www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Tallet e

Man skal ikke regne lenge på radioaktivitet, kontinuerlige bankrenter, eller rett og slett fenomener som har eksponentiell vekst, før tallet e dukker opp!

Tallet som i dag kalles e opptrer for første gang i et brev skrevet i 1690 av Leibniz, men da med notasjonen b. Det var i et annet brev, skrevet av Euler i 1731, at notasjonen e ble brukt for første gang for tallet som er tilnærmet lik 2,71828. Noen mener at e står for "eksponentiell", siden tallet e er det naturlige valget til grunntall i en eksponentialfunksjon, mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider.

Akkurat som tallet π, som er tilnærmet 3,14159, er også tallet e et irrasjonalt tall, men å regne ut desimaler for e har aldri blitt like populært som å regne ut desimaler for π. Vi ser også av årstallene vi har nevnt at e var en nykommer i forhold til π. Men selv om tallet e ikke hadde noen notasjon før mot slutten av 1600-tallet, opptrådte det allikevel i matematiske arbeider på hele 1600-tallet uten å bli identifisert. Da tallet ble identifisert, ble disse arbeidene viktige i forståelsen av tallet. Til disse arbeidene hører Napiers arbeider om logaritmer (1618), Huygens’ arbeider med rektangulære hyperbler, eksponentialkurven og logaritmer (1661) og ikke minst Bernoullis arbeid med grensen av uttrykket (1+1n)n når n går mot uendelig (1683).

I prosessen med å forstå tallet e skjønte man raskt at dette var nært knyttet til logaritmer. I de første arbeidene innen logaritmeteori var logaritmer tall som gjorde regningen lettere. I dag tenker vi på logaritmen med grunntall a av det positive tallet b som det tallet vi må opphøye a i for å få b, skrevet alogab=b. Dessuten tenker vi på logaritmer som funksjoner med tilhørende eksponentialfunskjoner der disse er inverse funksjoner. Og vi vet at e er grunntallet i den naturlige logaritmen, dvs. eln(b)=b. Erstatter vi b med en bokstav lengre ut i alfabetet, får vi funksjonen eln(x)=x, x > 0.

Det som gjør at e er grunntallet i den naturlige logaritmen er følgende egenskap:

Hvis vi tegner funksjonen y=1x, får vi en rektangulær hyperbel. Ordet rektangulær kommer av at når x og y er positive, er de lengdene på sidene i et rektangel med areal 1. Tallet e er nå tallet slik at arealet under den rektangulære hyperbelen fra 1 til e er 1:

 

Koordinatsystem som viser funksjonen y=1/x hvor arealet under grafen fra 1 til e er skravert. Arealet er 1.

Skrevet med dagens integrasjonsnotasjon:
1e1xx=[ln(x)]1e=1

Vi nevner til slutt noen flere egenskaper ved e:

Egenskap 1)  e=limn(1+1n)n

Egenskap 2)  e=01n!

Begge disse ble funnet av Euler. Egenskap 2) sier at e kan uttrykkes ved en uendelig rekke. Denne kan blant annet brukes til å regne ut desimaler for e og til å vise at tallet e er irrasjonalt. En tredje egenskap gjelder eksponentialfunksjoner ax: Hva må grunntallet a være for at hastigheten funksjonen vokser med i hvert punkt er lik funksjonsverdien i punktet? Jo, grunntallet må være e:

f(x)=ex
f(x)=ex

Det fins mange formler som involverer e, og i artikkelen om tallet i finner du en formel som knytter sammen tallene π og e! Men for eksempel differansen π - e, som er ca. 0,42331, har ikke vært utforsket i særlig grad… Er dette et tall som dukker opp i noen interessante sammenhenger?

Publisert: 26.09.2007

Skrevet av

Inger Christin Borge
Inger Christin Borge

Institusjon

Universitetet i Oslo

Begrep

  • Eksponentialfunksjon

    Funksjon gitt ved abx, hvor b er en positiv konstant.

  • Hyperbel

    Et kjeglesnitt som skjærer begge delen av en dobbeltkjegle. Et eksempel er grafen til funksjonen f(x)=1x .

  • Logaritme

    Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.