www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Definisjonen av derivasjon

Videoen forklarer definisjonen av derivasjon og viser et eksempel på hvordan man kan finne den deriverte til en funksjon ved hjelp av definisjonen.


Begreper

Deriverbarhet

Vi sier at en funksjon f(x) er deriverbar i et punkt a, hvis følgende grense finnes:

f'(a)=limh0f(a+h)-f(a)h

Med "finnes" mener vi at den ikke er uendelig og blir det samme uavhengig av om h går mot null ovenfra eller nedenfra.

Deriverbarhet
,  

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

Derivasjon
 

Oppgaver

1. Anta at grafen til en funksjon f har en tangent i punktet (x0,f(x0)). Hva er stigningstallet til denne tangenten?

FASIT

Stigningstallet til tangenten er f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx



2. La f(x)=3x1. Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

f(x)=3

Løsningsforslag:

limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx

=limΔx0(3(x+Δx)1)(3x1)Δx

=limΔx03ΔxΔx

=limΔx03

=3



3. La g(x)=x2. Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

g(x)=12

Løsningsforslag:

limΔx0g(x+Δx)g(x)Δx

=limΔx0((x+Δx)2)(x2)Δx

=limΔx0Δx2Δx

=limΔx012

=12



4. La h(z)=2z2. Deriver funksjonen ved hjelp av definisjonen.

FASIT

h(z)=4z

Løsningsforslag:

limΔz0h(z+Δz)h(z)Δz

=limΔz02(z+Δz)22z2Δz

=limΔz04zΔz+Δz2Δz

=limΔz04z+Δz

=4z

Publisert: 25.04.2017 Endret: 15.07.2017