www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Pytagoras av Samos

Pytagoras av Samos

Pytagoras av Samos

FØDT: 580
DØD: 500

Pytagoras har fått navnet sitt tilknyttet den mest berømte og kanskje den aller viktigste elementære læresetning som finnes innefor matematikk, Pytagoras' læresetning, selv om det faktisk finnes bevis for at setningen var kjent så mye som 1000 år før han levde.

Pytagoras ble født en gang mellom år 590 og 570 f. Kr., og vokste opp på øya Samos i Egeerhavet.

Som ung reiste han mye, og studerte religion, filosofi, naturfag og matematikk. Blant annet skal han ha bodd og studert noen år i et tempel i Egypt, og muligvis var han også en tid i Mesopotamia (nå Irak).

Han forsøkte seg så som filosofilærer på sitt hjemsted, men kom på kant med herskeren der, og en gang mellom 530 og 520 slo han seg ned i Croton i Syd-Italia, der han startet en skole og grunnla et religiøst og filosofisk brorskap, nærmest en slags sekt. Den tok etter hvert makten i byen, men ble litt etter 510 jaget ut, og flyktet til en naboby, Metapont. Pytagoras døde muligens i opptøyene, men mer sannsynlig i Metapont kort etter, antakelig rett før 500 f. Kr.

Pytagoreerne fortsatte i Metapont til omkring 450 f. Kr., og så ble de jaget derfra også, og medlemmene ble spredt. Imidlertid fikk deres ideer innflytelse på det meste av antikkens filosofi, og mange og ulike filosofiske skoler har regnet seg som etterfølgere til Pytagoreerne.

Dette er omtrent alt vi vet noenlunde sikkert om Pytagoras og hans nærmeste elever. Det er ikke bevart noe skriftlig fra dem. Sekten var meget hemmelighetsfull, medlemmene hadde ikke lov å fortelle om dens ritualer og kunnskaper til utenforstående. Det vi vet om den er skrevet ned ett eller flere århundrer i ettertid, og da var Pytagoras blitt til en slags halvt overnaturlig eventyrfigur, og de som skrev brukte gjerne mesteren som autoritet for sine egne tanker, med lite hensyn til historisk nøyaktighet. Det er derfor umulig å skille ut hva som kommer fra Pytagoras selv, og hva som skyldes senere pytagoreere.

Beretningene spriker også ganske mye - det er vrient å skille mellom fakta og fantasi i dem. Den fyldigste omtalen har vi fra filosofen Iamblichos, som var drøyt 800 år yngre enn sin helt, og blander fakta og sagn temmelig ukritisk.

Hva filosofien til Pytagoras og hans elever gikk ut på er derfor ikke helt klart. En stor del av det var nok hva vi ville kalle mystikk og okkultisme: de skulle rense sjelen og bli ett med guddommen. Det ville de oppnå ved ritualer og symboler, musikk, ved spesielt kosthold (de var vegetarianere, og spiste dessuten ikke bønner), og ved meditering og filosofering, blant annet om naturfag og matematikk. Mye var sikkert inspirert av egyptisk og babylonsk visdom.

Matematikken var interessant for pytagoreerne fordi de mente at tilværelsens innerste vesen kunne uttrykkes i tall. “Alt er tall” er en setning som siteres fra dem. De studerte derfor det meste av tidens kjente matematikk, og videreutviklet mye av den.

Hvordan de kom på at tallene skulle være så sentrale vet vi ikke, men én vei var antakelig gjennom astronomien og astrologien. En annen kan ha vært gjennom musikken: De visste at hvis man setter fingeren på en vibrerende streng (for eksempel en gitarstreng) så den vibrerende delen blir kortere og tonen dermed høyere, vil endringen høres “harmonisk” hvis forholdet mellom lengdene av den delen som nå vibrerer og av hele strengen er som mellom små heltall (1 : 2 gir en oktav, 2 : 3 en kvint 3 : 4 en kvart, …); og mindre harmonisk hvis forholdet er mer komplisert. Ut fra slike betraktninger laget de seg en musikkteori som har hatt gjenklang helt til vår tid.

Pytagoreernes tallteori var blandet opp med en god del tallmystikk: Partall og oddetall var assosiert med det kvinnelige og mannlige. Tallene 1, 2, 3 og 4 hadde sine spesielle symbolske betydninger, og deres sum, 10, var hellig som et symbol på verdensaltet. Betraktninger om delelighet og primtall førte dem til “perfekte tall”, som er lik summen av sine divisorer. (6= 1+2+3, og 28 = 1+2+4+7+14; de regnet 1 som en divisor, men ikke tallet selv.) De fant også et par av “vennskapelige” tall, 220 og 284, der hvert av tallene er lik summen av divisorene i det andre.

Et annet tema var “figurtall”: Summerer vi heltallene fra 1 og oppover får vi “trekanttallene” 1, 3, 6, 10, 15, … ; summerer vi oddetall får vi kvadrattallene (1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, …), og summerer vi partall får vi “avlange tall”. (2 = 2·1, 2+4 = 6 = 3·2, 2+4+6 = 12 = 4·3, …). De illustrerte disse summene ved å legge småstein ("calculi") i regelmessige mønstre, henholdsvis trekanter, kvadrater og rektangler der den ene siden er én lengre enn den andre.

Et beslektet tema er “Pytagoreiske tripler,” det vil si talltripler a, b, c slik at a2+b2=c2. Slike tripler var kjent av babylonerne mye tidligere, Pytagoreerne hadde en oppskrift til å lage dem, men hvem som fant den oppskriften vet ingen. Tilsvarende gjelder for den geometriske setningen som nå bærer Pytagoras' navn, at summen av kvadratene på de to korteste sidene i en rettvinklet trekant er lik kvadratet på den lengste. Den var også kjent lenge før Pytagoras, og hvilken forbindelse den har med ham, er uklart. Pytagoreerne har sikkert kjent til den, og noen historikere har foreslått at de kan ha gitt et bevis for den, men andre mener at de ikke var særlig interessert i beviser.

I geometrien var pytagoreerne også opptatt av den regulære femkanten og av den femtakkete stjernen, pentagrammet, som de fem diagonalene i femkanten danner. De skal ha brukt den som et kjennetegn eller en maskot.

Den mest dyptgående oppdagelsen som pytagoreerne får æren for, er at side og diagonal i et kvadrat er inkommensurable; forholdet mellom deres lengder kan ikke beskrives som et forhold mellom to heltall. (Den moderne formuleringen er at kvadratroten av 2 er irrasjonal.) For pythagoreerne, som bygget mye av sin filosofi på egenskaper ved heltallene, ble dette ganske problematisk. Sagnet sier at han som oppdaget det, Hippasos, ble druknet. Men denne oppdagelsen skjedde antakelig omkring eller noe etter år 430 f. Kr, altså lenge etter at Pytagoras var død.

Skrevet av

Bent Birkeland

Institusjon

Universitetet i Oslo

Eksterne lenker