www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Det gylne snitt

Hvorfor ser noen rektangler 'penere' ut enn andre? Kanskje fordi forholdet mellom sidene er tilnærmet tallet kjent som "det gylne snitt"...

Man regner med at det var pytagoreerne som var de første til å studere "Det gylne snitt", og at det er dette arbeidet som ligger bak nedtegnelsene om det gylne snitt i Euclids "Elementer" der det opptrer for første gang. De gamle grekerne baserte seg på geometri og regnet ikke med symboler slik vi gjør i dag, men med lengder. Enkelte forhold og proporsjoner mellom lengder ble sett på som penere enn andre, og det gylne snitt var ett av dem (π var et annet): Ta et linjestykke mellom to punkter A og B og la AB være lengden av linjestykket. Merk av et punkt C mellom A og B slik at forholdet mellom AB og AC er lik forholdet mellom AC og CB, dvs.: ABAC=ACCB, se figur 1.

 

Figur 1: Linjestykket som er delt etter forholdet "Det gylne snitt".Figur 1: Linjestykket som er delt etter forholdet "Det gylne snitt".

Da sier vi at linjestykket er delt etter forholdet det gylne snitt.

Dette forholdet dukket opp i mange av grekernes geometriske konstruksjoner. Etter hvert dukket det også opp i algebraiske sammenhenger og ble assosiert med et tall. Det gylne snitt er tilnærmet lik 1,618. I artikkelen om fibonaccitallene kan du se hvordan man finner den nøyaktige verdien ved å løse en annengradslikning, og også se hvordan denne ligningen brukes til å se sammenhengen mellom fibonaccitallene og det gylne snitt.

Navnet "Det gylne snitt" kommer fra tanken om at man i dette forholdet ville se normen for en fullkommen harmoni i proporsjonene. Det er blant annet brukt innenfor arkitektur, kunst og moteverdenen. Det gylne rektangelet er for eksempel rektangelet der forholdet mellom sidene er det gylne snitt, og dette er pent å se på. Formen på kredittkort er tilnærmet det gylne rektangelet...

La oss se hvordan vi kan konstruere en regulær 5-kant ved å starte med en linje som er delt opp etter det gylne snitt: La linjestykket AB være delt opp etter det gylne snitt ved punktet C som i tegningen over. Vi bruker en passer og slår en sirkelbue med sentrum i A og radius AB og merker av punktet D på buen slik at AC = BD = CD, se figur 2.

Figur 2: Starten på en regulær 5-kant.Figur 2: Starten på en regulær 5-kant.

Hvis vi kaller vinkel A for v, blir vinkel BCD lik 2v siden summen av vinklene i en trekant er 180º og en halvsirkelbue er 180º. Trekant ABD er likebeint, og det gylne snitt gir at ABCD=BDCB. Dermed får vi at trekantene BCD og ABD er formlike, det vil si at trekant BCD er likebeint, og dermed er vinkel B også 2v. Dermed blir vinkel BDC lik v siden trekant ABD er likebeint, slik som i figur 3.

 

Figur 3: Vinklene i trekantene.Figur 3: Vinklene i trekantene.

Nå slår vi en sirkelbue med sentrum i A og radius AC, og lar E være skjæringspunktet mellom buen og AD. Da vil E dele AD etter det gylne snitt. Så trekker vi forlengelsene av linjene DC og BE som i figur 4.

 

Figur 4.Figur 4.

Til slutt setter vi av punktene F og G på disse forlengede linjene slik at BD = DF = BG og trekker linjer.

 

Figur 5.Figur 5.

Ved å se på trekantene vi får i figur 5, ser vi at AGBDF blir en regulær 5-kant.

Publisert: 21.11.2007

Skrevet av

Inger Christin Borge
Inger Christin Borge

Institusjon

Universitetet i Oslo