Kochkrystall - fra flate

Start med en likesidet trekant, generasjon 0.

Del sidekantene i 3 like store linjestykker, erstatt det midterste linjestykket med to sider av en likesidet trekant, generasjon 1.

Erstatt alle de midterste linjestykkene med to sider av en likesidet trekant som peker ut av krystallen, generasjon 2.

Generasjon 3.

For å forenkle utregningene settes sidekantene til figuren i generasjon 0 til 1 og arealet til 1.

Kochkrystallen bygger på Kochkurven, men starter med en likesidet trekant i stedet for et linjestykke.

Algoritme

Start med en likesidet trekant.

1. Del sidekantene i 3 like store linjestykker.
2. Erstatt det midterste linjestykket med to sider av en likesidet trekant.
3. Del alle linjestykker i 3.
4. Erstatt alle de midterste linjestykkene med to sider av en likesidet trekant som peker ut av krystallen.
5. Gjenta punkt 3. og 4.

Her er det lurt å se på hvor mange nye trekanter det er for hver nye generasjon, før du regner ut arealet (A). Omkretsen er tre ganger lengden av Kochkurven.

$A=1+3\cdot \underset{n=1}{\overset{n}{\mathrm{\Sigma }}}\frac{4^{n-1}}{9^n}$

$O=3\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^n$

Her står n for generasjon nummer n.

Hvis vi studerer arealet til Kochkrystallen, ser vi at det har en endelig verdi. Grenseverdien er avhengig av hvor mange sifre vi tar med, men arealet blir ikke større enn 1,67.

Siden Kochkurven er uendelig lang, har Kochkrystallen et endelig areal og en uendelig omkrets.