vi får
så volumet av torusen er cirka .
Svar: Cirka .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Geometri
Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
For flere eksempler og forklaringer om volum se lynkurset Geometri - areal og volum.
For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.
b)
I en annen torus er cm. Torusen har volum L.
Bestem omkretsen av sirkelen med radius .
Løsningsforslag b)
Jeg tenker:
Vi skal sette målene inn i
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
Det første vi må gjøre er å finne ut hva lengden er. Vi ser fra figuren i oppgaven at . Vi vet hva er, men vi må finne .
Først gjør vi om til , og til . Vi setter målene inn i ligningen
og får
Vi vil finne ut hvilken verdi for som passer inn i ligningen over. Vi kan endre rekkefølgen på faktorene, og skrive dette som
Vi regner ut at , så vi har at
Vi vil ha alene på én side av likhetstegnet, og derfor dividerer vi med på hver side og forkorter. Vi får
Vi regner ut at , så . Da må
Nå kan vi fortsette med å regne ut omkretsen av sirkelen. Vi fant ut at . Omkretsen av sirkelen er dermed
Svar: Cirka .
Mer om:
Denne oppgaven er om
Geometri
Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
For flere forklaringer og eksempler på volum, se artikkelen Tom forteller om volum. For flere eksempler og forklaringer om å løse andregradslikninger, se lykurset Andregradslikninger.
For å øve mer, se oppgavesettet om andregradslikninger i Treningsleieren.