www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Kryssprodukt - areal og volum

Areal

Arealet av et parallellogramm er bestemt av vektorene a og b er gitt ved |a×b|. Arealet av en trekant utspent av to vektorer, er halvparten av arealet til parallellogramet.

Da får vi at arealet til trekanten er 12|a×b|.

Eksempel 1

Vi er gitt punktene A=(1,1,0), B=(3,4,0) og C=(4,2,0). Som tidligere tenker vi at punktene ligger i xy-planet i tredimensjonalt rom. Vi ønsker å finne arealet av trekanten ΔABC. Vi finner vektorene AB=[2,3,0] og AC=[1,2,0]. Vi regner ut kryssproduktet: AB×AC=ijk230120=k2312=[0,0,7]. Lengden til denne vektoren er 7. Dermed er arealet til trekanten 72.

 

Volum

Gitt tre vektorer a,b og c i planet kommer disse til å spenne et parallellepiped, en figur med seks parallellogrammer som sideflater.

Volumet er gitt som produktet av arealet av grunnflaten og høyden. Arealet av grunnflaten G er G=|a×b|. Siden vektoren a×b står normalt på grunnflaten, er høyden gitt ved |c|cosθ hvor θ er vinkelen mellom c og a×b. Vi konkluderer med at volumet V er gitt ved V=|a×b||c|cosθ. Vi kjenner igjen denne formelen fra vinkelen mellom to vektorer, dette er simpelthen V=(a×b)c. Her har vi ikke tatt hensyn til fortegn slik at vi bruker absoluttverdien av tallet dersom negativt.

Eksempel 2

Vi regner ut volumet av parallellepidedet som spennes ut av a=[4,1,1],b=[1,4,2] og c=[2,2,4]. Vi må først regne ut a×b: a×b=ijk411142=2i7j+15k=[2,7,15]. Nå kan vi regne ut volumet: (a×b)c=[2,7,15][2,2,4]=414+60=42.

Om vi vil regne ut volumet av en pyramide hvor grunnflaten er et parallellogram kan vi også gjøre dette som vanlig.

Vi vet at volumet av pyramiden er 13Gh hvor G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Men vi har nettopp regnet ut at Gh=(a×b)c. Dermed er volumet av pyramiden V=13(a×b)c.

Eksempel 3

En pyramide er spent ut av vektorene a=[4,1,1], b=[3,2,1] og c=[1,3,0]. Vi regner først ut a×b: a×b=ijk411321=3i7j+5k=[3,7,5]. Vi regner ut volumet:

V=13(a×b)c=13([3,7,5][1,3,0])=13(321+0) 

V=13(18)=6.

Siden tallet er negativt må vi ta absoluttverdi. Dermed er volumet 6.

Som et siste eksempel kan vi bruke de samme teknikkene til å finne volumet av et tetraeder, hvor grunnflaten er en trekant.

I dette tilfellet vet vi at arealet av grunnflaten er 12|a×b|. Dermed er volumet likt

V=1312a×bc=16a×bc.

Eksempel 4

Vi finner volumet av tetraederet utspent av a=[2,1,1],b=[4,2,0] og c=[0,2,6]. Som vanlig regner vi først ut a×b: a×b=ijk211420=2i+4j+0k=[2,4,0]. Vi finner volumet: 16((a×b)c)=16([2,4,0][0,2,6])=0+8+0=8. Dermed er volumet 8.

 
 

 

Publisert: 19.07.2016 Endret: 22.08.2016