www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Shannons sjongleringsteorem

Amerikaneren Claude Shannon (1916-2001) var en berømt matematiker og ivrig sjonglør. Han laget en enkel formel som forklarer sammenhengen mellom "timingen" i et standard sjongleringsmønster og antall baller og hender som er involvert.

Den enkle formelen Shannon laget har fått navnet Shannons sjongleringsteorem, og ser slik ut:

(L+D)H=(T+D)N


Her er L tiden en ball er i lufta, D er tiden en ball tilbringer i hånda før den kastes igjen, T er tiden en hånd er tom, N er antall baller, og H er antall hender.

La oss se hvorfor formelen over er riktig. Ideen er å finne to uttrykk for hvor lang tid det tar å fullføre én runde av sjongleringen. (En runde er fullført når alle ballene er tilbake til utgangspunktet.)

Hvis vi starter med en bestemt ball, skal den innom H hender i løpet av en runde. Tiden mellom hver gang ballen blir kastet er L + D, så hele runden tar tiden (L + D)H. Sett fra en av hendene, er det N baller som skal kastes og tas imot i løpet av en runde. Tidsbruket for hver ball er T + D, altså tar hele runden tiden (T + D)N. Nå har vi funnet to uttrykk for rundetiden. Disse må være like, og dermed har vi bevist Shannons teorem.

Forholdstallet

h=DT+D


kalles hvileraten til sjongleringen. Hvileraten ligger alltid mellom 0 og 1, og angir hvor stor andel av tiden en hånd er full. Nybegynnere har en tendens til å ha en hvilerate på nesten 1, det vil si at man holder lenge på hver ball. Når man etter hvert får mer flyt i sjongleringen, går hvileraten som regel ned til et sted mellom ½ og ¾. Et morsomt (men vanskelig) triks er å sjonglere med veldig lav hvilerate. Da ser det ut som om man sjonglerer med glovarme poteter - etter hvert mottak kaster man opp igjen så fort man kan.

Med utgangspunkt i Shannons formel kan man undersøke mange interessante aspekter ved sjonglering. Et eksempel er høyden på kastene. Som vi observerte over, er tiden mellom kastene fra en bestemt hånd T + D. Dette betyr at ved vanlig tohånds sjonglering, er tiden mellom hvert "slag", dvs. mellom hver gang en av hendene utfører et kast, lik

12(T+D)


La oss kalle dette tallet for R. I praksis er det lett å måle R - hvis du for eksempel finner ut hvor mange kast du gjør i sekundet, er R lik 1 delt på dette antallet. Dersom vi løser Shannons formel med hensyn på L, og bruker størrelsene h og R, får vi at

L=R(N2h)


Dette er altså tiden hver ball er i lufta. Fra fysikken vet vi at hvis et objekt kastes rett opp, og når sitt høyeste punkt etter t sekunder, så er kastets høyde s gitt ved formelen

s=12gt2

, der g=9,8m/s2 er tyngdens akselerasjon på jorda. For et sjongleringskast er t = ½L, så dersom vi kjenner N, h og R, kan vi enkelt regne ut hvor høye kastene blir. La oss for eksempel anta at en sjonglør sjonglerer tre baller med tre kast i sekundet (R=13 ), og med hvilerate h=0,7. Hvis han skal sjonglere 6 baller med samme tempo og hvilerate, gir formelen over at kasthøyden må være

s=12g(12L)2=129,8(1213(61,4))22,9meter


Slike høye kast er vanskelige å kontrollere for de fleste. Det vil nok være fornuftig i dette tilfellet å øke tempoet noe, for eksempel til 3,5 kast i sekundet. Kasthøyden blir da ca. 2,1 meter.

Publisert: 18.09.2007 Endret: 28.07.2010

Skrevet av

Magnus Dehli Vigeland

Institusjon

Universitetet i Oslo