Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Symmetrioperasjoner og deres kombinasjoner

En symmetrioperasjon (eller en symmetri) til en figur er en fysisk handling vi utfører på figuren, slik at vi ikke ser forskjell på figuren før og etter handlingen. Eksempler på symmetrier er rotasjoner av en sirkel, sideveis forflytting av en uendelig lang linje eller speiling om diagonalen i et kvadrat.

Generelt vil symmetriene til en figur bestå av rotasjoner om et punkt, speilinger om linjer, forskyvninger langs en linje, eller kombinasjoner av disse.

Symmetrioperasjoner i en bord

Siden vi antar at en bord strekker seg uendelig langt ut i begge retninger, vil forskyvninger i lengderetningen være en mulig symmetrioperasjon, kalt F. Likeledes vil speiling om lengdeaksen (S), dvs at vi snur borden opp ned, være en symmetri. En tredje mulighet er at vi bestemmer oss for et punkt på borden og snur den bak fram (Sv) rundt dette punktet og en fjerde mulighet er å rotere hele borden 180 grader om det utvalgte punktet (R). Alle andre symmetrioperasjoner kan utføres ved å kombinere disse fire, F, S, Sv og R. F.eks. vil rotasjon om et annet punkt enn det først utvalgte oppnås ved å kombinere en forflytning med en rotasjon.

Speiling og rotasjon med 180 grader har en spesiell felles egenskap, nemlig at dersom operasjonen gjøres to ganger etter hverandre, så kommer vi tilbake der vi startet. I tillegg er det slik at vertikal speiling (om et punkt) er sammensetningen av horisontal speiling og en rotasjon med 180 grader om punktet (undersøk dette på egenhånd). Dermed får vi at alle symmetrioperasjoner kan gjenskapes ved å sette sammen de tre grunnoperasjonene, forflytning (F), speiling (S), og rotasjon om et fast punkt (R).

Vi skal bruke dette til å sette opp alle mulige symmetrityper for rapporter. Vi starter med en usymmetrisk figur, en nokså usymmetrisk trekant med grunnlinje på den horisontale aksen, og bruker denne som rapport. Gjentar vi denne rapporten i begge retninger, får vi bord nr. 1. Neste rapport får vi ved å sette sammen trekanten med speilingen av trekanten om lengdeaksen. Denne rapporten vil nødvendigvis ha speiling om langdeaksen som en symmetri, men ikke noen andre. Den tredje rapporten får vi ved å rotere trekanten om det høyre hjørnet, og rotasjon blir eneste symmetri. Fjerde rapport, med vertikal speiling som eneste symmetri, får vi ved å speile vertikalt om høyre hjørne. Den femte rapporten lager vi ved å både speile og å rotere. Det gir oss en veldig symmetrisk utseende rapport, med mange symmetrilinjer.

Men enda finnes det to andre symmetrityper. De tar utgangspunkt i at vi speiler trekanten om lengdeaksen og samtidig forflytter oss sidelengs, i en såkalt glidespeiling. Vi har to forskjellige typer. Den første får vi ved å speile om lengdeaksen og deretter flytte et hakk til siden, mens den andre får vi ved å speile om en vertikal linje for å skaffe oss flere symmetrier, deretter speile om lengdeaksen og så flytte et hakk til siden. Dersom vi prøver å kombinere de ulike symmetriene på flere og andre måter, viser det seg at vi ikke får noen flere typer enn de 7 vi allerede har listet opp.

Symmetri-
operasjoner
Rapport Rapportens oppbygging Bord

Bord-
nummerering


  Kun grunnfiguren
  1
S   Speiling om lengdeaksen
  2
Sv = RS

Speiling om en vertikal akse gjennom høyre hjørne
  3
R   Rotasjon om høyre hjørne
4
FS
  Glidespeiling, dvs. speiling om lengdeaksen, deretter forflytting   5

S + R

  Speiling om lengdeaksen og rotasjon om høyre hjørne   6
Sv+SvF

 

Speiling om en vertikal akse pluss glideforflytting   7
Del på Facebook

Del på Facebook

Border

Består av:

Skrevet av

Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo
Hopp over bunnteksten