www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Cosinussetningen

Denne setningen brukes når vi enten kjenner to sider og vinkelen mellom dem og skal finne den siste siden eller kjenner alle siden eog skal finne en av vinklene.

Husk at

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : a2+b2=c2 

Setningen kan brukes til å finne en side i en trekant.

Pytagoras læresetning
sier at for en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant hvor en av vinklene er rett (90 grader).

rettvinklet trekant
gjelder

h2=a2+b2

hvor h er lengden til hypotenusen og a,b er lengden til katetene. Her skal vi utlede en formel som gjelder for vilkårlige trekanter.

Cosinussetning

La ABC være en trekant. Anta at vi kjenner sidene AB, AC og vinkelen A mellom dem. Da er BC2=AC2+AB22(ABAC)cosA.

 

Hvis trekanten er rettvinklet der A=90, så vet vi at cos90=0. I dette tilfellet er cosinussetningen den samme som Pytagoras læresetning: BC2=AC2+AB2. Merk også at cosinussetningen viser at de trekantene som oppfyller Pytagoras læresetningen, er nødvendigvis rettvinklet.

For å bruke sinussetningen må vi enten kjenne to vinkler og en motstående side, eller to sidelengder og en vinkel som ikke er vinkelen mellom de to sidene. Cosinussetningen gir oss dermed ny informasjon: om vi vet to sidelengder og vinkelen mellom dem kan vi finne den siste sidelengden. Om vi har alle tre sidene, kan vi også finne vinklene i trekanten.

 

Bevis

Da summen av vinklene i en trekant er 180 kan kun en av vinklene være større enn 90. Om vi lar AC være grunnlinjen kan vi dermed anta at A er mindre enn eller lik 90. Vi drar en rett linje ned fra punktet B til grunnlinjen AC, og vi kaller krysningspunktet for D. Da har vi at AC=AD+DC som vi kan skrive om til DC=ADAC. Vi har en rettvinklet trekant BCD, slik at BC2=DC2+BD2. Om vi setter inn verdien vi fant for DC ovenfor, har vi

BC2=(ADAC)2+BD2=AD22ADAC+AC2+BD2.

Merk at dette inneholder uttrykket AD2+BD2. Om vi bruker Pytagoras, nå på den andre rettvinklede trekanten ABD, får vi AD2+BD2=AB2.

Da har vi skrevet uttrykket vårt om til

BC2=AB22ADAC+AC2.

I forhold til vinkelen A er linjestykket AD hosliggende katet i trekanten ABD. I denne trekanten er AB hypotenusen, slik at cosA=ADAB eller ABcosA=AD. Om vi setter dette inn for AD får vi cosinussetningen:

BC2=AB2+AC22ABACcosA.

 

Eksempel 1

I trekanten ABC er AB=4, AC=5 og A=45. Vi ønsker å finne sidelengden BC og vinklene B og C. Vi kan finne sidelengden BC ved cosinussetningen: BC2=42+52245cos4512,72. Da får vi at BC3,57. Nå kan vi bruke cosinussetningen til å finne B: 52=42+(3,57)224(3,57)cosB. Da får vi at cosB0,13. Taster vi inn cos1(0,13) på kalkulatoren vår får vi at B82,53. Da kan vi finne C ved å bruke at summen av vinklene i en trekant er 180: C=1804582,53=52,47. Vi kan sette prøve på svaret ved å finne C ved hjelp av cosinussetningen: 42=52+(3,75)225(3,75)cosC. Da får vi at cosC=0,675. Taster vi inn cos1(0,675) på kalkulatoren får vi C=52,05, som er omtrent det samme.

 

Ved bruk av sinussetningen er vi nødt til å ta hensyn til at det er to vinkler mellom 0 og 180 der sinus gir samme verdi. Dette er ikke et problem med cosinus: for alle tall a i intervallet finnes det en entydig vinkel θ mellom 0 og 180 slik at cosθ=a. Dette kan du sjekke selv ved å tegne opp enhetssirkelen, for så å merke at for to forskjellige punkter i de to første kvadrantene må x-koordinatene også være forskjellige. Det samme kan vi ikke si om sinus: om du speiler punktet om y-aksen får du samme sinusverdi. (Du vil selvsagt få samme cosinusverdi om du speiler om x-aksen, men da havner du utenfor de to første kvadrantene.)

Eksempel 2

Vi er gitt en trekant ABC med sidelengder AB=3, BC=4, AC=5. Vi ønsker å finne vinklene A,B og C. Vi finner først A. Ifølge cosinussetningen er

42=32+52235cosA.

Dermed er cosA=35, så A=53,13. Vi finner nå B:

52=42+32234cosB.

Da har vi at cosB=0, slik at B=90. Da kan vi finne den siste vinkelen ved

C=1809053,13=36,87.

Publisert: 06.07.2016 Endret: 31.08.2016