www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Tallet π (PI)

Det var sumererne som i sin tid oppfant hjulet. Dermed ble "det matematiske hjulet", sirkelen, vel verdt å studere, og med sirkelen følger alltid tallet PI.

Så gjorde han det støpte hav;
det var ti alen fra den ene rand til den
andre og var aldeles rundt; det nådde
fem alen i høiden, og en snor på tretti
alen nådde rundt om det.
1. Kong. 7, 23
2. Krøn. 4, 2

Det var Johan Heinrich Lambert som i 1761 viste at tallet π var irrasjonalt, dvs. at det ikke kan skrives som en brøk, men som et desimaltall med uendelig mange desimaler: 3,14159265358979... Tallet π var imidlertid kjent lenge før 1761, og man hadde allerede regnet ut over 100 riktige desimaler av tallet på den tiden.

Tallene A-Z, hvor de symetriske bokstavene er uthevet.Når vi bruker tallet π i utregninger i dag, bruker vi ofte det tilnærmede tallet 3,14. Hvis vi tar med fire desimaler, får vi 3,1416. Til høyre har vi skrevet bokstavene A - Z der vi har uthevet de symmetriske bokstavene. Vi ser at bokstavene som ikke er symmetriske danner grupper med 3, 1, 4, 1 og 6 bokstaver. Tegningen er en morsom bemerkning i seg selv, men den har også et par ekstra poenger: For det første har vi skrevet bokstavene i en sirkel, som er nettopp den geometriske figuren der π kommer inn.

Det har vært kjent i flere tusen år at forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel ikke forandres selv om størrelsen på sirkelen forandres. Hvor du finner omkrets og diameter i en sirkel, er du i figuren over. Akkurat som forholdet/tallet "det gylne snitt", se i høyrespalten, er også dette forholdet et spesielt pent forhold/tall. Vi kaller det altså π.

Omkrets (O) og diameter (D) i en sirkel. Omkrets (O) og diameter (D) i en sirkel.

Når det gjelder notasjonen, var det de to engelske matematikerne (vi måtte bruke det engelske alfabetet i tegningen...) Oughtred og Gregory som på 1600-tallet var de første som brukte π, den greske bokstaven for p, som et matematisk symbol. De brukte den imidlertid for omkretsen til en sirkel (engelsk: periphery) og ikke for forholdet mellom omkrets og diameter. Det var den walisiske matematikeren William James som i 1706 først brukte π for tallet 3,14159..., og dette ble standard notasjon etter at Euler tok den i bruk (1737). Vi har nevnt i andre artikler at Euler var en matematiker med stor innflytelse, og mye av notasjonen som brukes i dag er takket være ham.

For "det gylne snitt" kunne vi skrive opp en andregradsligning fra forholdet mellom linjestykker, der en av løsningene ble tallet 1,61803... Hvordan kommer vi fra forholdet mellom omkrets og diameter til desimaltallet 3,14159...?

Forholdet mellom omkrets og diameter danner selve grunnlaget for regning med vinkler, og en måte å nærme seg tallet π på er å bruke en sirkel med radius 1. Kort fortalt, tilnærmer vi sirkelen fra utsiden og innsiden med regulære polygoner, og bruker hva vi i dag kaller trigonometri. Dette ble første gang gjort av Arkimedes, og var den første teoretiske utregningen av π. Denne fremgangsmåten er imidlertid meget arbeidskrevende: Arkimedes fant at

22371<π<227.

altså at

3,140845...<π<3,142857...

ved å bruke 96-goner... Dessuten hadde ikke Arkimedes dagens trigonometri til rådighet, men måtte bruke rene geometriske argumenter.

Før Arkimedes' tid regner man med at verdiene for π ble gjort ved målinger. Et eksempel finner vi i Første Kongebok, i verset som omhandler byggingen av Salomos tempel ca. 950 f. Kr., der Hiram, en kunstner fra Tyrus som var i Salomos tjeneste, støper en vannkum der π måles til å være 3.

Ordet arbeidskrevende har imidlertid ikke satt en stopper for bruken av polygoner, for eksempel brukte kineseren Liu Hui (år 263) et 3072-gon til å regne ut π med 5 riktige desimaler, og metoden ble brukt av arabere og europeere frem til midten på 1600-tallet. Da hadde man funnet π med 35 riktige desimaler. Fra 1600-tallet fikk desimaljakten større fart; da fant man nemlig flere aritmetiske formler som kunne brukes. Blant de mest kjente navnene i denne forbindelsen finner vi Wallis, Leibniz og Gregory, og en av de mest kjente formlene er

π=113+1517+19...

selv om denne ikke er den mest effektive for utregninger.

I dag brukes datamaskiner i jakten på desimalene til π.

Publisert: 26.09.2007

Skrevet av

Inger Christin Borge
Inger Christin Borge

Institusjon

Universitetet i Oslo

Tilsvarende emner behandles også i