www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Eksponentiallikninger

Videoen viser hvordan man kan løse likninger der variabelen er i en eksponent.

 

Eulers tall

 

Begreper

Eksponentiallikning

En eksponentiallikning er en likning der én eller flere potenser har den ukjente (ofte x) i eksponenten.

Eksempel med x som ukjent: 210x=4 eller 1,03x=2

Eksponentiallikning
,  

e

Et viktig tall i matematikken. Det er et irrasjonalt tall med en uendelig desimalutvikling.

Tallet er e = 2,7182...

Tallet er grunntallet for den naturlige logaritmen og ble introdusert av Euler som har fått tallet oppkalt etter seg.

Tallet kan defineres som (1+1n)n  når n går mot uendelig.

e
 

Oppgaver

1. La x. Løs likningen ex=5.

FASIT

x=ln5

Løsningsforslag:

ex=5
ln(ex)=ln5
xlne=ln5
x=ln5.


2. La x. Løs likningen 10x=3.

FASIT

x=lg3

Løsningsforslag:

10x=3
lg(10x)=lg3
xlg10=lg3
x=lg3.


3. La x. Løs likningen e3x+5=5.

FASIT

x=ln(5)53

Løsningsforslag:

e3x+5=5
ln(e3x+5)=ln5
(3x+5)lne=ln5
3x+5=ln5
x=ln(5)53.


4. La x. Løs likningen e(x+4)=e3.

FASIT

x=7

Løsningsforslag:

e(x+4)=e3
ln(e(x+4))=ln(e3)
(x+4)=3
x=7

Her kunne vi også observert at eneste forskjell mellom venstre og høyre side av likningen e(x+4)=e3 er eksponentene. Derfor må vi ha (x+4)=3, som også gir at x=7.


5. La x. Løs likningen e2x+3ex10=0.

FASIT

x=ln2

Løsningsforslag:

e2x+3ex10=0
(ex)2+3ex10=0
ex=3±3241(10)21=-3±72

ex er et positivt tall for alle verdier av x, mens -372 er et negativt tall. Derfor er det bare en løsning: ex=-3+72=2

ln(ex)=ln2
x=ln2.


6. La x. Løs likningen ex2ex1=0.

FASIT

x=ln2

Løsningsforslag:

ex2e-x-1=0
(ex)2ex2=0 (her har vi multiplisert med ex)
ex=(1)±(1)241(2)21=1±32

ex er et positivt tall for alle verdier av x, mens 132 er et negativt tall. Derfor er det bare en løsning: ex=1+32=2

ln(ex)=ln2
x=ln2.


7. Skriv ned definisjonen av e fra videoen ovenfor.

FASIT


e=limn(1+1n)n


8. Søk etter andre måter e kan representeres på.

FASIT

Det finnes mange måter å definere e.

Tallet e kan defineres som en uendelig rekke:
e=n=01n!.

Tallet e kan defineres som det unike tallet x>0 slik at
lnx=1x1tdt=1.

Her kan du finne flere representasjoner av e.


9. Beskriv sammenhengen mellom lnx og ex.

FASIT


ln(ex)=x

hvis x>0 er elnx=x

Den naturlige logaritmefunksjonen er den inverse til eksponentialfunksjonen.

Publisert: 24.04.2017 Endret: 16.07.2017