Delvis integrasjon

$4x{e}^x-4e^x+C$

Løsningsforslag:

Delvis integrasjon: $u=4x$ og $v\prime =e^x$. Da er $u\prime =4$ og $v=e^x$.

$\int 4x{e}^{x}dx$
${\int }_{}^{}uv\text{'}dx$
$=uv-{\int }_{}^{}u\text{'}vdx$
$=4x{e}^x-\int 4e^{x}dx$
$=4x{e}^x-4\int e^{x}dx$
$=4x{e}^x-4e^x+C$.

$3x{e}^x-3e^x+C$

Delvis integrasjon: $u=4x$ og $v\text{'}=e^x$.

 $x\sin \left(x-2\right)+\cos \left(x-2\right)+C$

Delvis integrasjon: $u=x$ og $v\text{'}=\cos \left(x-2\right)$.

$-\frac{1}{2}\mathrm{(}2t+3\mathrm{)}\cos \left(2t\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2t\right)+C$

Delvis integrasjon: $u=2t+3$ og $v\text{'}=\sin \left(2t\right)$.

 $y\ln \left(y\right)-y+C$

Substitusjon: $u=\ln \left(y\right)$ og $v\text{'}=1$.

$x\ln \left(5x\right)-x+C$

Substitusjon: $u=\ln \left(5x\right)$ og $v\text{'}=1$.

$\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$

Substitusjon: $u=x$ og $v\text{'}=e^{2x}$.

$\mathrm{(}\frac{1}{3}{x}^3-x^2\mathrm{)}\ln \left(x\right)-\frac{1}{9}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C$

Substitusjon: $u=\ln \left(x\right)$ og $v\text{'}=x^2-2x$.

 $x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

Delvis integrasjon første gang: $u=x^2$ og $v\text{'}=e^x$.

Delvis integrasjon andre gang: $u=2x$ og $v\text{'}=e^x$.