www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Spillteori

Hvem vinner?
Du kan sikkert noen spill, men visste du at det finnes en hel matematisk teori som beskriver spill og vinnerstrategier?

Spillteorien ble lansert i 1944, og det var en matematiker som het Von Neumann og en økonom som het Morgenstern som sto bak. De ville prøve å lage en matematisk teori som kunne beskrive det som foregikk når folk handler, hvorfor de kjøper hus eller aksjer. Hvorfor akkurat på det tidspunktet og til den prisen?

Det viste seg at spillteori også kunne brukes på mer vanlige spill, som poker, sjakk eller stein, saks og papir. Ja faktisk har vi i spillteorien verktøy som kan forklare hva som foregår i de fleste spill vi spiller på hytta i påsken når været er dårlig og det ikke er så fristende å gå ut.

Spillteori går i korte trekk ut på å studere ulike former for spill, avdekke strategier og løsninger, avgjøre om det finnes måter å vinne spillene på, og ikke minst å forstå hvordan spillene faktisk er bygget opp.

Vi kan klassifisere spill på to forskjellige måter, åpne vs. lukkede spill og strategispill vs. lotterier. I et åpent spill har alle spillerne full innsikt i hverandres strategier og legger det til grunn for egne valg. I praksis betyr dette at spillerne gjør sine trekk annenhver gang og i full offentlighet. De fleste "vanlige spill" er av en slik natur. Som oftest er det kompleksiteten og det enorme antall muligheter som gjør spillene interessante og som sikrer at de ikke blir "oppbrukt". Et velkjent eksempel på et slikt åpent spill er sjakk. Hvit har til sammen 20 muligheter å velge mellom til sitt første trekk, og sort har det samme i sitt første. Det gir 400 muligheter for åpningsrunden. Fortsetter vi å telle på denne måten er det lett å innse at selv ikke den kraftigste datamaskin klarer å holde styr på alle muligheter. Det er imidlertid alltid et endelig antall valg som kan gjøres, og i teorien kan vi tenke oss at samtlige var beskrevet og kjent for enhver spiller.

I lukkede spill gjør spillerne sine trekk samtidig. Dermed vet ikke den ene spilleren hva den andre kommer til å gjøre og omvendt. Stein, saks og papir er et typisk eksempel på et slikt spill, og her blir psykologisk innsikt en suksessfaktor. Stein, saks og papir går ut på at to spillere samtidig holder fram hånda, enten flat (papir), knyttet (stein) eller med to fingre sprikende som i V-tegnet (saks). Saks vinner over papir, papir vinner over stein og stein vinner over saks. Det er kombinasjonen av de to spillerenes valg som avgjør utfallet.

Den andre klassifikasjonen, strategispill vs. lotterier tar hensyn til hvorvidt tilfeldigheter er innbakt i spillet, dvs. om hele eller deler av spillet baserer seg på å kaste mynt, slå terning, trekke kort eller liknende. Enkelte velkjente spill er rene lotterier, slik som f.eks. Stigespill. Andre spill fordrer en viss grad av strategivalg, slik som Ludo (hvis man har mulighet kan man velge hvilken brikke man skal flytte).

Gangen i et spill er bestemt av spillernes valg av strategi. En strategi for en spiller er en spesifisering av hvilket valg spilleren skal gjøre i en hvilken som helst situasjon som kan oppstå i spillet. Egentlig er det en lang liste som sier at "dersom sånn og sånn og sånn, så skal jeg gjøre slik, mens hvis det derimot er sånn og sånn så skal jeg heller gjøre slik". Tenk dere en slik liste som skulle ta hånd om alle mulige posisjoner på et sjakkbrett og med en beskrivelse av hva som skulle gjøres i hvert enkelt tilfelle. Selvfølgelig er det ikke mulig i praksis å lage en slik liste for sjakk, det blir for mange muligheter, men i teorien lar det seg gjøre. Men vi kan få dette til for et litt enklere spill.

"Nim med en bunke" er et fyrstikkspill med følgende regler:

  • Spillet spilles av to spillere.
  • Fyrstikkene legges i en haug på bordet.
  • Spillerne trekker annen hver gang. Spillerne kan trekke enten 1, 2 eller 3 fyrstikker.
  • Den som tar den siste fyrstikken har vunnet.

Det er lett å se at hvis det er 4 fyrstikker igjen har den som ikke er i trekket vunnet. Tilsvarende for 8, da er det umulig for nestemann ikke å legge forholdene til rette for at hans motstander kan fjerne fyrstikker slik at det blir 4 igjen. Fortsetter vi på samme måte ser vi at det å etterlate seg et antall fyrstikker som er delelig med 4 er en sikker måte å vinne spillet. Prøv selv!

Dette spillet er et åpent strategispill og har altså en vinnerstrategi: Fjern så mange fyrstikker at antallet som ligger igjen er delelig med 4. Men hva hvis antallet er delelig med 4? Vel, hvis motstanderen din kjenner vinnerstrategien så har du tapt, hvis ikke får du håpe han gjør en feil slik at du kommer på offensiven!

I dette spillet er det slik at den ene spilleren har en vinnerstrategi og den andre er dømt til å tape. Hvis begge spillerne kan spillet mister det fort sin interesse siden begge vet akkurat hva som kommer til å skje. Da har vi to muligheter for å gjøre det mer interessant. Enten som i sjakk hvor antall muligheter er så mange at ingen i hele verden har oversikt over hva som bør gjøres i enhver situasjon, eller vi kan ta i bruk en terning og lage et lotteri slik at ingen vet akkurat hva som kommer til å skje. Eller vi kan spille lukkede spill og begynne å gjøre trekkene våre samtidig som i stein, saks og papir.

Vi skal avslutte med å kikke på noen eksempler på matematiske spill. Prøv å finne løsninger på spillene.

Duell
Dette eksemplet er relativt voldelig i sin natur, men siden vi er interessert i den teoretiske siden ved spillet ser helt bort fra de (u-)moralske sidene ved spillet. To duellanter går mot hverandre. Hver av dem er bevæpnet med en pistol ladd med kun en kule. Sannsynligheten for å treffe motstanderen øker jo nærmere de kommer hverandre. Det avgjørende spørsmålet blir når man skal fyre av. Skyter man for tidlig og bommer, kan motstanderen komme helt innpå før han skyter. Skyter man for seint øker sannsynligheten for at man allerede er truffet av motstanderens kule. Når lønner det seg å skyte?

Fangenes dilemma
Vi antar at spillerene er to kriminelle som er arrestert og skal avhøres hver for seg. Det er ingen bevis mot dem, og dom og straffeutmåling avhenger direkte av eventuelle tilståelser. Hvis begge tilstår vil begge få 8 år fengsel. Hvis ingen tilstår slipper de med 1 år. Hvis en tilstår og den andre tier, sier loven i dette landet at den som tilstår går fri, mens den andre får 10 år. Hva skal de gjøre?

Hus eller appelsin?
På enkelte TV-stasjoner har dette tradisjonsrike spillet vært brukt som underholdning. En publikummer (spilleren) skal velge blant tre lukkede luker. Bak to av lukene er det en appelsin og bak den tredje noe adskillig mer verdifullt. Spilleren vet ikke hva som er hvor og velger på måfå. I steden for å åpne den luka som spilleren til slutt velger sier programlederen at han skal gi spilleren litt hjelp og åpner en av de to andre lukene. Programlederen vet hvor appelsinene er og velger alltid en slik. Dermed er det to uåpnede luker igjen og spilleren får valget mellom å holde på sitt valg eller bytte. Av (u-)kjente grunner velger de aller fleste å stå på sitt valg (Sannsynligvis oppfatter man det som hipp som happ hvilken man velger og da er det tryggest å stå ved det opprinnelige valget). Programlederen åpner den valgte luken og spenningen utløses. Skulle spilleren ha byttet?

Lykke til!

Publisert: 27.09.2007

Skrevet av

Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo