www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Stambrøker

Hva er størst av 47 og 58?
Er du ikke sikker? Ved hjelp av stambrøker og egyptiske brøker kan du lett finne svaret, og du får fin trening i brøkregning.

Stambrøker ("unit fractions" på engelsk) er brøker med teller lik 1, for eksempel 16 og 152. Videre kaller vi en sum av distinkte (forskjellige) stambrøker en egyptisk brøk. For eksempel er 15+16 en egyptisk brøk, mens 15+15 ikke er det.   

 

Sidevegg på en Egyptisk sarkofag. (Foto: Frode Storaas)Sidevegg på en Egyptisk sarkofag. (Foto: Frode Storaas)

I det gamle Egypt regnet man bare med stambrøker (unntak var 23, som de brukte veldig ofte, og 34, som de også brukte, om enn ikke så ofte). Dette vet vi fra den berømte Rhindpapyrusen, datert til rundt 1650 f.Kr. Den inneholder blant annet en tabell av representasjoner av brøkene 2n for odde n mellom 5 og 101 som en sum av stambrøker (derav navnet egyptisk brøk).

Det er uklart hvorfor egypterne valgte denne metoden for å representere brøker, men idag vet vi at enhver brøk har representasjoner som en egyptisk brøk med så mange termer man ønsker, og med så store nevnere man ønsker.

Eksempel: Uttrykket

317=16+1102

er en representasjon av brøken 317 som en egyptisk brøk med to termer, mens

317=112+118+136+1102

er en representasjon av samme brøk med fire termer.
Når vi bruker uttrykket 'representasjon av en brøk', mener vi en representasjon av brøken som en sum av stambrøker (dvs. en egyptisk brøk). I denne artikkelen vil vi blant annet forklare nærmere hvordan vi finner slike representasjoner.

Vi merker oss også at for et gitt antall termer fins det bare endelig mange representasjoner. For eksempel viser det seg at hvis vi ønsker en representasjon av 29 med to termer, fins det kun to muligheter:
15+145 og 16+118.

Det er to meget gode grunner for å bruke (mye tid på) egyptiske brøker (Vi vet at brøker er et tema mange sliter med.):

  • Lettere å dele i praksis:

La oss si at vi har syv sekker med korn som skal deles på 12 personer. Hvor mye skal de ha hver? Jo, 712, men hvordan gjør vi det rent praktisk? Vi gir først en halv sekk til hver. Da har vi en sekk igjen som må deles på 12. Vi har altså gjort 712=12+112. Hva med fem sekker på åtte personer?

  • Lettere å sammenligne brøker:

Hva er størst av 47 og 58? Hva er størst av 311 og 27?
Ved å skrive brøkene som egyptiske brøker, er det lettere å sammenligne ved at vi kan sammenligne stambrøker isteden :
47=12+114, mens
58=12+18, og videre er
311=14+144, mens
27=14+128.

Vi har nå sett flere eksempler på egyptiske brøker, og vi er vel kanskje også overbevist om at de er nyttige, så neste spørsmål blir "hvordan finner vi dem?" Før jeg gir én mulig metode, vil jeg kort vise hvordan vi, ved hjelp av et triks, kan skrive en brøk som en egyptisk brøk på uendelig mange måter, bare vi har funnet én representasjon:

Påstanden er altså: Enhver brøk har et uendelig antall representasjoner som en egyptisk brøk.

Trikset er å ta utgangspunkt i identiteten

1=12+13+16

Hvis vi deler denne identiteten på et tall n, får vi

1n=12n+13n+16n

og dermed har vi en representasjon av en hvilken som helst stambrøk 1n som en egyptisk brøk. Denne representasjonen kan vi da bruke om og om igjen på stambrøkene som dukker opp i representasjonen av en hvilken som helst brøk, og hvis vi hele tiden bruker denne på den minste stambrøken, unngår vi å få repeterende stambrøker. For eksempel:

38=13+124=13+148+172+1144  =13+148+172+1288+1432+1864


Endelig skal vi nå gi en metode for å skrive enhver ekte brøk (dvs. brøk mindre enn 1) som en egyptisk brøk (sum av distinkte stambrøker). Metoden kalles Fibonaccis metode, og metoden med bevis er gitt i hans bok "Liber Abaci" fra 1202, forøvrig der kaninproblemet som ga opphav til fibonaccitallene også står.

Fibonaccis metode (også kalt 'den grådige algoritmen'):
La ab<1, der a og b er positive heltall. Hvis a = 1, er brøken en stambrøk, og vi trenger ikke å gjøre noe, så anta at a > 1.

Hvis vi skriver en brøk ab som en sum av flere mindre brøker, kalles brøkene i summen summandene i brøken ab. For eksempel er både 15 og 23 summander i 1315 siden 1315=15+23.

Fibonaccis metode går ut på å finne den største stambrøken som er en summand i brøken ab og trekke denne fra ab (derav navnet grådig). Med resten som gjenstår, repeteres prosessen. Vi må vise at denne følgen av stambrøker alltid synker, aldri repeterer brøker, og at den stopper .

Før vi gjør dette formelt, la oss ta et eksempel: Vi vil skrive 521 som en egyptisk brøk ved hjelp av Fibonaccis metode. Først finner vi den største stambrøken som er en summand. Siden 21:5 er litt over 4, må den største stambrøken være 15. (Når vi runder opp til 5, får vi automatisk den største stambrøken som er en summand: 14 er for stor - vi kan ikke skrive 521=14+noe. I Fibonaccis metode runder vi dermed alltid opp.) Dermed får vi:

521=15+rs

Vi skal nå gjenta dette med brøken rs. Da må vi først finne rs. Vi regner ut (uten kalkulator!) at

rs=52115=4105.

Vi må så finne den største stambrøken i 4105. Siden 105:4 er litt over 26, blir stambrøken 1/27 (runder opp), altså har vi

521=15+127+uv

Vi fortsetter prosessen med uv, og må dermed finne uv. Vi regner ut (igjen uten kalkulator) at uv=52115127=1945, og dermed har Fibonaccis metode gitt oss en egyptisk brøk:

521=15+127+1945

Vi viser til slutt hvorfor metoden virker: Vi ønsker altså å skrive

ab=1n1+1n2+...+1ns

der n1<n2<...<ns og der vi altså velger den største stambrøken hver gang. Med symboler har vi dermed at 1n1<ab, men at 1n11>ab (se på eksempelet over, der n1=5 og dermed n11=4). Videre, siden a > 1, er hverken 1n1 eller 1n11 lik ab.

La oss se på restbrøken ab1n1=an1bbn1. Vi påstår at an1b<a, dvs. at tellerne i restbrøkene blir mindre og mindre: Fra før har vi 1n11>ab, og ved å manipulere denne ulikheten, får vi a>an1b. Hvis nå telleren an1b er 1, har vi en stambrøk, og vi er ferdige. Hvis ikke, fortsetter vi prosessen med an1bbn1, som har en (ekte) mindre teller enn brøken vi startet med. Når vi trekker fra den største stambrøken, blir den nye restbrøken enda mindre (ved samme argument som over). Siden a er et positivt heltall, må telleren i restbrøkene før eller siden bli 1. Dermed fungerer metoden, og vi har vist påstanden vår (Fibonaccis metode gir oss én egyptisk brøk som vi kan bruke til å finne uendelig mange andre egyptiske brøker ved trikset over).

Prøv ut metoden på brøkene 411 og 511. Svarene finner du nedenfor. Avslutningsvis merker vi oss at Fibonaccis metode alltid vil gi en egyptisk brøk, men ikke nødvendigvis den korteste (med færrest mulig termer). I dag lever vi i dataalderen, og det finnes (naturlig nok) mer effektive metoder som er implementert i diverse regneprogrammer.

Referanser:
Se for eksempel hjemmesiden til Ron Knott.

Svar:
411=13+133,
511=13+19+199.

Publisert: 14.11.2007 Endret: 15.11.2010

Skrevet av

Inger Christin Borge
Inger Christin Borge

Institusjon

Universitetet i Oslo

Omtalt person

Eksterne lenker