www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Tall og tallmengder

"Gud skapte de naturlige tallene, resten er menneskets verk."

De første tallene vi møter på, og kanskje de mest naturlige, er de såkalte naturlige tallene, 1,2,3,4,5,6,7,8, og så videre. Disse tallene klarer vi oss ikke uten.

Vi bruker dem på to måter, den ene kalles med et fint ord for kardinalitet og det betyr at vi ser på et tall som en beskrivelse av et antall. For eksempel sier vi at det er 7 epler i kurven. Det er da helt entydig gitt hvor mange som er i kurven. Vi kunne selvfølgelig sagt at det er mange epler eller noen epler eller noe sånt, men det å angi med et naturlig tall er det mest presise. Det betyr ikke at vi vet alt om eplene som ligger i kurven, vi vet jo ikke hvordan eplene ser ut, om de er store, råtne eller overhode ikke modne, men vi vet en ting: Hvor mange det er.

Den andre måten å bruke naturlige tall på er det som kalles ordinalitet og som betyr nummerrekkefølge. Vi snakker om det tredje tallet, eller den femte isen. Sammenhengen mellom disse to begrepene er nokså opplagt, hvis vi plukker epler fra treet og ned i en kurv, så kan vi angi ett av eplene som det femte. Når det femte eplet er lagt i kurven har vi fem epler i kurven (dersom ingen er blitt tatt ut igjen). De naturlige tallene 1,2,3,4,5,6,.... betegnes med symbolet N.

Nå viser det seg at det er mange ting vi ikke får til dersom vi kun har naturlige tall. Vi kan f.eks. ikke løse likningen x+1=0. Så kan man spørre om hvorfor vi skal kunne løse en slik likning, og det finnes det mange grunner for. Dersom temperaturen øker med 1 grad og vi da har 0 grader, hva var temperaturen til å begynne med? Vi har altså introdusert de negative tallene ..., -3, -2, -1, og sammen med de naturlige tallene og 0 får vi det som kalles de hele tallene. De har fått betegnelsen Z. Vi kan si at Z er den minste utvidelsen av N vi trenger for å kunne trekke tall fra hverandre. På den annen side så kan vi trekke alle tall i Z fra hverandre og fortsatt være i Z.

Dette med å utvide tallbegrepet vårt til å omfatte de negative tallene er veldig typisk for måten matematikere tenker på. Vi har en mengde og en regneoperasjon. Siden mengden vår ikke er stor nok til at svaret på et minusstykke er med i mengden må vi finne oss en større mengde. Vi kunne ha tenkt oss at vi bare tok med oss 0 og -1 i tillegg til de naturlige tallene, men da ville vi fått et problem med (-1)+(-1). Vi vil at dette skal være -2, og siden vi vil at summen av to tall i mengden vår fortsatt skal være i mengden må vi ha med -2 også. På samme måte får vi med -3 og -4 osv. Men vi trenger ikke ta med 12. Vi kunne ha gjort det, men hvis det eneste vi ønsker er å kunne legge sammen og trekke fra hverandre tall og vi vil at de naturlige tallene skal være med, så er 12 unødvendig. Det er den imidlertid ikke hvis vi også forlanger at vi skal kunne dele tall med hverandre. I så fall trenger vi flere tall i mengden. Den aller enkleste delingen er 12 og denne må være med. Likså 13,14, osv., men også 23 og 47. Så oppi kurven vår ligger nå alle brøker, både negative og positive. Men så er det dette at vi skal kunne legge sammen, trekke fra, gange sammen og dele. Kan vi ta to brøker og få en ny brøk på en av disse måtene? Ja, det går an! Legger vi sammen to brøker får vi en ny brøk og det samme skjer med de andre regneartene. Det betyr at for å utvide kurven vår til også å ha med deling så må vi ta med alle brøker, men det er også nok. Vi trenger ikke ta med andre tall. Dermed har vi fylt kurven med ganske mange tall, nemlig alle de rasjonale tallene, eller Q som de kalles. Er det da flere tall?

Svaret er nok ja, det finnes flere tall. Hvis vi tenker oss at vi lister opp alle lengder mellom 0 og 1 meter, så vil det være en hel masse brøker blant disse. F.eks. 0,5 meter, 0,25 meter, 0,33333..... meter osv. Men det holder ikke med brøkene. Det finnes mange (faktisk uendelig mange) lengder mellom 0 og 1 meter som ikke kan skrives som brøker. Ja det er faktisk mange flere lengder som ikke kan skrives som brøker enn det er som kan skrives som brøker. Alle lengdene sammen kalles de reelle tallene og skrives med en R.

Det er veldig mange reelle tall og de dekker tallinjen fullt ut. Men finnes det enda flere tall? Nok en gang er svaret ja. Reelle tall har nemlig en stor mangel. Det finnes ikke noe tall som ganget med seg selv blir -1. Du ser kanskje ikke sånn umiddelbart at det er et problem, men i en matematisk sammenheng er dette litt dumt. Derfor har denne tallmengden, de reelle tall utvidet med et tenkt tall som ganget med seg selv gir -1 (og alle summer, produkter, kvotienter av slike) fått et eget navn, nemlig de komplekse tall, C.

Publisert: 26.09.2007

Skrevet av

Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo

Begrep

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Rasjonale tall

    Et tall som kan skrives på formen m/n der m og n er hele tall og n forskjellig fra 0. Mengden av rasjonale tall er ℚ.

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.

  • Komplekse tall

    Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tall. De er satt sammen av en realdel og en imaginærdel. Tallene kan fremstilles i et tallplan hvor førsteaksen er de reelle tallene og andreaksen de imaginære tallene. Den imaginære enheten er i=1. Et komplekst tall angis ofte på formen a + ib, hvor a og b er reelle tall.