www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

FØDT: 1845
DØD: 1918

Georg Cantor regnes som grunnleggeren av teorien for uendelige mengder, en teori som fikk stor betydning for den fortsatte utviklingen av matematikken.

Cantor ble født i St. Petersburg av jødiske foreldre. Hans evner kom tidlig fram, og 18 år gammel begynte han sine studier hos framstående matematikere, blant andre Weierstrass og Kronecker, ved det berømte universitetet i Berlin.

I løpet av de neste ti årene kom han på sporet av mengdeideen i forbindelse med studiet av varmeledning. Først seinere ble mengdelæren innført som et viktig grunnlag for oppbyggingen av nesten all matematikk. Dette skjedde imidlertid ikke uten kamp. Noen kalte hans mengdelære for "en alvorlig matematisk sykdom" som en dag måtte bli kurert, mens andre mente han hadde skapt et "nytt paradis" for matematikerne. Skarpest i sin kritikk var Kronecker, som ikke likte begrepet om transfinitte tall.

I 1873 viste Cantor at de rasjonale tallene var tellbare, det vil si at det er en en-til-en korrespondanse med de naturlige tallene. Han viste også at de algebraiske tallene, det vil si tall som er røtter av polynomialligninger med heltallskoeffisienter, er tellbare. Men forsøkene hans på å finne ut om de reelle tallene er tellbare eller ikke, viste seg å være vanskeligere. Han viste at de reelle tallene ikke er tellbare i desember 1873, og han gav ut dette i en artikkel i 1874. Det er i denne artikkelen ideen om en en-til-en korrespondanse dukker opp for første gang, men bare implisitt i dette arbeidet.

Kritikken Cantor mottok fra kolleger for sine dristige teorier gjorde at han på slutten av sitt liv led av depresjoner. Kanskje spilte det også inn at han ble fortvilet over at han ikke greide å bevise kontinuumshypotesen.

Selv fikk Cantor aldri oppleve at mengdebegrepet ble godtatt som det naturlige grunnlag og fundament i matematikken. Ved Niels Henrik Abel-jubileet i 1902 ble Cantor utnevnt til æresdoktor ved Universitetet i Oslo.

Skrevet av

Heidi Raude

Institusjon

Universitetet i Oslo

Begrep

  • Kontinuumshypotesen

    Hypotesen om at det ikke finnes noe kardinaltall mellom kardinaltallene for de rasjonale tallene og de reelle tallene.

    Et kardinaltall er et tall som besvarer spørsmålet "hvor mange?", som for eksempel en, to, tre osv. Kardinaltall brukes også om antall elementer i en uendelig mengde, som mengden av de rasjonale tallene eller de reelle tallene. Kardinaltallet for mengden av reelle tall er størst av disse to, men fins det noe kardinaltall mellom dem?

  • Mengdeteori

    Teorien om mengder er et grunnleggende felt innen matematikk og logikk. En bestemt samling objekter kalles en mengde dersom en kan avgjøre om et gitt objekt tilhører menden eller ikke. Mengdeteorien studerer hvordan mengder kan brukes til å bygge opp formelle strukturer i matematikk og logikk.

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Rasjonale tall

    Et tall som kan skrives på formen m/n der m og n er hele tall og n forskjellig fra 0. Mengden av rasjonale tall er ℚ.

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.

  • Transfinite tall

    Et uendelig kardinaltall eller et uendelig ordinal. Aritmetikkens operasjoner med endelige kardinaltall kan utvides til en aritmetikk for transfinite. Denne har noen av den vanlige aritmetikkens egenskaper, men også noen forskjeller. F.eks. gjelder m+1=m og m+m=m for alle uendelige kardinaltall.

  • Uendelige mengder

    Uendelig mengde inneholder et uendelig antall elementer. Primtallene danner en uendelig mengde. En mengde sies å være uendelig hvis det finnes en én-entydig avbildning mellom hele mengden og en ekte delmengde av den.

Omtalt person

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass