www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Separable differensiallikninger

Videoen forklarer separable differensiallikninger og viser et eksempel på løsning av en slik likning med initialbetingelse.

 

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte (funksjonens differensialkvotient) inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller d2f(x)x2f(x)=0

Differensiallikning
 
 

 

Oppgaver

1. Er likningen y(1+e-y)y'=x2+ln3 en separabel differensiallikning?

FASIT

Ja. En differensiallikning er separabel hvis den er på formen p(y)y'=q(x) der p og q er gitte funksjoner.  Med p(y)=y(1+e-y) og q(x)=x2+ln3 ser vi at likningen over er en separabel differensiallikning.

I dette eksempelet er y en funksjon av variabelen x. Vi bruker forkortelsene y' og y, for  y'(x) og y(x) når vi løser differensiallikninger.



2
.
Løs den separable differensiallikningen y'=3.

FASIT

y(x)=3x+C

Løsningsforslag:

y'=3

y'dx=3dx

dydxdx=3dx

dy=3dx

y(x)=3x+C



3.
Løs den separable differensiallikningen y'=x.

FASIT

y(x)=12x2+C



4.
Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=12x2+3 oppfyller differensiallikningen y'=x.

FASIT

y'=(12x2+3)'=122x+0=x

 

5. La k. Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=kx oppfyller differensiallikningen 1yy'=1x.

FASIT

y(x)=kx og y'(x)=k


1yy'=1kxk=1x 

 

6. La y'=xy+3y. Vis at likningen kan skrives på formen p(y)y'=q(x).

FASIT

y'=xy+3y

y'=y(x+3)

1yy'=x+3

 

6. Kan likningen y'=y+x skrives på formen p(y)y'=q(x)?

FASIT

Nei.

Ingen manipulasjoner av likningen vil gjøre at vi kan få det på denne formen. I siden "første ordens lineære differensiallikninger" vil du lære å løse slike likninger.

 

 

7. Løs den separable differensiallikningen 1yy'=x+3.

FASIT

y(x)=Ce12x2+3x

Løsningsforslag:

1yy'=x+3

1ydy=(x+3)dx

lny=12x2+3x+C1

y=e12x2+3x+C1

y=eC1e12x2+3x

y(x)=Ce12x2+3x



8. La C. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=Ce12x2+3x oppfyller differensiallikningen i oppgave 7.

FASIT

y(x)=Ce12x2+3x og y'(x)=(x+3)Ce12x2+3x

 

1yy'=1Ce12x2+3x(x+3)Ce12x2+3x=x+3



9.
Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=ex1+ex oppfyller differensiallikningen y'=y(1-y).

FASIT

y=ex1+ex og y'=ex(1+ex)-exex(1+ex)2=ex(1+ex)2


y(1-y)

=ex1+ex(1-ex1+ex)

=ex1+ex-e2x(1+ex)2

=ex(1+ex)(1+ex)2-e2x(1+ex)2

=ex(1+ex)2

=y'

Publisert: 21.05.2017 Endret: 15.07.2017