www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Sinus, cosinus og tangens

I denne seksjonen definerer vi de tre grunnleggende trigonometriske funksjonene: sinus, cosinus og tangens.

De tre

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometriske funksjonene
er:

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus
,

Cosinus

En trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus
og tangens. Vi begynner med å betrakte en sirkel med radius 1 og sentrum i origo:

Alle tall θ definerer en vinkel. Gitt et tall θ kan vi trekke linjen fra origo med vinkel θ med hensyn til den positive x-aksen. Denne linjen vil treffe et punkt P på enhetssirkelen:

Vi kan da definere 

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus
av tallet θ til å være y-koordinatet til dette punktet, mens 

Cosinus

En trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus
er definert til å være x-koordinatet. Det er vanlig å definere sinus og cosinus ved hjelp av rettvinklede trekanter, og vi kan få igjen den definisjonen på følgende måte: om jeg trekker en rett linje ned fra punktet vårt på enhetssirkelen til x-aksen får jeg en rettvinklet trekant.

 

Hypotenusen til denne trekanten har lengde 1. Merk at lengden til hosliggende og motstående katet er respektivt x- og y-koordinatene til punktet P. Om vi nå definerer cosinus til å være lengden av hosliggende katet og sinus til å være lengden til motstående katet ser vi at dette samsvarer med definisjonen ovenfor. Merk at det følger fra definisjonen og Pytagoras læresetning at

(sinθ)2+(cosθ)2=1 for alle θ.

Merk at om vi velger en annen radius og konstruerer trekanten på samme måte, får vi en trekant som er formlik med den originale trekanten, da vi kun har forandret lengden på sidene, ikke vinklene. Da kan vi for enhver trekant konstruert på denne måten definere cosθ=lengde av hosliggende katetlengde av hypotenus og sinθ=lengde av motstående katetlengde av hypotenus. Disse to funksjonene har definisjonsmengde lik =-, og verdimengde [1,1].

Eksempel 1

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor lengden av hypotenusen er x centimeter hvor en av vinkelene er 30 og lengden på motstående katet er 20 centimeter. Vi ønsker å finne lengden til hypotenusen. Per definisjon har vi sin30=20x. Vi har at sin30=12, og dermed at x=40 centimeter.

Eksempel 2

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor en av vinklene er 45, lengden på hypotenusen 13 centimeter og vi ønsker å finne lengden av hosliggende katet. Om x er lengden av hosliggende katet har vi at cos45=x13. Da cos45=12 har vi at x=132 centimeter.

Vi definerer nå den siste av de tre grunnleggende trigonometriske funksjonene, tangens. Vi definerer tanθ=sinθcosθ. Her må vi være forsiktige: hva om cosθ er null? Vi må fjerne disse verdiene fra definisjonsmengden. Vi vet at cosinus er null for de vinklene som som korresponderer til punkt på formen (0,y) på enhetssirkelen, det vil si 90 og 270 grader, og alle omløp av disse. I radianer betyr dette at vi fjerner alle tall på formen kπ2 hvor k er et oddetall. Verdimengden er derimot alle reelle tall: når verdien av cosθ blir mindre vil verden av tanθ bli større.

Om vi ønsker et geometrisk bilde av tangens, kan vi konstruere en rettvinklet trekant som er formlik den originale trekanten vår:

La x være lengden av motstående katet i den store trekanten. Da denne er formlik den lille trekanten, er x1=sinθcosθ=tanθ.

Eksempel 3

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor en av vinklene er 20, lengden til hosliggende katet er 5 centimeter, og vi ønsker å finne lengden til de to andre sidene. Merk at tangens gir oss

tan20=sin20cos20=lengde av motstående katetlengde av hypotenuslengde av hosliggende katetlengde av hypotenus=

=lengde av motstående katetlengde av hosliggende katet=lengde av motstående katet5

 

Vi har at tan200,36. Dermed er lengden av motstående katet omtrent 50,36=1,8. Da kan vi finne lengden av hypotenusen h ved hjelp av Pythagoras læresetning: h=52+(1,8)25,31.

Publisert: 30.06.2016 Endret: 07.07.2016