Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1011 2015 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 8 oppgaver. Del 2 har 7 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
orklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Olje og dollarkurs: (http://www.bbc.com/, 5.07.2016)
Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4AQC

$1, 0$ g salt inneholder $0, 4$ g natrium. Helsemyndighetene anbefaler et inntak av natrium på maksimalt $2, 4$ g per dag.

a)

Hvor mange gram salt kan du maksimalt innta i løpet av en dag dersom du skal følge anbefalingen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må finne ut hvor mye salt man må spise for å få i seg $2, 4 g$ natrium.

La $x$ betegne den maksimale mengden salt man skal innta i følge anbefalingen. Vi vet at hvert gram salt inneholder $0, 4$ gram natrium, og da må $x$ gram salt inneholde $x \cdot 0, 4$ natrium. Hvis vi skal spise såpass mye salt at vi er helt på yttergrensen til det som er anbefalt å ha i seg av natrium, så må mengden natrium i saltet være $2, 4 g$ . Dette kan vi sette opp som en likning. $x \cdot 0, 4 = 2, 4$ Vi vil finne ut hva $x$ er, og vil derfor ha $x$ alene på venstre side av likhetstegnet. Vi dividerer med $0, 4$ og forkorter. $\begin{matrix} \frac{x \cdot 0, 4}{0, 4} = \frac{2, 4}{0, 4} \\ x = \frac{2, 4}{0, 4} \end{matrix}$ For å regne ut brøken $\frac{2, 4}{0, 4}$ , kan det være lurt å multiplisere med 10 over og under brøkstreken. Dette er for å få bort kommategnet; heltall er ofte lettere å regne med. Vi har at $\frac{2, 4}{0, 4} = \frac{2, 4 \cdot 10}{0, 4 \cdot 10} = \frac{24}{4} .$ Vi kan regne ut $\frac{24}{4}$ for hånd, men vi vet at $6 \cdot 4 = 24$ , så $\frac{2, 4}{0, 4} = 6$ . Dermed er $x = 6,$ og vi kan konkludere med at man ikke burde spise mer enn 6 gram salt hver dag.

Svar: 6 gram.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Målingsforhold, Løs en førstegradslikning! i lynkurset Likninger eller Lineære likninger i lynkurset Likning med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesetet om førstegradslikninger i Treningsleieren.

b)

100 g pizza inneholder 0,8 g salt. En porsjon pizza er beregnet til 300 g.

Hvor mange gram salt inneholder en porsjon pizza?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må multiplisere opp mengden salt slik at det tilsvarer en hel porsjon pizza, altså 300 gram, og ikke bare 100 gram.

Hvis 100 gram pizza inneholder $0, 8 g$ salt, så må tre ganger så mye pizza, altså 300 gram, inneholde tre ganger så mye salt. Dermed blir mengden salt i en porsjon pizza lik $3 \cdot 0, 8 g = 2, 4 g$ .

Svar: $2, 4$ gram.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

og regning med forhold.

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Målingsforhold.

c)

Hvor mange prosent av anbefalt daglig inntak av natrium svarer dette til?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Legg merke til at vi har $2, 4$ gram salt, ikke natrium! Derfor blir ikke svaret $100 %$ . Vi kan regne ut hvor mange

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

av anbefalt daglig inntak av salt det er i stedet.

Én måte å løse problemet på er å regne ut hvor mye natrium det er i $2, 4$ gram salt. Det er $0, 4 g$ natrium i $1 g$ salt, så i $2, 4 g$ salt er det $2, 4 \cdot 0, 4 g = 0, 96 g$ natrium. Anbefalt daglig mengde er $2, 4 g$ , og $0, 96 g$ er $\frac{0, 96}{2, 4} \cdot 100 % = 0, 4 \cdot 100 % = 40 %$ av $2, 4 g$ . Brøken $\frac{0, 96}{2, 4}$ kan være litt kjedelig å regne ut for hånd, men det lønner seg å multiplisere med 100 over og under brøkstreken. Det finnes dog en annen måte å løse oppgaven på – i stedet for å finne ut hvor mye natrium det er i 300 gram pizza, kan vi finne prosentandelen direkte ved å finne ut hvor mange prosent salt det er i 300 gram pizza i forhold til den anbefalte mengden. Det er $2, 4 g$ salt, og anbefalt daglig inntak er $6 g$ , så prosentandelen blir $\frac{2, 4}{6} \cdot 100 % .$ Vi vil regne ut $\frac{2, 4}{6}$ . Først multipliserer vi med 10 over og under brøkstreken, for å få bort kommategnet. Da får vi $\frac{2, 4}{6} = \frac{2, 4 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{24}{60} .$ Før vi begynner å dividere for hånd er det lurt å faktorisere ut telleren og nevneren og forkorte. Vi starter med 24, som vi umiddelbart kan se er delelig med 2 siden det er et partall. Vi har $24 = 2 \cdot 12$ . Vi ser at 12 også er delelig med 2, så $24 = 2 \cdot (6 \cdot 2)$ . Til sist er $6 = 2 \cdot 3$ , så vi har $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Deretter til 60, som også er et partall. Vi ser at $60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 .$ Dermed kan vi skrive brøken som $\frac{24}{60} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} .$ Her kan vi forkorte to totall og ett tretall over og under brøkstreken, og vi står igjen med $\frac{24}{60} = \frac{2}{5} .$ Vi vet at $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100} = 40 %$ , så svaret er $40 %$ , noe vi fikk til helt uten å dividere for hånd.

Svar: Mengden natrium i én porsjon pizza er $40 %$ av anbefalt daglig inntak.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Prosent av hva da? og Regneregler i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4AQG

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

$f (x) = \frac{1}{2} x$
$g (x) = - x + 3$

a)

Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem, og bestem skjæringspunktet grafisk.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Begge

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonene

er rette linjer (

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære

), så vi trenger bare å se på to punkter på hver av

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafene

for å kunne tegne hele grafen.

Vi skal tegne grafene til funksjonene $f (x) = \frac{1}{2} x$ og $g (x) = - x + 3$ . Først tegner vi et koordinatsystem. Ofte er det slik at funksjonene man får oppgitt oppfører seg mest spennende rundt origo, så vi lar $x$ og $y$ variere mellom $- 5$ og 5.

Vanligvis, når vi skal tegne grafen til en funksjon $f (x)$ , så velger vi en del punkter på $x$ -aksen, finner funksjonsverdiene i disse punktene, og tegner en kurve gjennom punktene vi får. I dette tilfellet trenger vi faktisk bare å bruke to punkter på $x$ -aksen per graf for å tegne dem helt riktige. Det er fordi begge funksjonene er lineære, altså rette linjer. Dette kan vi se ved at det ikke er noen ledd i funksjonene hvor det står noe med $x$ opphøyd i noen annen potens; funksjonene er på formen $a x + b$ der $a$ og $b$ er konstante tall.

Vi starter først med $f$ , og setter inn $x = 0$ . Da får vi at $f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$ , så den rette linjen som er grafen til $f$ går gjennom origo. Videre kan vi sette inn $x = 2$ . Vi velger akkurat 2 for å få bort brøken. Vi har at $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ . Nå har vi funnet at grafen til $f$ er en rett linje som går gjennom punktene $(0, 0)$ og $(2, 1)$ . Vi tegner inn disse punktene i koordinatsystemet, og bruker linjalen for å tegne en rett linje mellom dem.

Vi gjør det samme for $g$ . I $x = 0$ får vi at funksjonsverdien til $g$ er $g (0) = - 0 + 3 = 3$ , og i $x = 1$ er funksjonsverdien $g (1) = - 1 + 3 = 2$ . Grafen går altså gjennom punktene $(0, 3)$ og $(1, 2)$ . Vi tegner de to punktene og linjen mellom dem inn i koordinatsystemet.

På grafen ser vi at de to grafene krysser hverandre når $x = 2$ og $y = 1$ , så skjæringspunktet er $(2, 1)$ .

Svar: Skjæringspunktet er $(2, 1)$ . Se graf over.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Rette linjer (lineære funksjoner) og Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettene om grafisk fremstilling og skjæringspunkt i Treningsleieren.

b)

Bestem skjæringspunktet ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

er der grafene krysser. Vi må derfor finne en

x

som gir samme funksjonsverdi for både

f

g

; dette gjør vi ved å sette funksjonene lik hverandre og løse ligningen.

Vi vil finne en $x$ som er slik at $f (x) = g (x)$ . En annen måte å skrive dette på er $\frac{1}{2} x = - x + 3,$ hvor vi bare har fylt inn definisjonene av henholdsvis $f (x)$ og $g (x)$ . Vi vil finne en $x$ som passer inn i ligningen over; dette tilsvarer å løse ligningen. En god strategi er å få alt som har med $x$ å gjøre på én side av likhetstegnet, og alt annet på en annen side. For å få flyttet $x$ -en fra høyre side til venstre, adderer vi med $x$ på hver side. $\begin{matrix} x + \frac{1}{2} x = x - x + 3 \\ x + \frac{1}{2} x = 3 \end{matrix}$ Vi faktoriserer ut $x$ på venstre side. $(1 + \frac{1}{2}) \cdot x = 3$ Her kan vi trekke sammen de to tallene på venstre side. $\frac{3}{2} \cdot x = 3$ For å få $x$ alene igjen på venstre side, multipliserer vi med $\frac{2}{3}$ på hver side. $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x = \frac{2}{3} \cdot 3$ Her kan vi forkorte både på venstre og høyre side, og vi står igjen med $x = 2 .$ Dette betyr at $f (2) = g (2)$ . Vi vil finne $y$ -koordinaten til skjæringspunktet også; dette gjør vi rett og slett ved å sette inn 2 i enten $f$ eller $g$ . Vi ser at $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1,$ så skjæringspunktet er $(2, 1)$ .

Svar: Skjæringspunktet er $(2, 1)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

Funksjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

Lineære funksjoner

Skjæringspunkt

Graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafisk løsning av likninger. Hvis du vil vite mer om lineære likninger, se artikkelen Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavesettene om grafisk fremstilling og skjæringspunkt i Treningsleieren.

Visste du at:

Vi har funnet skjæringspunktet til to linjer ved regning, akkurat som vi gjorde grafisk i forrige oppgave.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4AQL

Et år hadde Siri en reallønn på 360 000 kroner. Den nominelle lønnen til Siri dette året var 450 000 kroner.

Bestem konsumprisindeksen dette året.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Dette er en oppgave om

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

. Da skal vi sannsynligvis bruke formelen som viser sammenhengen mellom indeks, reallønn og

Nominell lønn

Nominell lønn er det vi vanligvis bare kaller lønn.

Om du slår opp i en ordbok finner du følgende om ordene nominell;

nominell
det er to måter å bruke ordet på
1 - som gjelder (bare) i navnet det er han som er lederen, iallfall nominelt
2 - pålydende obligasjonene har en nominell verdi på 1000 kr / nominell inntekt inntekt uttrykt i pengeverdien til enhver tid / nominell rente, til forskjell fra effektiv rente

nominell lønn

. Nominell lønn er den lønnen det står at man har fått utbetalt, og reallønnen er nominell lønn der man har justert for prisendringene i samfunnet (altså konsumnprisindeksen).

Vi har følgende sammenheng mellom konsumprisindeks, reallønn og nominell lønn: $\frac{reallønn}{100} = \frac{nominell lønn}{konsumprisindeks} .$ Vi vil finne konsumprisindeksen, og da kan uttrykket over tolkes som en likning der konsumprisindeksen er ukjent. Derfor lar vi $x$ betegne konsumprisindeksen videre; altså skal vi finne en verdi for $x$ som passer inn i likningen $\frac{reallønn}{100} = \frac{nominell lønn}{x} .$ Vanligvis er det lurt å først løse likningen, og deretter sette inn verdiene vi vet hva er – men i dette tilfellet er det like greit å sette inn tallene med én gang. Vi vet at reallønnen til Siri er på $360 000$ kroner og den nominelle lønnen på $450 000$ kroner. Vi setter dette inn i uttrykket over og får $\frac{360 000}{100} = \frac{450 000}{x} .$ På venstre side dividerer vi $360 000$ på 100, og det tilsvarer å fjerne to nuller fra $360 000$ . Dermed må vi løse følgende likning: $3 600 = \frac{450 000}{x} .$ Vi vil gjerne få $x$ opp fra nevneren på høyre side; derfor multipliserer vi med $x$ på hver side av likhetstegnet og forkorter. $\begin{matrix} 3 600 \cdot x = \frac{450 000}{x} \cdot x \\ 3 600 \cdot x = 450 000 \end{matrix}$ For å få $x$ alene på venstre side, dividerer vi med $3 600$ på hver side. $\frac{3 600 \cdot x}{3 600} = \frac{450 000}{3 600}$ Vi forkorter på venstre side og får $x = \frac{450 000}{3 600} .$ Nå må vi regne ut brøken som står på høyre side. Et godt første steg er å krysse bort like mange nuller i tallene over og under brøkstreken. I vårt tilfelle er det to. Dette kan vi gjøre fordi det betyr at teller og nevner har 100 som felles faktor: $\frac{450 000}{3 600} = \frac{4 500 \cdot 100}{36 \cdot 100} = \frac{4 500}{36} \cdot \frac{100}{100} = \frac{4 500}{36} .$ La oss regne ut $\frac{4 500}{36}$ for hånd. Vi starter med å skrive delestykket på en linje.

I utgangspunktet skal vi finne ut hvor mange ganger tallet til høyre (36) går opp i det første sifferet på venstre side (4). At et tall går opp $n$ ganger i et annet, betyr at $n$ multiplisert med det første tallet er mindre enn det siste. Hvis vi skal multiplisere 36 med et heltall som er større eller lik 0 for å få det til å bli mindre enn 4, må vi multiplisere med 0, siden 36 allerede er større enn 4. Derfor går 36 kun 0 ganger opp i 4, så vi må ta med enda et siffer.

Altså skal vi finne ut hvor mange ganger 36 går opp i 45. Svaret her er 1, fordi $36 \cdot 2 = 72$ , og det er større enn 45. Det vi har regnet ut nå er at første siffer i svaret er 1.

Nå skal vi multiplisere sifferet vi fikk med nevneren (36). Da får vi $36 \cdot 1 = 36$ . Dette tallet setter vi under de to sifrene i telleren som vi brukte i sted (45). Neste steg er å trekke fra tallet vi skrev under telleren (36) fra de to sifrene som står på tilsvarende plass i telleren (45). Dette blir $45 - 36 = 9$ .

	4	5	0	0	:	3	6	=	1
-	3	6
		9

Vi fortsetter prosessen, og etter vi har utført utregningen står vi igjen med følgende.

	4	5	0	0	:	3	6	=	1	2	5
-	3	6
		9	0
	-	7	2
		1	8	0
	-	1	8	0
				0

Dermed blir svaret 125. Setter vi dette inn i ([o3]), får vi $x = 125;$ altså var konsumprisindeksen 125.

Svar: Konsumprisindeksen var 125.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

I Ofte stilte spørsmål har Orakelen forklart hva konsumprisindeks er. For flere eksempler og forklaringer om divisjon se artikkelen Divisjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om divisjon i Treningsleieren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4AQO

Tabellen ovenfor viser pris per softis og antall solgte softis i tre ulike kiosker en dag.

Gjør beregninger og avgjør om pris per softis og antall solgte softis er omvendt proporsjonale størrelser.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

At to størrelser er

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proposjonale

betyr at produktet av to samsvarende tall er det samme. Dette kan vi sjekke ved å multiplisere tallene i oppgaven.

For at størrelsene skal være omvendt proposjonale, må produktet av tallene i hver kolonne i tabellen være konstant. Altså må $20 \cdot 200$ være det samme som $25 \cdot 160$ og $40 \cdot 100$ . Hvis alle er like er størrelsene omvendt proposjonale; vi må derfor regne ut og se. Vi ser først at $20 \cdot 200 = 4 000 .$ Dette kan vi regne ut i hodet; hvis vi har tall med mange nuller på slutten, kan vi legge sammen antall nuller og multiplisere det som står igjen. Ovenfor har vi tre nuller til sammen, og det som står igjen er $2 \cdot 2 = 4$ , så svaret blir $4 000$ .

Nå må vi regne ut et av de andre produktene og sammenligne. Vi kunne regnet ut $25 \cdot 160$ , men regnestykket $40 \cdot 100$ er lettere å finne ut av hva er, så vi tar det først. Når vi multipliserer med 100 er det eneste vi trenger å gjøre å legge til to nuller. $40 \cdot 100 = 4 000$ Det ble det samme som forrige gang. Hvis tallet hadde vært forskjellig fra $4 000$ , hadde vi ikke trengt å regne ut det siste produktet, siden vi allerede hadde visst at størrelsene ikke var omvendt proposjonale. Det var derfor vi valgte å ta det letteste produktet først; det kunne ha spart oss tid på eksamen. Så må vi sjekke det siste produktet – størrelsene er nemlig omvendt proposjonale hvis (og bare hvis) $25 \cdot 160$ er lik $4 000$ . Vi regner ut for hånd.

		³
			2	5	$\cdot$	1	6	0	=	4	0	0	0
			0	0
	1	2	0
+	2	5
=	4	0	0	0

Dermed har vi regnet ut at $25 \cdot 160 = 4 000 .$ Dette er det samme som tidligere, og det betyr at størrelsene er omvendt proposjonale.

Svar: Størrelsene er omvendt proposjonale.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proporsjonale størrelser

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multiplikasjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Proporsjonalitet. Hvis du vil vite mer om multiplikasjon se artikkelen Multiplikasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om multiplikasjon og omvendt proporsjonale funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4AQQ

Formlene nedenfor kan brukes for å anslå hvor høyt et barn vil bli i voksen alder.

Gutt: (fars høyde + mors høyde) $\cdot 0, 5 + 7$ cm

Jente: (fars høyde + mors høyde) $\cdot 0, 5 - 7$ cm

Mors og fars høyde oppgis i centimeter.

En familie består av mor, far og barna Ola og Kari. Mor er 160 cm høy, og far er 180 cm høy.

a)

Hvor høye vil Ola og Kari bli i voksen alder ifølge formlene ovenfor?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må sette inn mors og fars høyde inn i

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formlene

oppgitt.

Vi vet at mor er $160 cm$ høy, og at far er $180 cm$ høy. Ola er en gutt, så da setter vi inn dette i den første oppgitte formelen. $\begin{matrix} (fars høyde + mors høyde) \cdot 0, 5 + 7 cm \\ = & (180 cm + 160 cm) \cdot 0, 5 + 7 cm \\ = & (340 cm) \cdot 0, 5 + 7 cm \\ = & 170 cm + 7 cm \\ = & 177 cm \end{matrix}$ Dermed blir Ola $177 cm$ i følge formelen. Vi merker oss at vi regnet ut at $(fars høyde + mors høyde) \cdot 0, 5 = 170 cm$ , og at vi skal regne ut akkurat det samme når vi finner Karis høyde. Det sparer oss tid å bruke dette tallet direkte, i stedet for å regne det ut igjen. Kari er en jente, og vi bruker jenteformelen for å finne hennes anslåtte høyde: $170 cm - 7 cm = 163 cm;$ altså er det anslått at Kari blir $163 cm$ .

Svar: $177 cm$ for Ola, og $163 cm$ for Kari.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

og tallregning.

Hvis du vil vite mer om de fire regneartene se lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

For å øve mer, se oppgavesettet de fire regneartene i Treningsleieren.

Visste du at:

Tallet $(fars høyde + mors høyde) \cdot 0, 5$ er

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnittet

av foreldrenes høyde. Formlene sier altså at gutter blir

7 cm

høyere enn foreldrenes gjennomsnitt, og at jenter blir

7 cm

lavere enn gjennomsnittet.

b)

En annen familie består av mor, far og sønnen Per, som nå er voksen. Far er 186 cm høy. Per er 189 cm høy.

Hvor høy er mor i denne familien ifølge den første formelen ovenfor?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må bruke

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

for guttens anslåtte høyde, men her må vi løse en

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

for å komme fram til svaret.

Formelen i oppgaven sier at $Pers høyde = (fars høyde + mors høyde) \cdot 0, 5 + 7 cm .$ Vi vet at Per er 189 høy og at faren er 186 høy, og vi setter dette inn i uttrykket ovenfor. $189 cm = (186 cm + mors høyde) \cdot 0, 5 + 7 cm$ Dette tolker vi som en ligning med mors høyde som ukjent. Derfor lar vi $x$ betegne høyden til mor. Vi dropper foreløpig alle enhetsbetegnelser (altså der hvor det står cm) for enkelhets skyld. Ligningen blir da $189 = (186 + x) \cdot 0, 5 + 7 .$ Vi vil ha $x$ alene på en side, og det første vi gjør er å flytte alle ledd uten $x$ i seg på venstre side. Derfor subtraherer vi med $7$ på hver side av likhetstegnet. $\begin{matrix} 189 - 7 & = (186 + x) \cdot 0, 5 + 7 - 7 \\ 182 & = (186 + x) \cdot 0, 5 \end{matrix}$ Vi ser at $x$ -en vår er inne i en parentes. Vi kunne multiplisert ut parentesen, men i stedet multipliserer vi med 2 på begge sider. $\begin{matrix} 182 \cdot 2 & = (186 + x) \cdot 0, 5 \cdot 2 \\ 364 & = 186 + x \end{matrix}$ Det siste vi må gjøre for å få $x$ alene er å subtrahere 186 fra hver side. $\begin{matrix} 364 - 186 & = 186 + x - 186 \\ 178 & = x \end{matrix}$ Dermed har vi funnet ut at moren er $178 cm$ høy.

Svar: Moren er $178 cm$ høy.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineære likninger

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Lineære likninger og lynkurset Likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære likninger i Treningsleieren.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4AQU

På bildet ovenfor ser du rundballer som inneholder fôr til husdyr. En rundball har tilnærmet form som en sylinder med diameter og høyde lik 1,2 m.

a)

Gjør overslag og bestem volumet av en rundball. Gi svaret i liter.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi skal gjøre

Overslag

Brukes for å vite omtrent hvor mye noe vil koste eller hvor stort noe er. Overslag utføres ofte i hodet og tallene som inngår i regnestykket rundes av. Det finnes regler for avrunding, slik at forskjellen mellom nøyaktig svar og overslaget ikke blir for stort.

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

overslag

. Vi kan runde av tallene vi har fått, men vi må huske på å holde avrundingene balanserte – vi må ikke runde for mye opp eller ned.

Rundballene har cirka form som en

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

, og formelen for volumet

V

til en sylinder med radius

r

og høyde

h

V = π \cdot r^{2} \cdot h .

Dette kan vi huske ved at volumet til et rett prisme er arealet til grunnflaten (som i dette tilfellet er

π \cdot r^{2}

) multiplisert med høyden (

h

Én måte å gjøre overslag på her er å runde høyden ned til 1 m og radius ned til $0, 5$ m. Da har vi rundet ganske mye ned, så vi har råd til å runde $π$ opp til 4. Det anslåtte volumet blir da $V \approx 4 \cdot (0, 5 m)^{2} \cdot 1 m .$ Her er det lurt å vite at $0, 5^{2}$ er det samme som en fjerdedel. Derfor blir volumet cirka $V \approx 4 \cdot \frac{1}{4} m^{3} = 1 m^{3} .$ Vi skal gi svaret i liter, og vi husker at én kubikkmeter gir 1 000 liter (som tilsvarer ett tonn i vekt). Volumet blir derfor cirka 1 000 L.

Svar: Cirka 1000 L.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Overslag

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

overslag

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

Areal

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

Omkrets

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

Sylinder

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

Sirkel

For flere eksempler og forklaringer se En sylinder i lynkurset Geometri - areal og volum.

En artikkel om overslag er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om overslagsregning i Treningsleieren.

Visste du at:

Det egentlige volumet er rundt 1 357 L, så vi kunne ha rundet flere ting oppover.

b)

Gjør overslag og bestem overflaten av en rundball.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke de samme avrundingene som før.

Arealet til en sylinder er lik arealet av lokket, bunnen og sideflaten summert. Lokket og bunnen har samme areal, nemlig $π \cdot r^{2}$ ; siden har areal lik omkretsen til sirkelbunnflaten multiplisert med høyden, $2 \cdot π \cdot r \cdot h$ . Vi anslår at høyden er 1 meter, radius i bunnen og toppen er $0, 5$ meter og at $π$ er 4. Da blir overslaget av overflaten lik

$\begin{matrix} 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot h & \approx 2 \cdot 4 \cdot (0, 5 m)^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 0, 5 m \cdot 1 m \\ = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} m^{2} + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} m^{2} \\ = 2 m^{2} + 4 m^{2} = 6 m^{2} . \end{matrix}$

Svar: Overflaten er på cirka $6 m^{2}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Overslag

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

Overslag

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

For flere eksempler og forklaringer se En sylinder i lynkurset Geometri - areal og volum.

En artikkel om overslag er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettene om overslagsregning og overflateareal i Treningsleieren.

Visste du at:

Det eksakte arealet er rundt $6, 8$ kvadratmeter, så vi var ikke så langt unna.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4AQY

Forskere skal prøve ut en ny test for å avgjøre om en person er smittet av en bestemt sykdom.

Testen skal prøves ut på 360 personer. På forhånd vet forskerne at 60 av disse personene er smittet av sykdommen, mens resten ikke er smittet.

Det viser seg at 68 av personene tester positivt (det vil si at testen viser at de er smittet av sykdommen). Av disse 68 er det 10 personer som forskerne vet ikke er smittet.

a)

Tegn av og fyll ut krysstabellen nedenfor.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt
Tester ikke positivt
Sum

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi skal sette opp en

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

. I hver rute skal vi skrive hvor mange mennesker som passer med både det som står i kolonnen vi er i og i raden vi er i. For eksempel skal vi i første rute skrive hvor mange som både er smittet og som testet positivt.

Først lager vi tabellen slik den er satt opp i oppgaven.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt
Tester ikke positivt
Sum

Vi vet at det var totalt 68 personer som testet positivt. Det betyr at vi skal skrive 68 i raden “Tester positivt” under kolonnen “Sum”. Vi vet også at det var 360 personer med i forsøket, og siden 68 personer testet positivt, må de resterende $360 - 68 = 292$ ikke ha testet positivt. Dette fører vi inn under “Sum” i rekken ``Tester ikke positivt. Vi vet også at det er totalt 360 personer med i forsøket totalt, så vi skriver 360 nederst i høyre hjørne.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt			$68$
Tester ikke positivt			$292$
Sum			$360$

Vi kan gjøre det tilsvarende i “Sum”-raden, med de som er smittet og ikke smittet. Av 360 er 60 personer smittet, så $360 - 60 = 300$ er ikke smittet.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt			$68$
Tester ikke positivt			$292$
Sum	$60$	$300$	$360$

I ruten øverst til venstre skal vi altså skrive hvor mange av de smittede som testet positivt for sykdommen. Helst skulle alle som var smittet teste positivt, men av de 68 personene som testet positivt var det 10 som ikke var smittet. Da var det $68 - 10 = 58$ av de smittede som testet positivt. Siden det var 10 personer uten sykdommen som testet positivt, skriver vi dette inn i ruten ved siden av.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	$58$	$10$	$68$
Tester ikke positivt			$292$
Sum	$60$	$300$	$360$

Siden bare 58 av de 60 smittede testet positivt, må 2 av de smittede ikke ha testet positivt. Dette fyller vi inn der “Smittet”-kolonnen krysser “Tester ikke positivt”-kolonnen. I den siste ruten skal vi skrive hvor mange som ikke hadde sykdommen, og som heller ikke testet positivt. Vi slår opp i tabellen vår og ser at det var 292 personer som ikke testet positivt, men vi vet fra tidligere at 2 av disse faktisk hadde sykdommen. Derfor skal vi skrive $292 - 2 = 290$ i den siste ruten.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	$58$	$10$	$68$
Tester ikke positivt	$2$	$290$	$292$
Sum	$60$	$300$	$360$

Vi kan sjekke om vi har skrevet den riktige tabellen ved å se at det som står i “Sum”-kolonnen faktisk er summen av det som står i sin rad. I den første raden er $58 + 10 = 68$ , $2 + 290 = 292$ og $60 + 300 = 360$ , så det stemmer. Det samme må gjøres med “Sum”-raden også, hvis vi vil vite at alt er korrekt.

Svar:

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	$58$	$10$	$68$
Tester ikke positivt	$2$	$290$	$292$
Sum	$60$	$300$	$360$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Gruppering av data.

b)

Bestem sannsynligheten for at en person som er smittet, tester positivt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må gå til

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabellen

vår og se på

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

mellom det som står i de riktige rutene.

Vi ser på krysstabellen vår. Sannsynligheten for at en person som er smittet tester positivt, er $\frac{antall personer som er smittet og tester positivt}{antall personer som er smittet} \cdot 100 % .$ Dette kan vi finne ut av ved hjelp av krysstabellen vår. Under “Smittet”-kolonnen i “Tester positivt”-raden står det 58, så 58 av personene som var smittet testet positivt. Totalt var det 60 personer som var smittet, så brøken over er lik $\frac{58}{60},$ eller $\frac{29}{30}$ ved å dele på to over og under brøkstreken. Hvis vi vil ha sannsynligheten i prosent, multipliserer vi med $100 %$ , og sannsynligheten blir $\frac{58}{60} \cdot 100 % .$ Denne brøken kan vi regne ut på vanlig måte for hånd, men vi kan forenkle den litt først. Vi kan flytte 100 inn i brøken og krysse ut to nuller. $\frac{58 \cdot 100}{60} = \frac{5800}{60} = \frac{580}{6}$ Veldig ofte er det en god idé å faktorisere brøker før man regner dem ut for hånd. Vi ser at både telleren og nevneren ender med sifre som er partall, og det betyr at begge tallene kan divideres på 2. Vi vet at $\frac{6}{2} = 3$ . For å finne $\frac{580}{2}$ er det lurt å først prøve seg på $\frac{58}{2}$ . Dette kan vi skrive som $\frac{58}{2} = \frac{50 + 8}{2} = \frac{50}{2} + \frac{8}{2},$ og vi vet at $\frac{50}{2} = 25$ og at $\frac{8}{2} = 4$ . Derfor er $\frac{58}{2} = 25 + 4 = 29$ , og følgelig er $\frac{580}{2} = 290$ . Dermed kan vi skrive brøken ([7b]) som $\frac{580}{6} = \frac{290 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{290}{3},$ der vi har forkortet den felles faktoren 2. Vårt nye regnestykke er altså $\frac{290}{3}$ . Dette kan virke som en lang omvei for å gjøre utregningen bare litt lettere, men meningen er at vi skal gjøre utregningene ovenfor i hodet. Det er dessuten god trening, og hvis man mestrer hoderegningen er denne måten å gjøre det på veldig grei.

Vi lurer kanskje på om vi kan faktorisere 290 enda mer slik at vi kan stryke 3-tallet i nevneren også. Her kan vi bruke et triks. Det viser seg at det er slik at et tall er delelig med 3 hvis og bare hvis tallets tverrsum er delelig med 3. Tverrsummen er alle sifrene til tallet lagt sammen; i dette tilfellet er tverrsummen $2 + 9 + 0 = 11$ . Vi vet at 11 ikke er delelig med 3, og derfor er heller ikke 290 delelig med 3. Derfor må vi regne ut $\frac{290}{3}$ på vanlig måte.

2	9	0,	0	:	3	=	9	6,	6
2	7
	2	0
-	1	8
		2	0

Vi kan fortsette videre, men vi vil få samme svar igjen. Vi får dermed at svaret blir cirka $96, 66 %$ .

Svar: Cirka $96, 66 %$ , eller $\frac{29}{30}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proporsjon

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer om sannsynlighet se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet? Hvis du vil vite mer om prosent og prosentregning, se lynkurset Prosent. Hvis du vil vite mer om divisjon og de fire regneartene, se artikkelen Divisjon.

For å øve mer, se oppgavesettene om sannsynlighet, prosentregning og divisjon i Treningsleieren.

Visste du at:

Sannsynligheten for at hendelsen inntreffer er den samme som prosentandelen av de som ble smittet og testet positivt, av antall som ble smittet totalt.

c)

Bestem sannsynligheten for at en person som tester positivt, ikke er smittet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Denne oppgaven er nesten helt lik som den forrige. Vi må igjen gå til krysstabellen vår og se på forholdet mellom det som står i de riktige rutene.

Sannsynligheten for at en person som tester positivt ikke er smittet, er $\frac{antall personer som testet positivt og som ikke var smittet}{antall personer som testet positivt} \cdot 100 % .$ Som i forrige oppgave ser vi på krysstabellen vår. Der står det at 10 av de som testet positivt ikke var smittet, og at det var 68 personer som testet positivt totalt. Brøken over blir da $\frac{10}{68} \cdot 100 % \approx 0, 1471 \cdot 100 % = 14, 71 % .$ Altså er det rundt $14, 71 %$ sannsynlighet for at en person som ikke er smittet tester positivt for sykdommen. Dette kalles en “falsk positiv”.

Svar: Cirka $14, 71 %$ , eller $\frac{5}{34}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

Krysstabell

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Proporsjon

Sannsynlighet

For å øve mer, se oppgavesettene om sannsynlighet, prosentregning og divisjon i Treningsleieren.

Visste du at:

Igjen er det en sammenheng mellom sannsynlighet og prosentandel.

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4AR8

Funksjonene $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$f (x) = - x$

$g (x) = - x^{2} + x + 2$

$h (x) = \frac{1}{2} x + 1$

Nedenfor ser du grafene til seks ulike funksjoner. Hvilken graf er grafen til $f$ , hvilken graf er grafen til $g$ , og hvilken graf er grafen til $h$ ? Begrunn svarene dine.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Først kan vi bruke det vi vet om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

egenskaper for å skille de forskjellige

Graf

graf

. Stikkord er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

, linearitet og

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstant

. Etter vi har kategorisert grafene, kan vi bruke innsetting til å finne ut nøyaktig hvilke grafer som tilhører hvilke funksjoner.

Vi kunne valgt å sette inn forskjellige verdier for $x$ i funksjonene $f$ , $g$ og $h$ og se hvilke grafer som passer inn, men dette tar gjerne en del tid. For å gjøre arbeidet mindre kan vi først luke ut hvilke grafer som ikke kan tilhøre de forskjellige funksjonene.

Det første vi ser er at fire av grafene er rette linjer, altså at de er grafer til lineære funksjoner. Lineære funksjoner er funksjoner på formen $a x + b$ , der $a$ og $b$ er konstanter. Vi kan dermed se at både $f$ og $g$ er lineære: For $f$ er $a = - 1$ og $b = 0$ , og for $h$ er $a = \frac{1}{2}$ og $b = 1$ . Derfor kan ikke grafene $A$ og $F$ tilhøre $f$ eller $h$ . Derimot må en av dem tilhøre $g$ , siden $g$ ikke er lineær og $A$ og $F$ er de eneste ikke-lineære grafene.

Videre kan vi se på funksjonenes konstantledd. Funksjonen $f$ har 0 som konstantledd, så grafen til $f$ må gå gjennom origo (midten av koordinatsystemet). Derfor må grafen til $f$ enten være $B$ eller $D$ . Konstantleddet til $h$ er 1, så grafen til $h$ må krysse punktet $(0, 1)$ i koordinatsystemet. De eneste grafene som gjør det er $C$ og $E$ , så det må være en av disse.

Vi kan også se på stigningstallet til de lineære (rette) funksjonene, altså det tallet som multipliseres med $x$ . For $f$ har vi $f (x) = - x = - 1 \cdot x$ , så stigningstallet er -1. Kandidatene til grafen til $f$ er $B$ og $D$ , og vi ser at $B$ er den eneste av de to med stigningstall -1. Vi ser dette fordi stigningstallet betyr hvor mange enheter på $y$ -aksen man går per enhet på $x$ -aksen; $B$ går én nedover, mens $D$ går to. Vi gjør det samme for $h$ . Stigningstallet til $h$ er $\frac{1}{2}$ , så grafen til $h$ skal være ganske slak. Kandidatene er $C$ og $E$ , og $E$ er den eneste av de to som passer. Dermed har vi funnet ut at grafen til $f$ er $B$ , og at grafen til $h$ er $E$ .

Til slutt må vi finne ut av hvilken av grafene $A$ og $F$ som passer til $g$ . Dette kan vi gjøre ved å sammenligne nullpunkter. Vi ser at $A$ har et nullpunkt i $x = 1$ og at $F$ har et nullpunkt i $x = 2$ . Vi setter disse verdiene inn i funksjonsuttrykket til $g$ . Om $g (1) = 0$ så er $A$ riktig graf, og hvis $g (2) = 0$ så er $F$ riktig graf. Vi får at $\begin{matrix} g (1) & = - 1^{2} + 1 + 2 = - 1 + 3 = 2, og \\ g (2) & = - 2^{2} + 2 + 2 = - 4 + 4 = 0; \end{matrix}$ dermed har $g$ et nullpunkt i $x = 2$ , så $F$ er den riktige grafen.

Svar: Grafen til $f$ er $B$ , grafen til $g$ er $F$ og grafen til $h$ er $E$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstant

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Rette linjer (lineære funksjoner) og Hvofor ser grafen ut som den gjør? i lynkurset Funksjoner (del I). Hvis du vil vite enda mer om funksjoner og deres grafer se lynkurset Funksjoner (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i Treningsleieren.

Visste du at:

Vi kunne også ha skilt de to ikke-lineære grafene ved å sammenligne deres toppunkter. For å finne toppunktet til en funksjon kan vi bruke . Alt dette er en del av en gren av matematikken som heter funksjonsdrøfting. Hvis du vil vite mer om funksjonsdrøfting, se lynkurset Funksjonsdrøfting.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4ARH

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnadene $K (x)$ kroner og inntektene $I (x)$ kroner ved produksjon og salg av $x$ enheter av varen er gitt ved

$K (x) = 8, 5 x^{2} + 25 x + 11900, 10 \leq x \leq 100$
$I (x) = 790 x, 10 \leq x \leq 100$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafene til funksjonene $K$ og $I$ i samme koordinatsystem.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Vi ser på hva

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-verdier

er og

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstanleddet

til

K .

Vi skal tegne grafene for $x$ -verdier mellom 10 og 100, så vi drar $x$ -aksen slik at vi ser disse verdiene. Vi ser også at konstantleddet til $K$ er veldig høyt, så vi må ha ganske høye verdier på $y$ -aksen for å kunne se hele grafen. Vi velger å la $y$ -aksen gå til $100 000$ . Vi kan eventuelt høyreklikke på en av koordinataksene og stille inn verdiene der, eller så kan vi tegne grafen først og tilpasse aksene etterpå. I “Skriv inn”-boksen skriver vi

K(x) = Funksjon[8.5x^2 + 25x + 11900, 10, 100]

og deretter trykker vi “Enter”. Vi skriver “Funksjon[...]” fordi vi bare vil tegne grafen mellom $x = 10$ og $x = 100$ . Etter det skriver vi det tilsvarende for $I (x)$ .

I(x) = Funksjon[790x, 10, 100]

Resultatet blir noe tilsvarende bildet under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Koordinatsystem, Rette linjer (lineære funksjoner) og Hvor ser grafen ut som den gjør? i lynkurset Funksjoner (del I). For enda mer om funksjoner se Funksjoner (del II).

For å øve, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleieren.

b)

For hvilke verdier av x er inntektene og kostnadene like store?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Inntektene og kostnadene er like store der

Graf

grafene

krysser hverandre.

Vi bruker den samme

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen som i forrige oppgave. Vi ser at grafene krysser hverandre i to punkter. For å finne ut nøyaktig hvor disse punktene er, bruker vi kommandoen

Skjæring[ <Funksjon>, <Funksjon>, 
<Startverdi for x>, <Sluttverdifor x> ]

i “Skriv inn”-boksen. Vi kan også trykke direkte på skjæringspunktene. Vi fyller inn funksjonene våre, og lar $x$ gå mellom 10 og 100:

Skjæring[ I, K, 10, 100 ]

Resultatet blir slik.

I algebrafeltet kan vi se at koordinatene til $A$ og $B$ er henholdsvis $(20, 15 800)$ og $(70, 55 300)$ . Det betyr at for $x = 20$ og for $x = 70$ så er inntektene og kostnadene like store.

Svar: For $x = 20$ og for $x = 70$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Graf

graf

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se Grafisk løsning av likninger. For mer om funskjoner se lynkurs Funksjonsdrøfing.

Lynkurs om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

Visste du at:

I denne oppgaven har vi løst likningen $8, 5 x^{2} + 25 x + 11 900 = 790 x$ ved hjelp av graftegneren. Vi kunne også ha løst det ved å bruke annengradsformelen. Det finnes en stor teori bak å løse slike og mye mer kompliserte likninger ved hjelp av datamaskin, og man kan løse likninger på datamaskin som er praktisk umulig å løse for hånd. Denne teorien kalles numerisk matematikk.

c)

Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir overskuddet da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi må lage et uttrykk for overskuddet og finne ut når dette er størst.

Vi bruker samme Geogebra-fil som i forrige oppgave. Vi vet at overskudd er inntekt minus kostnad. Med andre ord er $O (x) = I (x) - K (x)$ et uttrykk for bedriftens overskudd. Vi kan regne ut og se at

$O (x) =$

$790 x - (8, 5 x^{2} + 25 x + 11 900) = - 8, 5 x^{2} + 765 x - 11 900$

og deretter plotte dette inn i koordinatsystemet, men vi kan i stedet skrive

O(x) = I(x) - K(x)

direkte inn i “Skriv inn”-boksen. Resultatet er vist under.

Vi vil finne når overskuddet er størst. Vi bruker kommandoen

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Vi fyller inn funksjonen vår, og vi lar $x$ gå fra 10 til 100, som vanlig.

Ekstremalpunkt[ O, 10, 100 ]

Resultatet er vist under.

I algebrafeltet ser vi at toppunktet til grafen er $(45, 5 312.5)$ . Det betyr at overskuddet har sin høyeste verdi, $5 312, 5$ , når $x = 45$ .

Svar: Overskuddet har størst verdi, $5 312, 5$ , når $x = 45$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

Funksjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Graf

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Grafisk løsning av likninger og Topp- og bunnpunkt i lynkurs Funksjonsdrøfting.

Lynkurs om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleieren.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4ARL

For 3 år siden kjøpte Silje en ny scooter. Verdien av scooteren har falt med 15 % per år. I dag har scooteren en verdi på ca. 8 600 kroner.

a)

Bestem scooterens verdi om 2 år.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Hvis vi

Multiplikasjon

multipliserer

et beløp med

0, 85

, så blir resultatet det opprinnelige beløpet redusert med

15 %

. Dette kan vi bruke to ganger for å finne scooterens verdi om to år. Vi merker oss også at hvis scooteren faller

15 %

i verdi to ganger, så er det ikke det samme som at den faller

30 %

i verdi én gang.

Scooterens verdi er $8 600$ kroner, og den vil falle $15 %$ i verdi hvert år. Vi kan finne hva scooterens verdi er etter ett år ved å multiplisere med vekstfaktoren $1 - \frac{15}{100} = 0, 85 .$ Hvis vi er usikre på hvordan vi kommer fram til vekstfaktoren, kan vi regne oppgaven fra bunnen av. Vi vil da finne ut hva $15 %$ av $8 600$ er. Det regner vi ut slik: $15 % av 8 600 = \frac{8 600}{100} \cdot 15 = 1 290 .$ Prisen etter ett år vil da være $8 600 - 1 290 = 7 310$ kroner. Vi kan gjøre det samme igjen med $7 310$ kroner i stedet for $8 600$ for å finne scooterens verdi etter to år, men la oss først se på en snarvei som kan gjøre hele oppgaven lettere. I ligningen over finner vi $15 %$ av beløpet og trekker dette fra totalbeløpet. Vi kunne i stedet ha funnet $85 %$ av totalbeløpet, og vi ville ha fått svaret med én gang: $85 % av 8 600 = \frac{8 600}{100} \cdot 85 = 7 310 .$ I ligningen over skriver vi $\frac{8 600}{100} \cdot 85$ . Dette er det samme som $8 600 \cdot \frac{85}{100} = 0, 85 .$ Dette er vekstfaktoren. Altså kunne vi ha kommet fram til scooterens verdi direkte ved å multiplisere $8 600$ med $0, 85$ . Det samme kan vi gjøre for år nummer to:

$s c o o t e r e n s v e r d i e t t e r t o å r = 85 % a v 7310$

Vi må da regne ut dette,

$0, 85 \cdot 7310 = 6213, 5$

Altså er scooterens verdi etter to år lik $6 213, 5$ kroner. Vi kunne kommet fram til samme svar ved å multiplisere $8 600$ med $0, 85$ to ganger: $8 600 \cdot 0, 85 \cdot 0, 85 = 8 600 \cdot (0, 85)^{2} = 6 213, 50 .$

Svar: Scooterens verdi etter to år er $6 213, 50$ kroner.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

Prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Visste du at:

Vi kan gjøre trikset vårt med å multiplisere med $0, 85$ mer generelt. Hvis vi har en verdi, $x$ , som minker $p %$ i verdi hvert år, så er verdien etter $n$ år lik $verdi = x \cdot {(\frac{100 - p}{100})}^{n} .$ I denne oppgaven er $x = 8 600$ , $p = 15$ og $n = 2$ .

En annen nyttig ting vi kan ta fra denne oppgaven er at $p %$ av $x$ alltid er lik $x \cdot \frac{p}{100}$ . For eksempel er $70, 4 %$ av $63$ lik $63 \cdot 0, 704$ .

b)

Hvor mye kostet scooteren da den var ny?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her må vi tenke litt baklengs: Vi har en verdi som faller med $15 %$ hvert år. Hva må den opprinnelige verdien være dersom verdien etter tre år er $8 600$ ? Vi må komme fram til en ligning.

La oss først prøve å finne verdien til scooteren året før, og deretter prøve å generalisere metoden vår. La $z$ være den ukjente verdien til scooteren året før. Vi vet at den falt med $15 %$ i verdi til $8 600$ kroner. Det betyr at $8 600$ kroner er $85 %$ av verdien $z$ . Med andre ord, $\frac{z}{100} \cdot 85 = 8 600 .$ Dette kan skrives på en annen måte som $z \cdot 0, 85 = 8 600 .$ Vi vil finne $z$ , så vi dividerer med $0, 85$ på hver side av likhetstegnet, forkorter venstre side og regner ut høyre side. $\begin{matrix} \frac{z \cdot 0, 85}{0, 85} = \frac{8 600}{0, 85} \\ z \approx 10117, 65 . \end{matrix}$ Dette betyr at verdien året før var cirka $10117, 65$ kroner. Dette kan vi gjøre igjen, med $10117, 65$ i stedet for $8 600$ , og deretter enda en gang – men vi kan løse hele problemet med én ligning hvis vi tenker litt lurt. La $x$ være den ukjente opprinnelige verdien til Siljes scooter. Etter tre år med synking i verdi har den gått ned til $8 600$ kroner. Det betyr at $x \cdot (0, 85)^{3} = 8 600 .$ Dette er nesten det samme som vi gjorde i forrige oppgave, bare andre veien. Denne ligningen kan vi løse ved å dividere med $(0, 85)^{3}$ på begge sider av likhetstegnet og forkorte: $\begin{matrix} \frac{x \cdot (0, 85)^{3}}{(0, 85)^{3}} = \frac{8 600}{(0, 85)^{3}} x \approx 14 003, 66 \end{matrix}$ Dette betyr at scooteren opprinnelig kostet cirka $14 003, 66$ kroner, eller cirka 14 000 kroner.

Svar: Scooteren kostet opprinnelig cirka $14 003, 66$ kroner, eller cirka 14 000 kroner.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler lynkurset XXXX.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4ARR

Diagram. Den svarte grafen synker fra 85 USD til 50 USD= 6,7 NOK. Den grønne grafen stiger fra 47 USD til 90 USD. Utviklingen skjer i november, desember og januar.

Den svarte grafen i diagrammet ovenfor viser hvordan prisen for et fat olje, gitt i dollar (USD), utviklet seg fra slutten av oktober 2014 til slutten av januar 2015. Den grønne grafen viser hvordan dollarkursen utviklet seg i den samme perioden.

Dollarkurs er prisen for 1 dollar (USD) i norske kroner (NOK).

Prisen for et fat olje (i USD) er gitt til venstre i diagrammet og dollarkursen (i NOK) til høyre i diagrammet.

a)

Hvor mange USD har prisen for et fat olje gått ned i løpet av perioden som er vist i diagrammet? Hvor mange prosent tilsvarer dette?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må se på differansen mellom der oljeprisen startet og der den sluttet. Disse tallene finner vi henholdsvis til venstre og til høyre der den svarte grafen krysser kantene.

Den svarte grafen og tallene på venstre side viser oljeprisen. Den starter på rundt 85 USD per fat, og avtar til cirka 50 USD per fat. Det betyr at den har falt $85 - 50 = 35$ USD på tre måneder. Vi skal regne ut hvor mange prosent dette er av utgangspunktet, altså av 85 USD. Det blir $\frac{35}{85} \cdot 100 % \approx 41, 18 % .$

Svar: Oljeprisen har gått ned cirka 35 USD, som tilsvarer om lag $41, 18 %$ .

Mer om:

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Bestem prisen for et fat olje i NOK i starten av perioden som er vist i diagrammet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må først finne

Valutakurs

Valutakursen forteller hvilken verdi pengene i to land har i forhold til hverandre.

Denne kursen bestemmes fra dag til dag i de enkelte land.

kursen

for dollar, og deretter multiplisere med prisen på et fat olje i USD.

Vi er interesserte i den grønne grafen, og vi undersøker den helt til venstre av diagrammet. Den starter på et tall cirka midt mellom 45 og 50 av tallene til venstre. Vi er derimot interesserte i de grønne tallene som står til høyre, siden det er de som sier noe om dollarkursen. Hvis vi følger linjene til høyre side, ser vi at et tall midt mellom 45 og 50 på venstre side svarer til et tall mellom $6, 7$ og $6, 5$ på høyre side, med andre ord cirka $6, 6$ . Dermed kostet 1 USD rundt $6, 6$ NOK i starten av perioden. Prisen for et fat olje var 85 USD, og i NOK var dette $85 \cdot 6, 6 = 561 .$ Altså kostet et fat olje 561 NOK i begynnelsen av perioden.

Svar: Et fat olje kostet 561 NOK i begynnelsen av perioden.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Valutakurs

Valutakursen forteller hvilken verdi pengene i to land har i forhold til hverandre.

Denne kursen bestemmes fra dag til dag i de enkelte land.

valutakurs

Lynkurset om valuta er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om norske penger og andre valuta i Treningsleiren.

c)

Hvor mange NOK har oljeprisen gått ned i løpet av perioden som er vist i diagrammet? Hvor mange prosent tilsvarer dette?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Først må vi finne ut hva som var prisen i NOK for et fat olje i slutten av perioden, og så kan vi regne ut prisforskjellen.

Oljeprisen gikk ned fra 85 USD til 50 USD. Vi må regne ut dollarkursen i slutten av perioden for å omregne 50 USD til NOK. Vi ser at den grønne grafen er på cirka $7, 7$ i slutten av perioden, så 50 USD blir til $50 \cdot 7, 7 = 385$ norske kroner. Det betyr at oljeprisen sank med $561 - 385 = 176$ NOK. Vi vil vite hvor mange prosent dette er av startbeløpet, altså av 561. Det blir $\frac{176}{561} \cdot 100 % \approx 31, 37 % .$

Svar: Prisen i NOK for et fat olje falt med 176 NOK, eller cirka $31, 37 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Valutakurs

Valutakursen forteller hvilken verdi pengene i to land har i forhold til hverandre.

Denne kursen bestemmes fra dag til dag i de enkelte land.

Valutakurs

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler i lynkurset

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Lynkurset om valuta er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om norske penger og andre valuta i Treningsleiren.

d)

Sammenlikn svarene i oppgave a) og oppgave c), og kommenter.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Her ser vi på svarene i a) og c) og vi bruker prosentpoeng.

Ifølge svaret i deloppgave a):

oljeprisen har gått ned cirka 35 USD, som tilsvarer om lag $41, 17 %$ .

Ifølge svaret i deloppgave c):

prisen i NOK for et fat olje falt med 176 NOK, eller cirka $31, 37 %$ .

Når vi sammenligner to prosenttall, kan vi bruke prosentpoeng. Vi ser at prisen i USD falt omlag $10$ prosentpoeng mer enn prisen i NOK. Hvis vi ser på dollarkursen i samme tidsrom, ser vi at denne steg mye.

Svar: Prisen i USD falt om lag ti prosentpoeng mer ned enn prisen i NOK. Dette kan vi knytte til at dollarkursen steg mye i tidsrommet.

Mer om:

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 4 (8 poeng) Nettkode: E-4ARX

Under ser du Sofies timeliste for februar. Ordinær arbeidstid er 37,5 timer per uke. Arbeid utover dette regnes som overtid.

Timeliste februar
Uke 6	40 timer
Uke 7	41 timer
Uke 8	37,5 timer
Uke 9	39 timer

a)

Lag et regneark som vist i figur 1 nedenfor, og bruk dette til å bestemme nettolønnen til Sofie i februar. Legg inn opplysningene fra timelisten i de gule cellene, og lag formler i de mørkegrå cellene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi lager regneark i programmet Excel. Det første vi må gjøre er å fyllle inn antall timer Sofie har jobbet i de forskjellige ukene i februar, og deretter regne ut overtid og lønn.

Først setter vi opp regnearket som i oppgaven.

I første rekke er vi ute etter timelisten. Først skriver vi på de forskjellige uketallene. I den utfylte timelisten står det at vi er i ukene 6, 7, 8 og 9. Ved siden av uketallene skriver vi hvor mye Sofie arbeidet den uken. Det står på høyre side av der uketallene står i timelisten.

	E	F	G	H
1
2	TIMELISTE
3	Uke	Antall timer totalt	Antall timer ordinær arbeidstid	Antall timer overtid
4	6	40	37,5
5	7	41	37,5
6	8	37,5	37,5
7	9	39	37,5
8	SUM

Nå må vi regne ut hvor mye Sofie jobbet i overtid hver uke. I timelisten vi fylte ut står det at antall timer med ordinær arbeidstid er $37, 5$ – og det betyr at alt over $37, 5$ timer regnes som overtid. I uke 6 jobbet Sofie dermed $40 - 37, 5 = 2, 5$ timer overtid. Dette er vi bedt om å skrive en generell formel for, så i ruten til høyre, altså i H4, skriver vi

=F4-G4

Dette betyr at vi tar antall ordinære arbeidstimer, som står i G4, blir trukket fra det faktiske antallet timer Sofie jobbet, som står i F4. Vi skal ikke skrive

=40-37.5

direkte inn i ruten, for poenget med slike regneark er at tallene endrer seg etter vært som vi endrer informasjonen.

Vi skal skrive det tilsvarende videre nedover til H7, altså til uke 9. Vi gjør dette ved å markere H4 og “dra” ruten nedover. Dermed ser regnearket slik ut.

	E	F	G	H
1
2	TIMELISTE
3	Uke	Antall timer totalt	Antall timer ordinær arbeidstid	Antall timer overtid
4	6	40	37,5	2,5
5	7	41	37,5	3,5
6	8	37,5	37,5	0
7	9	39	37,5	1,5
8	SUM

I SUM-rekken skal vi summere kolonnene vi er i; i F8 skal vi altså summere alle F-rutene over. Dette gjør vi ved å skrive

=F4+F5+F6+F7

i ruten F8. Vi “drar” ruten bortover til H8, og regnearket ser slik ut:

	E	F	G	H
1
2	TIMELISTE
3	Uke	Antall timer totalt	Antall timer ordinær arbeidstid	Antall timer overtid
4	6	40	37,5	2,5
5	7	41	37,5	3,5
6	8	37,5	37,5	0
7	9	39	37,5	1,5
8	SUM	157,5	150	7,5

Så går vi over til lønnsberegningen. I C11 skal vi skrive inn ordinær lønn, det vil si lønnen Sofie får av den ordinære arbeidstiden. Antall timer ordinær arbeidstid står i rute G8, som vi nettopp regnet ut, og den ordinære timelønnen står i rute C3. Dermed skriver vi i C11 det følgende:

=G8*C3

I C12, altså lønn for overtid, gjør vi det samme med overtidsarbeidet og -timelønnenlønnen. Bruttolønnen er ordinær lønn addert med overtidslønnen, og vi skriver

=C11+C12

i ruten C13. Deretter skal vi regne ut pensjonstrekket, som er $2 %$ av ordinær lønn. Prosenttallet står i C5, og for å regne ut trekket multipliserer vi tallet i C5 med bruttolønnen i C11.

=C11*C5

Fagforeningskontingenten er det samme tallet hver måned, uavhengig av lønnen, og denne avgiften står i C7. Derfor skriver vi bare “=C7” i denne ruten. Trekkgrunnlaget er da summen av C14 og C15, trukket fra bruttolønnen i C13. Skattetrekket regner vi ut på samme vis som med pensjonstrekket:

=C16*C6

Netto månedslønn får vi ved å trekke skatten fra trekkgrunnlaget.

=C16-C17

Til slutt står vi igjen med følgende regneark.

	A	B	C
10	LØNNSBEREGNING
11		Ordinær lønn	24000
12		Lønn for overtid	1800
13		Bruttolønn	25800
14		Pensjonstrekk (av ordinær lønn)	480
15		Fagforeningskontigent	470
16		Trekkgrunnlag	24850
17		Skattetrekk	9443
18		Netto månedslønn	15407

Dermed er netto månedslønn lik $15 407$ kroner.

Svar: Netto månedslønn er lik $15 046$ kroner.

Mer om:

Denne oppgaven er om regneark,

Netto månedslønn

Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.

netto månedslønn

og lønnsberegning.

Lynkurs om regneark og lønnsberegning er under utarbeidelse og kommer snart.

b)

Utvid regnearket fra oppgave a) som vist i figuren under. Lag formler i de mørkegrå cellene. Bruk regnearket til å bestemme hvor stort beløp Sofie overførte til sparekontoen i februar.

20	SPARING
21	Overføring til sparekonto, 20% av netto månedslønn
22	Ekstra overføring til sparekont, 60% av netto månedslønn som overstiger 15 000 kr
23	Sum overføring sparekonto

Sofie overfører noe av månedslønnen til en sparekonto. Se figuren over. Beløpet som overføres til sparekontoen, rundes av nedover til nærmeste hele krone.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi utvider regnearket og regner videre som i forrige oppgave.

Først skal vi regne ut C21, altså overføring til sparekontoen som består av $20 %$ av nettolønnen til Sofie. Nettolønnen står i C18, så i C21 skriver vi

=C18*20%

I neste rute skal vi regne ut den ekstra sparingen. Sofie vil nemlig spare $60 %$ av de pengene hun tjener utover 15 000. Da må vi først trekke 15 000 fra nettolønnen, og regne ut $60 %$ av dette. Vi må dessuten sørge for at vi ikke får negative tall hvis nettolønnen er under 15 000. Det gjør vi slik:

=IF(C18>15000; (C18-15000)*60%; 0)

Her har vi lagt til en kommando som sier at hvis netto månedslønn ikke er over 15 000, så skal vi heller ikke spare ekstra feriepenger.

I den siste ruten summerer vi de to foregående. Vi står igjen med følgende regneark.

20	SPARING
21	Overføring til sparekonto, 20% av netto månedslønn	3081,4
22	Ekstra overføring til sparekont, 60% av netto månedslønn som overstiger 15 000 kr	244,2
23	Sum overføring sparekonto	3325,6

Vi husker at svaret skal rundes nedover, så Sofie overførte $3 325$ kroner til sparekontoen i februar.

Svar: Sofie overførte $3 325$ kroner til sparekontoen i februar.

Mer om:

Denne oppgaven er om Regneark,

Netto månedslønn

Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.

Netto månedslønn

og lønnsberegning.

Lynkurs om regneark og lønnsberegning er under utarbeidelse og kommer snart.

c)

Anta at Sofie jobbet nøyaktig 37,5 timer hver av de fire ukene i februar.

Bruk regnearket du laget i oppgave a) og b), til å bestemme hvor stort beløp hun da ville ha overført til sparekontoen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Alt vi trenger å gjøre er å fylle inn de nye arbeidstimene i regnearket, og lese av der feriepengene står.

Vi fyller inn $37, 5$ i hver av rutene vi skal fylle timetall inn i. Regnearket gjør jobben for oss, og vi leser av 2 858,20 kroner. Det skal rundes ned til 2 858 kroner.

Svar: Sofie ville ha overført $2 858$ kroner til sparekontoen i februar.

Mer om:

Denne oppgaven er om Regneark,

Netto månedslønn

Lønnen du får utbetalt. Da er skatt, fagforeningskontigent og lignende trukket fra bruttolønna.

Netto månedslønn

og lønnsberegning.

Lynkurs om regneark og lønnsberegning er under utarbeidelse og kommer snart.

Visste du at:

Dette viser styrken i å skrive formler i stedet for å legge inn verdiene direkte. Vi trenger bare skrive inn formlene én gang, og neste gang vi vil regne ut noe trenger vi bare å endre på noen få ruter.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4AX0

I figuren ovenfor er $A D = 5$ , $B D = 10$ , $D F = 3$ og $B G = 9$ .

a)

Bestem $A F$ og $F G$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Først tegner vi opp alt vi vet, og deretter ser vi hvordan vi kan finne

Lengde

Lengde er målet for avstand. Lengden måles langs linjer, både rette og buede. Enheten for lengde er meter, eller andre mål avledet fra meter.

lengdene

. Siden vi har en tegning av en trekant er det sannsynlig at vi skal bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras setning

Først tegner vi av tegningen og setter på lengdene vi fikk oppgitt.

Vi er ute etter lengdene AF og FG. La oss først se på $Δ A D F$ . Vi vet at $∠ D F A$ er $90^{\circ}$ , så dette er en rettvinklet trekant med hypotenus med lengde 5 og en katet med lengde 3. Trekanter med nøyaktig disse lengdene møter man ofte på når man jobber med Pytagoras’ setning, siden det viser seg at den andre kateten har lengde 4 – så sidelengdene er alle heltall. Vi sjekker dette ved å bruke Pytagoras’ setning, som sier at hvis vi har en rettvinklet trekant med hypotenus av lengde $a$ og kateter av lengdene $b$ og $c$ , så vet vi at $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$ I vårt tilfelle er $a = 5$ og $b = 3$ . Vi setter inn og får følgende likning. $5^{2} = 3^{2} + c^{2} .$ Vi vet at $5^{2} = 25$ og at $3^{2} = 9$ , så likningen blir til $25 = 9 + c^{2} .$ Vi trekker fra 9 på begge sider for å få $c$ alene på høyre side, og vi får $\begin{matrix} 25 - 9 = 9 + c^{2} - 9 \\ 16 = c^{2} . \end{matrix}$ Med andre ord skal vi finne et tall $c$ slik at $c^{2} = 16$ . Da vet vi at $c = \sqrt{16} = 4$ , så $A F = 4$ .

Så skal vi finne FG. Hvis vi kan finne AG, så kan vi finne FG ved å trekke fra AF, som vi nettopp har funnet. Vi ser at AG er en katet i $Δ A B G$ . Vi vet de to andre sidelengdene til denne trekanten, så vi kan bruke Pytagoras setning igjen. Vi merker oss at $A B = A D + D B = 5 + 10 = 15$ . Pytagoras setning gir oss $A B^{2} = A G^{2} + G B^{2},$ og hvis vi setter inn det vi vet får vi $15^{2} = A G^{2} + 9^{2} .$ Vi løser med hensyn på $A G$ og får $A G = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = 12 .$ Til slutt får vi at $F G = A G - A F = 12 - 4 = 8$ .

Svar: $A F = 4$ og $F G = 8$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lengde

Lengde er målet for avstand. Lengden måles langs linjer, både rette og buede. Enheten for lengde er meter, eller andre mål avledet fra meter.

lengde

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Pytagoras læresetning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pytagoras setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleieren.

Visste du at:

I denne oppgaven har vi brukt rettvinklede trekanter der sidene har heltallige lengder. Den ene trekanten hadde lengdene 3, 4 og 5, og den andre trekanten hadde lengdene 9, 12 og 15. Disse to triplettene med tall kalles (dette begrepet finnes ikke på nettsidene!). Et pytagoreisk trippel er tre heltall $a$ , $b$ og $c$ som er slik at $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$ Det finnes uendelig slike mange pytagoreiske tripler, og de kan finnes ved blant annet å bruke Euklids formel.

b)

Figuren til høyre viser en tank formet som en rettavkortet kjegle. Radius i bunnen er $r = 3$ m, og radius i toppen er $R = 9$ m.

Hvor mange liter rommer vanntanken?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi ser at tverrsnittet til tanken tilsvarer

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogrammet

E D B C

i figuren over. Dermed kan vi bruke formelen for

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

av en

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

til å finne svaret.

Tverrsnittet til en kjegle må være en likebeint trekant (hvis tverrsnittet er tatt loddrett og gjennom midten av kjeglen). Dimensjonene til tanken viser at den eneste trekanten som kan være tverrsnittet til tanken, er trekanten i oppgaven over. En annen måte å se dette på er å se for seg at parallellogrammet $E D B C$ dreier seg i rommet, og at den resulterende figuren må være tanken. I alle fall betyr dette at vi har funnet høyden av tanken – den er nemlig $F G$ , som vi fant i forrige oppgave. Vi vil finne volumet av tanken, og vi har ingen direkte formel for volumet av en rettavkortet kjegle – men vi har en formel for volumet av en kjegle. Dermed kan vi finne volumet til tanken ved å finne volumet av kjeglen som tanken er en del av, og ta bort volumet av den nederste delen av kjeglen. Volumet $V_{1}$ av hele kjeglen er det volumet vi får dersom vi roterer trekanten $Δ A B C$ $180^{\circ}$ rundt $A G$ . Volumet $V_{2}$ for vi ved å rotere $Δ A D E$ $180^{\circ}$ rundt $A F$ . Volumet $V$ til tanken blir da $V = V_{1} - V_{2} .$ Volumet til en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ er $\frac{1}{3} π r^{2} h .$ Vi avventer med å sette på enheter på lengdene til slutten, for å spare skrivetid. Vi vet at høyden til hele kjeglen er $A G = 12$ , og at høyden til den lille kjeglen som vi vil ta bort er $A F = 4$ . Radiusene vet vi også er henholdsvis 9 og 3. Med dette kan vi regne ut volumene $V_{1}$ og $V_{2}$ : $\begin{matrix} V_{1} & = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9^{2} \cdot 12 \approx 1017, 88, og \\ V_{2} & = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 4 \approx 37, 70 . \end{matrix}$ Til slutt setter vi inn i $V = V_{1} - V_{2} .$ , og får $V = V_{1} - V_{2} \approx 1017, 88 - 37, 70 = 980, 18 .$ Dermed er volumet til tanken cirka $980, 18$ m $^{3}$ .

Svar: Volumet til tanken er cirka $980, 18$ m $^{3}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogram

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Kjegle

En kjegle er en tredimensjonal figur som består av en grunnflate som samles i et punkt over flaten.

Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.

Volum : V = $\frac{π r^{2} h}{3}$
Overflate : A = $π r^{2} + π r s$

kjegle

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pyramider og kjegler i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

c)

Tanken fylles med vann. Vannet renner inn i tanken med konstant fart.

Hvilken av de tre grafene nedenfor illustrerer best hvordan vannhøyden i tanken endres med tiden? Begrunn svaret ditt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vannstanden vokser raskere i begynnelsen, fordi volumet i bunnen er mindre enn i toppen.

Svar:

Vanent renner inn i tanken med konstant fart. Med andre ord er volumet vanns om kommer inn i tanken per sekund, konstand. Siden tanken blir videre mot toppen, vil det kreve mer vann for å øke vannstanden med 1 cm mot toppen av tanken enn det gjør i bunnen. Siden vannet renner inn i tanken med konstant fart, tar det også lengre tid å øke vannstanden med 1 cm i toppen enn det gjør i bunnen. Grafen til vannstanden skal derfor øke fortere i begynnelsen enn på slutten, og dermed er graf 3 den eneste som passer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Hvorfor ser grafen ut som den gjør? og Rette linjer (lineære funksjoner). Hvis du vil vite mer om grafer og funksjoner, se lynkurset Funksjoner (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleieren.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4AX9

Petter er en ivrig løper og trener hver dag. Han har tre ulike skopar som han veksler på å bruke. Når han skal ut og løpe, tar han tilfeldig et skopar.

a)

Bestem sannsynligheten for at han kommer til å bruke samme skopar de neste tre dagene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Dette er utvalg

Sannsynlighet med tilbakelegging

Fra et utvalg trekker vi en tilfeldig gjenstand. Hvis vi legger tilbake gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at forsøket er gjort med tilbakelegging.

Eksempel: Du skal trekke to kuler fra ei eske. Det er 5 røde og 5 blå kuler i eska. Du trekker en kule og noterer resultatet. Før du trekker neste kule, må den første legges tilbake i eska. Du har fortsatt 5 røde og 5 blå kuler i eska.

med tilbakelegging

. Vi kan bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Petter skal trekke tre par sko av tre mulige, med tilbakelegging. Vi vil regne ut sannsynligheten for at disse tre er de samme. Sannsynligheten for at Petter velger et visst par sko den første dagen, er $\frac{1}{3}$ . Sannsynligheten for at han velger det samme paret igjen neste dag, er fremdeles $\frac{1}{3}$ . Dermed er sannsynligheten for at han velger akkurat dette skoparet to dager på rad, lik $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} .$ For å finne sannsynligheten for at han trekker det samme paret igjen den tredje dagen, må vi multiplisere enda en gang med $\frac{1}{3}$ , og vi får $\frac{1}{27}$ . Vi er ikke ferdige ennå! Vi har regnet ut sannsynligheten for at Petter trekker et spesifikt par alle tre dagene – for eksempel det blå paret som vist på bildet i oppgaven. Men hva om han velger det røde eller blå paret tre dager på rad? Det er like stor sannsynlighet for at han valgte det blå paret. Til sammen blir sannsynligheten for at han velger et hvilket som helst par tre dager på rad, lik $\frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = 3 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{9} .$ Vi kunne også regnet dette ut ved å si at sannsynligheten for at han trekker et par sko første dag er 1, og sannsynligheten for at han trekker nøyaktig dette paret de to neste dagene er $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ . Totalt blir da sannsynligheten $1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$ .

Svar: Sannsynligheten er $\frac{1}{9}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om utvalg

Sannsynlighet med tilbakelegging

Fra et utvalg trekker vi en tilfeldig gjenstand. Hvis vi legger tilbake gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at forsøket er gjort med tilbakelegging.

med tilbakelegging

Sannsynlighet

sannsynlighet

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Med eller uten tilbakelegging i lynkurset Sannsynlighet (del I) og Produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at han kommer til å bruke tre ulike skopar de neste tre dagene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan igjen bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

. Først regner vi ut

Sannsynlighet

sannsynligheten

for at man trekker et vilkårlig par sko første dag, deretter sannsynligheten for at man ikke trekker dette paret neste dag, og tilsvarende siste dag.

Sannsynligheten for at Petter i det hele tatt velger et par sko første dag, er 1, som i forrige oppgave. Dette er fordi han uansett velger ut et par. La oss si at han valgte ut det blå paret. Sannsynligheten for at han velger ut et nytt par neste dag, altså enten det røde eller grønne paret, er $\frac{2}{3}$ . Det er like stor sannsynlighet for å velge det røde eller grønne tre dager på rad, som for å velge det blå tre dager på rad. Den tredje dagen er det bare ett par igjen han kan velge for å velge tre forskjellige, og sannsynligheten for at han velger dette paret er $\frac{1}{3}$ . Dermed blir sannsynligheten for at han velger tre forskjellige par lik $1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} .$ Vi merker oss at vi ikke trenger å multiplisere svaret med 3 som forrige gang, fordi vi ikke gjorde noen antagelser på hvilket par Petter valgte første gang. Vi måtte i så fall ha endret at sannsynligheten for å trekke det visse paret første dag var $\frac{1}{3}$ , gjøre dette tre ganger, og summere opp svarene. Dette ville gitt nøyaktig det samme.

Alternativ løsning

En annen måte å løse oppgaven på, er å se på forholdet mellom antall gunstige og antall mulige sko Petter kan velge mellom. Den første dagen er alle gunstige, så forholdet blir $\frac{3}{3}$ . Den neste dagen er bare to av skoparene gunstige, og den siste dagen er det bare ett par sko – så forholdene blir henholdsvis $\frac{2}{3}$ og $\frac{1}{3}$ . Sannsynligheten for å velge et gunstig par sko hver dag, blir dermed $\frac{3}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9},$ akkurat som før.

Svar: Sannsynligheten er $\frac{2}{9}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

Produktsetningen

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Med eller uten tilbakelegging i lynkurset Sannsynlighet (del I) og Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleieren.

Oppgave 7 (8 poeng) Nettkode: E-4AYV

En formel for utregning av bremselengde er gitt ved

$s = \frac{v^{2}}{19, 6 \cdot f}$

der $s =$ bremselengde (m), $v =$ fart (m/s), $f =$ friksjonsfaktor

På tørt sommerføre er friksjonsfaktor $f$ mellom 0,8 og 1,0. På glatt vinterføre kan $f$ være nede i $0, 2$ .

a)

Vis at en fart på $40$ km/h tilsvarer en fart på ca. $11, 1$ m/s.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi regner om $1$ km/t til m/s, og multipliserer med $40$ . Dette kalles konvertering. Vi må bruke at $1$ kilometer er $1000$ meter, og vi må finne ut hvor mange sekunder det er i en time.

Vi vil finne ut hvor mange meter per sekund én kilometer per time er. Vi kan sette dette opp som en likning. $1 km/t = x m/s$ Vi vet at 1 kilometer er 1 000 meter. For å regne om timer til sekunder, regner vi først om til minutter. Det er 60 minutter i 1 time, og det er 60 sekunder i 1 minutt – dermed blir det $60 \cdot 60 = 3 600$ sekunder i 1 time. Vi kan skrive dette som $km = 1 000 \cdot m$ og $t = 3 600 s$ . Vi setter dette inn i $1 km/t = x m/s$ og får $1 \cdot \frac{1 000 m}{3 600 s} = x \cdot \frac{m}{s} .$ Tallet foran $\frac{m}{s}$ skal være likt på begge sider av likhetstegnet, og dermed ser vi at $x = \frac{1 000}{3 600} = \frac{10}{36};$ det vil si at én kilometer per time er det samme som $\frac{10}{36}$ meter per sekund. Vi ville vite at $40 km/t \approx 11, 1 m/s$ , så vi multipliserer med 40 og får at

$40 km/t = 40 \cdot \frac{10}{36} m/s = 11, 11 . . . m/s \approx 11, 1 m/s$

Svar:

Herved har vi vist at $40$ km/h tilsvarer en fart på ca. $11, 1$ m/s.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Fart

Fart er tilbakelagt distanse per tidsenhet.

Fart måles ofte i km/h, som leses kilometer per time, eller m/s som leses meter per sekund.

Når noe beveger seg veldig raskt, kan det være hensiktsmessig å bruke km/s.

fart

Tidsenhet

Det grunnleggende tidsmålet er sekund. Andre tidsenheter er minutt, time og døgn.
Sammenhengen mellom tidsenhetene er ikke basert på 10-tallsystemet, slik vi er vant til fra lengde og vekt.

tidsenhet

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Målingsforhold og Enheter.

For å øve mer, se oppgavesettene om timer, minutter og sekunder og fart i Treningsleieren.

b)

Bestem bremselengden på sommerføre med $f = 0, 8$ når farten er $40$ km/h, og når farten er $80$ km/h.

Bestem bremselengden på vinterføre med $f = 0, 2$ når farten er $40$ km/h, og når farten er $80$ km/h.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Alt vi trenger å gjøre er å sette inn verdiene for $f$ og $v$ i den oppgitte

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

. Vi må huske å konvertere km/t til m/s.

Først skal vi regne ut bremselengden når $f = 0, 8$ og farten er $40 km/t$ . Vi vet fra forrige oppgave at $40 km/t \approx 11, 1 m/s$ . Vi setter dette inn i formelen: $s = \frac{v^{2}}{19, 6 \cdot f} \approx \frac{11, 1^{2}}{19, 6 \cdot 0, 8} \approx 7, 86 m,$ så bremselengden er cirka $7, 86$ meter. Videre skal vi finne bremselengden når friksjonsfaktoren fremdeles er $0, 8$ , men når farten dobles til $80 km/t$ , eller cirka $22, 2 m/s$ . Vi setter dette inn i formelen: $s \approx \frac{22, 2^{2}}{19, 6 \cdot 0, 8} \approx 31, 43 m .$ Vi ser at selv om farten bare dobles, så firedobles bremselengden.

Nå skal vi se på bremselengden med de samme hastighetene som før, men på glatt vinterføre, altså med $f = 0, 2$ . Vi regner ut som før, med farten henholdsvis $40 km/t = 11, 1 m/s$ og $80 km/t = 22, 2 m/s$ . $\begin{matrix} Bremselengde med lav fart \approx \frac{11, 1^{2}}{19, 6 \cdot 0, 2} \approx 31, 43 m \\ Bremselengde med høy fart \approx \frac{22, 2^{2}}{19, 6 \cdot 0, 2} \approx 125, 72 m \end{matrix}$ Dette betyr at bremselengden med vinterføre og $40 km/t$ i fart er lik bremselengden på sommerføre med dobbelt så høy fart. Bremselengden på vinterføre i $80 km/t$ er farlig lang.

Svar: Bremselengdene er henholdsvis cirka $7, 86 m$ , $31, 43 m$ , $31, 43 m$ og $125, 72 m$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Fart

Fart er tilbakelagt distanse per tidsenhet.

Fart måles ofte i km/h, som leses kilometer per time, eller m/s som leses meter per sekund.

Når noe beveger seg veldig raskt, kan det være hensiktsmessig å bruke km/s.

Fart

Tidsenhet

Det grunnleggende tidsmålet er sekund. Andre tidsenheter er minutt, time og døgn.
Sammenhengen mellom tidsenhetene er ikke basert på 10-tallsystemet, slik vi er vant til fra lengde og vekt.

Tidsenhet

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Proporsjon

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Målingsforhold og Enheter.

For å øve mer, se oppgavesettene om timer, minutter og sekunder og fart i Treningsleieren.

c)

Hvordan endrer bremselengdene i oppgave b) seg når farten dobles? Er bremselengde og fart på glatt vinterføre proporsjonale størrelser?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi kan regne ut

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

mellom de diverse fartene.

Vi bruker tallene fra forrige oppgave og ser at

$\frac{Bremselengde på sommerføre i 80 km/t}{Bremselengde på sommerføre i 40 km/t} \approx \frac{31, 43 m}{7, 86 m} \approx 4$

$\frac{Bremselengde på vinterføre i 80 km/t}{Bremselengde på vinterføre i 40 km/t} \approx \frac{125, 72 m}{31, 43 m} \approx 4$

Vi ser at hvis vi dobler farten vår, så firedobler vi bremselengden, både på sommerføre og vinterføre. Med dette kan vi også si at størrelsene ikke er proposjonale, for i så fall ville en dobling i farten gitt en dobling i bremselengden. For ordens skyld regner vi det også ut på vanlig måte.

Vi finner ut om bremselengde og fart på vinterføre er proposjonale størrelser. Det betyr at det finnes et eller annet tall $k$ slik at $\frac{fart}{bremselengde} = k,$ for alle verdier av fart og bremselengde. Vi setter inn verdiene vi vet om, altså bremselengdene når farten er $11, 1 m/s$ og $22, 2 m/s$ . $\begin{matrix} \frac{11, 1}{31, 43} \approx 0, 35 \\ \frac{22, 2}{125, 72} \approx 0, 18 \end{matrix}$ Disse forholdene var ikke like, så størrelsene er ikke proposjonale.

Vi kan også se dette direkte ut i fra formelen $s = \frac{v^{2}}{19, 6 \cdot f}$ . Når farten $v$ dobles, så firedobles telleren, fordi $(2 v)^{2} = 4 v^{2}$ , mens nevneren forblir uendret.

Svar: Bremselengden firedobles når vi dobler farten, og størrelsene er ikke proposjonale.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

For flere eksempler og forklaringer artikkelen Proporsjonalitet.

For å øve mer, se oppgavesettet om proporsjonale funksjoner i Treningsleieren.

d)

Gjør beregninger og finn en regel for hvor fort du kan kjøre på glatt vinterføre med $f = 0, 2$ for å få samme bremselengde som du har på sommerføre med $f = 0, 8$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Vi må sette inn de forskjellige friksjonsfaktorene i

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

for bremselengde, og finne ut når disse uttrykkene er like. Det tilsvarer å løse en

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

På sommerføre er bremselengden med fart $v_{s}$ lik $s = \frac{v_{s}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 8},$ og på vinterføre med fart $v_{v}$ er bremselengden $s = \frac{v_{v}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 2} .$ Vi vil finne ut hvor fart $v_{v}$ vi kan ha på vinterføre for å få lik bremselengde med fart $v_{s}$ på sommerføre. Derfor setter vi de to uttrykkene over lik hverandre. $\frac{v_{v}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 2} = \frac{v_{s}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 8}$ Vi vil ha vinterfarten $v_{v}$ uttrykt ved sommerfarten $v_{s}$ , så vi vil ha $v_{v}$ alene på en side av likhetstegnet. Derfor multipliserer vi med nevneren som står under $v_{v} ²$ , og forkorter. $\begin{matrix} \frac{v_{v}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 2} \cdot 19, 6 \cdot 0, 2 = \frac{v_{s}^{2}}{19, 6 \cdot 0, 8} \cdot 19, 6 \cdot 0, 2 \\ v_{v}^{2} = v_{s}^{2} \cdot \frac{19, 6 \cdot 0, 2}{19, 6 \cdot 0, 8} \\ v_{v}^{2} = v_{s}^{2} \cdot \frac{1}{4} \end{matrix}$ For å få bort potensen på venstre side, tar vi kvadratroten av begge sider av likhetstegnet. $\begin{matrix} \sqrt{v_{v}^{2}} = \sqrt{v_{s}^{2} \cdot \frac{1}{4}} \\ v_{v} = v_{s} \cdot \frac{1}{2} \end{matrix}$ Dette betyr at vi må halvere farten om vinteren for å få samme bremselengde som på sommeren. Dette stemmer med at bremselengden vi fant i b) for $40 km/t$ om vinteren var den samme som for $80 km/t$ om sommeren.

Svar: Farten om vinteren må halveres for å få samme bremselengde.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra problem til likning og lynkurset Andregradslikninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om andregradslikninger i Treningsleieren.

MAT1011 2015 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4AQC

a)

Løsningsforslag a)

Proporsjon

Ligning

b)

Løsningsforslag b)

Proporsjon

c)

Løsningsforslag c)

Prosent

Prosent

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4AQG

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Lineære funksjoner

Graf

Funksjon

Koordinatsystem

Lineære funksjoner

Skjæringspunkt

Graf

b)

Løsningsforslag b)

Skjæringspunkt

Funksjon

Lineære funksjoner

Skjæringspunkt

Graf

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4AQL

Løsningsforslag

Konsumprisindeks

Nominell lønn

Konsumprisindeks

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4AQO

Løsningsforslag

Omvendt proporsjonal

Omvendt proporsjonal

Multiplikasjon

Oppgave 5 (3 poeng) Nettkode: E-4AQQ

a)

Løsningsforslag a)

Formel

Formel

Gjennomsnitt

b)

Løsningsforslag b)

Formel

Ligning

Ligning

Lineære ligninger

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4AQU

a)

Løsningsforslag a)

Overslag

Sylinder

Overslag

Areal

Omkrets

Sylinder

Sirkel

b)

Løsningsforslag b)

Overslag

Areal

Omkrets

Sylinder

Sirkel

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4AQY

a)

Løsningsforslag a)

Krysstabell

Krysstabell

b)