www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Sinussetningen

Denne setningen brukes når vi kjenner en vinkel og dens motstående side, i tillegg til en annen vinkel eller side.

Gitt en trekant  ABC gir arealsetningen følgende formel for arealet av trekanten: 12ABACsinA. Ved å bruke andre sider av trekanten i formelen får vi tre formler for arealet, slik at

12ABACsinA=12ABBCsinB=12ACBCsinC.

Om vi multipliserer hele uttrykket med 2 får vi

ABACsinA=ABBCsinA=ACBCsinC.

Om vi dividerer alt med ABACBC og forkorter, får vi: sinABC=sinBAC=sinCAB.

 

Sinussetningen

La ABC være en trekant, og la A,B og C være vinklene i trekanten. Da er

sinABC=sinBAC=sinCAB.

Vi vil også ha nytte av følgende formulering: BCsinA=ACsinB=ABsinC.

Eksempel 1

La ABC være en trekant med AB=3, B=30 og C=80. Vi ønsker å finne sidelengdene BC og AC. Sinussetningen gir ACsin30=3sin80. Vi har at sin30=12 og sin800,98. Da er AC0,5=30,98. Multipliserer vi alt med 0,5 får vi at AC1,53. For å finne BC må vi vite vinkelen A, men vi vet at summen av vinklene i en trekant er 180, dermed er A=1803080=70. Da gir sinussetningen BCsin70=30,98. Siden sin700,94 har vi at BC2,88.

 

Om vi ønsker å bruke sinussetningen til å finne vinkler må vi være forsiktige. Husk at sinus av en vinkel θ er definert som y-koordinatet til det assosierte punktet på enhetssirkelen. Punktene (12,12) og (12,12) er begge på enhetssirkelen og har samme y-koordinat, men den rette linjen fra origo til disse punktene gir forskjellige vinkler, 45 og 135. Dermed er sin45=sin135. Enhetessirkel der vinkel 45 og vinkel 135 er tegnet inn. Vi ser at y-koordinaten er den samme for disse to vinklene.Mer generelt har vi at sinθ=sin(180θ) for alle θ. Tegn opp enhetssirkelen og sjekk selv! Av samme grunn har vi at cosθ=cos(360θ).

 

Eksempel 2

Vi er gitt en trekant ABC med A=35, AB=5 og BC=4. Vi ønsker å finne vinklene θB og θC, og lengden AC. Sinussetningen gir sinC5=sin354. Dermed er sinC0,72. Taster vi inn sin1(0.72) på kalkulatoren, får vi at C46. Dermed kan vi finne B: B=1803546=99. Da kan vi finne AC med sinussetningen: ACsin99=4sin35. Dermed er AC6,9.

Men vi vet at sin46=sin18046 og dermed ville det vært like riktig å velge C=18046=134. Da får vi enda en løsning: B=18013435=11. Vi kan da bruke sinussetningen for å finne AC: ACsin11=4sin35. I dette tilfellet dermed at AC1,33.

Eksempel 3

Vi er gitt en trekant ABC med A=25, AB=4 og BC=5. Vi ønsker å finne vinklene B og C og lengden AC. Sinussetningen gir at sin255=sinC4. Dermed er sinC=45sin250,34. Om vi taster inn sin1(0,34) inn på kalkulatoren får vi omtrent C=20. Da kan vi finne den manglende vinkelen B: B=1802025=135. Da kan vi igjen bruke sinussetningen til å finne den manglende siden AC: ACsin135=5sin2511,83. Dermed er AC8,37.

Men siden sin(180C)=sinC ville det vært like riktig å velge C=18020=160. Men dette går ikke! Vi vet at A=25, og 160+25=185. Da dette er større enn 180 er ikke en slik trekant mulig. Dermed har vi funnet den unike løsningen.

 

Publisert: 06.07.2016 Endret: 17.08.2016