www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Delbrøkoppspaltning

Videoen viser bruk av antiderivasjonsteknikkene substitusjon, delvis integrasjon og delbrøkoppspaltning. På slutten av videoen vises et eksempel der substitusjon og delvis integrasjon kombineres.

 

Oppgaver

1. Regn ut 1x2+xdx.

FASIT

lnx-lnx+1+C


Løsningsforslag:

Først ser vi at integranden 1x2+x kan skrives som 1x(x+1) . Nevneren er nå et produkt med to lineære faktorer, og vi kan bruke delbrøkoppspaltning til å forenkle integralet.

1x(x+1)=Ax+Bx+1    1=A(x+1)+Bx

Med x=0 ser vi at A=1. Med x=-1 ser vi at B=-1.

1x2+xdx

=1xdx+-1x+1dx

=lnx-lnx+1+C

 



2. Regn ut 1x2+2xdx.

FASIT

12lnx-12lnx+2+C

 

3. Regn ut 3x(x+2)(x+1)dx.

FASIT

6lnx+2-3lnx+1+C



4. Regn ut x+2x2-1dx.

FASIT

32lnx-1-12lnx+1+C



5. Regn ut 12x2+xdx.

FASIT

lnx-ln2x+1+C



6.
Regn ut 2x3ex2dx.

FASIT

x2ex2-ex2+C


Løsningsforslag:

Her kunne vi brukt delvis integrasjon tre ganger, for å få vekk 2x3. Men det er mer effektivt å først bruke substitusjon, og så delvis integrasjon.

La u=x2. Dette gir at du=2xdx.

2x3ex2dx=ueudu


Denne oppgaven har vi løst tidligere med delvis integrasjon.

ueudu=ueu-eu+C

Substitusjon tilbake gir det endelige svaret.

x2ex2-ex2+C

Publisert: 15.05.2017 Endret: 15.07.2017