www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Første ordens lineære differensiallikninger

Videoen forklarer første ordens lineære differensiallikninger og viser et eksempel på hvordan slike likninger kan løses.

 

 

 

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte (funksjonens differensialkvotient) inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller d2f(x)x2f(x)=0

Differensiallikning
   

Oppgaver

1. Er likningen y'+x2y=x en første ordens lineær differensiallikning?

FASIT

Ja.

En første ordens lineær differensiallikning er på formen y'+f(x)y=g(x)der f og g er gitte funksjoner. Med f(x)=x2 og g(x)=x ser vi at dette er tilfellet i likningen ovenfor.



2. Vis at funksjonen y gitt ved y(t)=12+Ce-t, der C, oppfyller differensiallikningen y'+y=12.

FASIT

y(t)=12+Ce-t og y'(t)=-Ce-t


y'+y=12+Ce-t-Ce-t=12



3. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=Ce-32x+6, der C, oppfyller differensiallikningen 2y'+3y=18.

FASIT

y(x)=Ce-32x+6 og y'(x)=-32Ce-32x


2y'+3y=2(-32Ce-32x)+3(Ce-32x+6)=18



4. La y'=-5y. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

y'+5y=0

 

Så f(x)=5 og g(x)=0.



5. Løs differensiallikningen y'+5y=0.

FASIT

y(x)=Ce-5x


Løsningsforslag:

y'+5y=0

y'e5x+5ye5x=0

(ye5x)'=0

ye5x=C

y(x)=Ce-5x



6. Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=2e-5x er en løsning av differensiallikningen i oppgave 5.

FASIT

y(x)=2e-5x og y'(x)=-10e-5x


y'+5y=-10e-5x+52e-5x=0



7.
La y'=1-y2. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

Dette er ikke mulig.

Siden vi har y2 klarer vi ikke å få leddet f(x)y, der y er i første potens.

 


8. La y'=1-y. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

y'+y=1

 

Så f(x)=1 og g(x)=1.



9. Løs differensiallikningen y'+y=1.

FASIT

y(x)=1+Ce-x

Løsningsforslag:

y'+y=1

y'ex+yex=ex

(yex)'=ex

yex=exdx

yex=ex+C

y(x)=1+Ce-x



10. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=1+Ce-x, der C, er en løsning av differensiallikningen i oppgave 8.

FASIT

y(x)=1+Ce-x og y'(x)=-Ce-x.


y'+y=1+Ce-x-Ce-x=1



11.
La y=y(t). Løs differensiallikningen y'+yt=t.

FASIT

y(t)=13t2+Ct


Løsningsforslag:

y'+1ty=t

Integrerende faktor: e1tdt=t

y't+y=t2

(yt)'=t2

yt=t2dt

yt=13t3+C

y(t)=13t2+Ct-1



12. Løs differensiallikningen y'-yt=t.

FASIT

y(t)=t2+Ct


Løsningsforslag:

y'-1ty=t

 

y't-1-yt-2=1

(yt-1)'=1

yt-1=t+C

y(t)=t2+Ct

Publisert: 29.05.2017 Endret: 15.07.2017

Støtteemne

Difflikninger

Består av: