www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Hoderegning

Det er ikke alltid så lett å fortelle andre hvordan man regner i hodet. Vi har ofte helt forskjellige teknikker, og det som kan virke lett for noen er vanskelig for andre. Det er kanskje like mange teknikker for hoderegning som det er hoderegnere. Men noen generelle metoder går igjen. Vi skal ta for oss både addisjon og multiplikasjon og se hvordan egenskaper ved tallene kan hjelpe oss på vei.

 Legge sammen

Å legge sammen i hodet er egentlig bare et spørsmål om å huske og å holde rede på flere ting samtidig. Posisjonssystemet er i seg selv et godt utgangspunkt for hoderegning. Spørsmålet blir om man skal begynne bakfra eller forfra, dvs. om man skal legge sammen enerne først og så tierne slik man gjør når man regner på papir, eller om man skal gå motsatt vei. Når man regner i hodet kan det ofte være lurt å gå den andre veien.

Hvis man begynner med de største tallene må man hele tiden skjele til neste tall for å se om det skjer en tierovergang. Et eksempel: 3782+1965. Vi starter fra venstre, med tusenene, 3+1=4, men det aner oss, ved å kaste et blikk på det som kommer etterpå, at det er en tierovergang i neste siffer. Derfor blir første siffer 5. Siden 7+9=16 og 10-eren er brukt opp, blir neste siffer 6, men også her aner vi at det er tierovergang på gang og øker med en, til 7, altså 5 tusen 7 hundre ... Neste siffer blir 4, fordi 8+6=14 og 10-eren er brukt opp fra før, og denne gangen kommer det ingen tierovergang, altså beholder vi 4, og til slutt får vi 2+5=7. Til sammen 5747. Kunsten er å gjøre disse prosessene så raskt at man kan lese svaret fem tusen sju hundre og førtisju, mens regningene som beskrevet over pågår. Det som kreves er å huske samt å kunne lille addisjonstabell utenat. Subtraksjon kan gjøres omtrent på samme måte.

Gange sammen

Når det gjelder multiplikasjon er det flere ulike teknikker som kan anvendes, og teknikkene har litt forskjellige bruksområder. Den mest generelle teknikken er flytting av faktorer. Ethvert tall kan på en entydig måte (bortsett fra omstokking av rekkefølge) faktoriseres i sine ulike primfaktorer. Ofte er det lettere å multiplisere sammen et stort tall med en enkel primfaktor og så gjenta dette til hele multiplikasjonen er utført enn å multiplisere sammen to flersifrede tall. Et eksempel illustrerer dette prinsippet.

Utfør multiplikasjonen 168 · 78. Vi starter med å splitte av primfaktorer på det minste av tallene. I dette tilfellet er 78 det minste og vi ser lett at 2 er en faktor. Det gir oss 168 ·78 = 336 · 39, der fordoblingen av 168 følger addisjonsprinsippet med å begynne forfra og skjele bakover om det er noen tierovergang i sikte på neste siffer. Videre er 39 delelig med 3, og 336 lar seg lett multiplisere med 3 siden vi husker at 333 · 3 = 999. Siden 336 er 3 større vil 3 ganger tallet bli 9 større, altså 1008, dvs. er regnestykket vårt 1008 · 13. Nå gjenstår egentlig bare multiplikasjonen 8 · 13. Denne tar vi greit ved at 8 · 13 = 4 · 26 = 2 · 52 = 104. Eller så husker vi at hver farge i en kortstokk har 13 kort, det er fire farger og til sammen 52 kort. 8 farger tilsvarer 2 kortstokker med 52 · 2 = 104 kort. Vårt opprinnelige regnestykke blir dermed 168 · 78 = 13104. Dette virker kanskje nokså ad hoc og lite generelt, men faktum er at vi ved denne framgangsmåten tar i bruk helt vesentlige egenskaper ved de naturlige tallene, nemlig deres multiplikative oppbygning. Ankepunktet ved en slik metode er selvfølgelig at av og til må vi multiplisere med primtall, og da er metoden til liten hjelp. Eller så kan tallene være så store at vi ikke klarer å faktorisere. Det kan nemlig være svært vanskelig, særlig for store tall.

Faktorisering fungerer veldig ofte bra, men som vi har sett, ikke alltid, og metoden er heller ikke nødvendigvis så rask. En metode som bare fungerer i enkelte tilfeller, men som da kan være god, er å bruke kvadratsetningene, særlig den tredje. Den sier at

(a+b)(ab)=a2b2.

Det er ikke vanskelig å vise at dette alltid gjelder, vi ganger bare ut ledd for ledd og ser fort at det er to ledd som inneholder ab, og disse opptrer med motsatt fortegn. Anvendelsesområdet er på produkter av typen 26 · 34, der det ene tallet er like mye mindre enn et rundt tall som det andre er større. Vi regner slik: 26 · 34 = (30-4)(30+4)= 900-16 = 884. Det er også mulig å bruke første og andre kvadratsetning,

(a+b)2=a2+2ab+b2 og (ab)2=a22ab+b2,

men dette er sjelden veldig effektivt.

Noen helt spesielle teknikker finnes også. En av dem er multiplikasjon mellom et tosifret tall og 11. Det er lett å se, ut fra vanlig oppstilling av multiplikasjon at svaret er laget ved å ta det tosifrede tallet, splitte sifrene og sette tverrsummen i midten. Dersom tverrsummen overstiger 9, altså er 10 eller større, så settes siste siffer i tverrsummen i midten, og ettallet legges til det første av de splittede sifrene. Vi tar to eksempler.

11 · 42, tverrsummen av 42 er 6 og svaret blir 462. I utregningen av 11 · 68 ser vi at  tverrsummen av 68 blir 14, vi setter 4 i midten og legger 1-tallet til 6 og får 748.

Det er generelt vanskelig å beskrive metoder for hoderegning. Men det er mulig å bruke aritmetiske egenskaper ved tallene, som faktorisering eller generelle algebraiske resultater som kvadratsetningene og lage helt allmenne teknikker. I tillegg er det en forutsetning for rask hoderegning at man er øvet i å håndtere flere teknikker samtidig, at man har evne til å huske mange tall og at man klarer å kombinere dette. Den praktiske betydningen av en slike evne er ikke bare kuriøs, men kan for mange være nyttige i ulike dagligdagse sammenhenger.

Men kanskje vel så viktig som å kunne utføre eksakte regnestykker i hodet er å kunne gjøre kvalifiserte og gode overslag i hodet, slik at man kan angi cirka-svar på regneproblemer som dukker opp. Man gjør noen forenklinger, bruker noen av de foreskrevne teknikker og så kommer man fram til svar som for mange praktiske formål er like gode som det eksakte svaret. I alle tilfelle er det nyttig å kunne den lille multiplikasjonstabellen utenatt, den ligger ofte til grunn. Et eksempel på dette er rask divisjon i hodet. Dersom man får oppgitt f.eks. et firesifret tall som man av ulike grunner vet er et kvadrattall så holder det ofte å anslå størrelsen på tallet ved å se på de første to sifrene, for deretter å sikte seg inn på det eksakte tallet ved å se på de to siste.

Et eksempel: 52 · 52 = 2704. Hvis vi kun kjenner svaret kan vi tenke slik: Normalt vil kvadratet av et 2-sifret tall være 3 eller 4-sifret, kvadratet av et 3-sifret tall 5 eller 6-sifret, osv. Det betyr at kvadratroten til 2704 raskt vil kunne fastslås å være 2-sifret, og siden 50 · 50 er 2500, mens 60 · 60 er 3600, så vet vi at tallet ligger mellom 50 og 60. Ser vi på siste siffer, så bruker vi følgende huskeregel, kvadratet av et tall som slutter med 1 har 1 som siste siffer, kvadratet av et tall som slutter på 2 har 4 som siste siffer, 3 som siste siffer gir 9, osv. Det er to kvadratstyper som har 4 som siste siffer, nemlig de som slutter på 4 og de som slutter på 8. 2704 er nærmere 2500 enn 3600 hvilket skulle indikere at svaret er 52. Forutsetningen for at dette skal gå bra er at tallet vi ser på faktisk er et kvadrattall.

Igjen ser vi at forutsetningene for å regne raskt i hodet er en god kjennskap til tallene og deres multiplikative egenskaper, kombinert med evne og intuisjon til å finne gode teknikker og å håndtere flere tall samtidig.

Det finnes selvfølgelig et mangfold av andre teknikker som vi ikke kan behandle her. Det viktigste er å finne sine egne metoder, som passer til ens egne ferdigheter. Det er i stor grad opp til den enkelte, og en fin og nyttig intellektuell øvelse.

Publisert: 25.09.2007

Skrevet av

Arne B. Sletsjøe
Arne B. Sletsjøe

Institusjon

Universitetet i Oslo

Tilsvarende emner behandles også i

Begrep

  • Kvadrattall

    Et helt tall som er lik med kvadratet (andre potens) av et annet helt tall.
    F.eks. er 9 et kvadrattall fordi 32=9.