www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

For trigonometriske funksjoner kan en gjøre en del funksjonsdrøfting uten å bruke derivasjon. For uttrykk som blander trigonometriske og ikke-trigonometriske funksjoner trenger vi allikevel kunnskap om den deriverte for å kunne drøfte funksjonen.

Regel

Den deriverte til sinx er cosx, og den deriverte til cosx er sinx.

 

Merk at vi kan bruke dette til å utlede den deriverte til tanx. Siden tanx=sinxcosx kan vi bruke brøkregelen for derivasjon. Da vil (tanx)=(sinx)cosxsinx(cosx)cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x da cos2+sin2x=1 ved Pytagorassetningen. Alternativt kan vi la være å bruke Pytagoras og skrive ut brøken: cos2x+sin2xcos2x=cos2xcos2x+sin2xcos2x=1+tan2x.

Eksempel 1

Vi deriverer funksjonen f(x)=e3xcos2x. Vi bruker kjerneregelen på begge faktorene i tillegg til produktregelen:

f(x)=3e3xcos2x+e3x(2)sin2x

=3e3xcos2x2e3xsin2x=e3x(3cos2x2sin2x).

Eksempel 2

En gruppe biologer måler fiskebestanden i et vann. Antall fisk etter x uker kan modelleres med funksjonen f(x)=45+3x+20cos(π4x) hvor x er i det lukkede intervallet [0,26]. Vi vil finne ut når fiksebestanden synker mest. Vi deriverer først en gang: f(x)=320π4sin(π4x). Vi trenger ikke å derivere en gang til. Uttrykk på denne formen kan vi finne topp- og bunnpunktene til uten videre derivasjon. Bunnpunktene til f(x) forekommer når sinπ4x=1. Da er π4x=π. I tillegg må vi ta med alle omløp: π4x=π+2πn. Vi multipliserer alt med 4π: x=4+8n. Dette vil være bunnpunktene til funksjonen. Da vi ønsker x i intervallet [0,26] er n=0,1 eller 2. Dermed synker fiskebestanden mest i uke 4, 12 og 20.

Publisert: 06.07.2016 Endret: 06.07.2016