www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Tellbare tall

Det finnes opplagt uendelig mange tall, men hvor stort er egentlig uendelig, og er det opplagt at vi vet hva vi mener med dette begrepet?

Mengden av reelle tall er ikke tellbar

Mengden av hele tall og mengden av reelle tall er begge uendelige, men likevel har de forskjellig størrelse! Mengden av hele tall er minst. Vi sier at denne mengden er tellbar, som betyr at vi kan finne en regel som nummererer alle tallene i mengden, eller setter dem opp i rekkefølge. Vi kan f.eks. skrive alle hele tall på følgende måte:

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...

og vi kan på en systematisk måte angi hvilket nummer ethvert helt tall har i denne rekkefølgen. Uendelige mengder som har denne nummereringsegenskapen kalles tellbare mengder. Mengden av rasjonale tall er tellbar, f.eks. ved følgende rekkefølge (dette er de positive, de negative kan vi inkludere på samme måte som over):

0/1, 0/2, 1/1, 0/3, 1/2, 2/1, 0/4, 1/3, 2/2, 3/1, ...

Med denne nummereringen (hvordan er systemet?) blir noen tall gjentatt, men det spiller ingen rolle for begrepet tellbarhet. Ser vi derimot på mengden av reelle tall så får vi ikke dette til. Matematikeren Georg Cantor lagde for mange år siden et bevis for dette. Her er hans bevis:

Teorem
Mengden av reelle tall er ikke tellbar.

Bevis
Anta at mengden av reelle tall (alle desimaltall) er tellbar. Da kan vi nummerere dem

a1 = 0 ,a11 a12 a13 a14
a2 = 0 ,a21 a22 a23 a24
a3 = 0 ,a31 a12 a33 a34 … ..

Alle desimalene a11 a12 a13 a32 a67 osv. i denne oppstillingen er ett av tallene 0,1,2,3,..,9.
Det første tallet a1 = 0 ,a11 a12 a13 a14 … kan for eksempel være 0,380219976….
Det spiller ikke så stor rolle, det viktigste er at vi tar det for gitt at vi kan lage en slik liste. Vårt håp er nå at alle reelle tall er med i denne uendelige oppramsingen av desimaltall.
Men obs-obs, se på følgende tall:

b = 0 ,b1 b2 b3 b4

som er laget på følgende måte, b1 velges forskjellig fra a11 (dette går greit siden vi har 10 siffer å velge mellom og kun ett av dem er uaktuelt). Tilsvarende gjør vi for b2 (velges forskjellig fra a22) b3, og så videre. Dermed har vi kokt opp et desimaltall (reelt tall) b som ikke er lik noen av tallene a1, a2, og så videre. Tallet er jo forskjellig fra hver av disse på minst én plass. Men vi antok jo at dette skulle være alle desimaltall. Så her er det noe krøll. Vi har fått en motsigelse.

Altså må antakelsen være gal, vi kan ikke skrive opp alle reelle tall i en slik rekkefølge, og mengden er derfor ikke tellbar. Q.E.D. (som er forkortelse for Quod Erat Demonstrandum, som er latin og betyr "det er bevist")

Publisert: 26.09.2007

Skrevet av

Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo

Tilsvarende emner behandles også i

Begrep

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.

  • Rasjonale tall

    Et tall som kan skrives på formen m/n der m og n er hele tall og n forskjellig fra 0. Mengden av rasjonale tall er ℚ.

  • Tellbar

    En tellbar mengde er en mengde som kan avbildes med en-til-en korrespondanse med de naturlige tallene.