Delbrøkoppspaltning

Videoen viser bruk av antiderivasjonsteknikkene substitusjon, delvis integrasjon og delbrøkoppspaltning. På slutten av videoen vises et eksempel der substitusjon og delvis integrasjon kombineres.

Antiderivasjonsteknikker

Rettighetshaver: UiO / UiO

Oppgaver

1. Regn ut $\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} + x} d x$ .

FASIT

$\ln |x| - \ln |x + 1| + C$

Løsningsforslag:

Først ser vi at integranden $\frac{1}{x^{2} + x}$ kan skrives som $\frac{1}{x (x + 1)}$ . Nevneren er nå et produkt med to lineære faktorer, og vi kan bruke delbrøkoppspaltning til å forenkle integralet.

$\frac{1}{x (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ $\Rightarrow 1 = A (x + 1) + B x$

Med $x = 0$ ser vi at $A = 1$ . Med $x = - 1$ ser vi at $B = - 1$ .

$\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} + x} dx$

$= \int_{}^{} \frac{1}{x} dx + \int_{}^{} \frac{- 1}{x + 1} dx$

$= \ln |x| - \ln |x + 1| + C$

2. Regn ut $\int_{}^{} \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{2} \ln |x| - \frac{1}{2} \ln |x + 2| + C$

3. Regn ut $\int_{}^{} \frac{3 x}{(x + 2)(x + 1)} d x$ .

FASIT

$6 \ln |x + 2| - 3 \ln |x + 1| + C$

4. Regn ut $\int_{}^{} \frac{x + 2}{x^{2} - 1} d x$ .

FASIT

$\frac{3}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| + C$

5. Regn ut $\int_{}^{} \frac{1}{2 x^{2} + x} dx$ .

FASIT

$\ln |x| - \ln |2 x + 1| + C$

6. Regn ut $\int_{}^{} {2 x^{3} e}^{x^{2}} d x$ .

FASIT

$x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Løsningsforslag:

Her kunne vi brukt delvis integrasjon tre ganger, for å få vekk $2 x^{3}$ . Men det er mer effektivt å først bruke substitusjon, og så delvis integrasjon.

La $u = x^{2}$ . Dette gir at $du = 2 x dx$ .

$\int_{}^{} 2 x^{3} e^{x^{2}} dx = \int_{}^{} u e^{u} du$

Denne oppgaven har vi løst tidligere med delvis integrasjon.

$\int_{}^{} u e^{u} du = u e^{u} - e^{u} + C$

Substitusjon tilbake gir det endelige svaret.

$x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Del på Facebook

Del på Facebook

Delbrøkoppspaltning

Oppgaver

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

Matematikk for studenter

Integrasjon

Består av: